สรุปเนื้อหาคณิตม.3 เรื่องความคล้าย

น้อง ๆ หลายคนอาจเคยได้ยินคำว่า “ความคล้าย” กันมาบ้างแล้วในชีวิตประจำวัน แต่พอขึ้น ม.3 ก็จะเห็นว่ามีบทเรียนเรื่องความคล้ายอยู่ในเนื้อหาคณิต ม.3 ด้วย สงสัยกันมั้ยว่าในทางคณิตศาสตร์นั้น ความคล้ายคืออะไร ?

 วันนี้พี่ก็เลยจะมาสรุปเรื่อง ความคล้าย ม.3 เพื่อให้น้อง ๆ ที่กำลังเรียนอยู่ชั้น ม.3 ได้เข้าใจเรื่องนี้มากขึ้น แต่ใครที่กำลังเรียนอยู่ชั้น ม.2 เตรียมตัวขึ้น ม.3 ก็มาทำความเข้าใจไปพร้อมกันได้น้าา

สรุปเนื้อหาความคล้ายม.3

ความคล้ายคืออะไร ?

ถ้าน้อง ๆ ลองดูสิ่งของรอบตัว ก็จะเจอว่ามีสิ่งของเครื่องใช้หลายอย่างที่มีรูปร่างคล้ายกัน แต่ต่างกันที่ขนาด เช่น ทีวี กล่องเก็บอาหาร แก้วน้ำ ตุ๊กตาแม่ลูกดกหรือมาโตรชก้า เป็นต้น เราจะเรียกสิ่งของที่มีรูปร่างคล้ายกันเหล่านี้ว่าเป็นสิ่งของที่คล้ายกัน

ซึ่งในบทเรียนนี้ไม่ได้กล่าวถึงเพียงรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันเท่านั้น สังเกตได้จากชื่อบทเลย เพราะชื่อบทไม่ได้พูดแค่ว่าเป็นบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน แต่พูดมาเป็นคำกว้าง ๆ คือ “ความคล้าย” ดังนั้นในบทนี้กล่าวถึงรูปเรขาคณิตที่มีรูปร่างคล้ายกันด้วยเช่นกันนะ ให้น้อง ๆ ลองพิจารณารูปของรูปเรขาคณิตต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 พิจารณารูปเรขาคณิตที่คล้ายกัน

ตัวอย่างความคล้าย พิจารณารูปวงกลมที่คล้ายกัน

จะเห็นว่ารูป A, B และ E เป็นรูปวงกลมที่มีขนาดต่างกัน แต่รูป C และ D เป็นรูปวงรี ซึ่งมีรูปร่างและขนาดต่างกัน

ตัวอย่างความคล้าย พิจารณารูปเรขาคณิตที่คล้ายกัน

จะเห็นว่ารูป B, C และ E เป็นรูปห้าเหลี่ยมที่มีลักษณะคล้ายกัน แต่มีขนาดต่างกัน แต่รูป A และ D เป็นรูปห้าเหลี่ยมที่มีรูปร่างและขนาดต่างกัน ดังนั้น รูป B, C  และ E เป็นรูปเรขาคณิตที่คล้ายกัน

เราจึงสรุปได้ว่า รูปเรขาคณิตสองรูปเป็นรูปที่คล้ายกัน เมื่อรูปเรขาคณิตทั้งสองนั้นมีรูปร่างเหมือนกัน โดยรูปเรขาคณิตที่คล้ายกันอาจมีขนาดเท่ากันหรือแตกต่างกันก็ได้

สัญลักษณ์

รูปเรขาคณิต A และรูปเรขาคณิต B เป็นรูปที่คล้ายกัน จะเขียนแทนว่า รูปเรขาคณิต A  \sim รูปเรขาคณิต B

สมบัติของความคล้าย

  • สมบัติสะท้อน:
    รูปเรขาคณิต A \sim รูปเรขาคณิต A
  • สมบัติสมมาตร:
    ถ้ารูปเรขาคณิต A \sim รูปเรขาคณิต B
    แล้วรูปเรขาคณิต B \sim รูปเรขาคณิต A
  • สมบัติถ่ายทอด:
    ถ้ารูปเรขาคณิต A \sim รูปเรขาคณิต B
    และรูปเรขาคณิต B \sim รูปเรขาคณิต C
    แล้วรูปเรขาคณิต A \sim รูปเรขาคณิต C

บทนิยาม
รูปหลายเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รูปหลายเหลี่ยมสองรูปนั้นมี
1. ขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ ๆ ทุกคู่ 
และ 
2. อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน

สมบัตรของความคล้าย

ถ้าน้อง ๆ ต้องการเขียนว่ารูปห้าเหลี่ยมทั้งสองคล้ายกัน ให้น้อง ๆ เขียนโดยเรียงลำดับมุมคู่ที่สมนัยกันแล้วเรียงลำดับไปยังมุมที่อยู่ติดกัน (ในทิศทวนหรือตามเข็มนาฬิกาก็ได้

จากรูปเราพอจะเห็นว่า \hat{A}=\hat{P},\ \hat{B}=\hat{Q},\ \hat{C}=\hat{R},\ \hat{D}=\hat{S} และ \hat{E}=\hat{T}  

เราจะได้ว่ามุมแต่ละคู่ที่มีขนาดเท่ากันเหล่านั้นคือมุมคู่ที่สมนัยกัน 

ดังนั้น เราจะเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า รูป ABCDE  \sim รูป PQRST  

เราจะไม่นิยมเขียนเรียงแบบอื่นที่มุมคู่สมนัยกันอยู่ไม่ตรงกันน้า

ตัวอย่างที่ 2  รูปสี่เหลี่ยมที่กำหนดให้ เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่คล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตุใด

ตัวอย่างโจทย์ความคล้าย รูปสี่เหลี่ยมที่คล้ายกัน

แนวคิด ใช้บทนิยามทั้ง 2 ข้อมาตรวจสอบว่ารูปสี่เหลี่ยมทั้งสองคล้ายกันหรือไม่
วิธีทำ จากรูป น้อง ๆ จะเห็นว่ารูปสี่เหลี่ยมทั้งสองรูป เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมฉากทั้งหมดเลย 
ดังนั้น มุมของรูปสี่เหลี่ยมทั้งสองรูปจะเท่ากันเป็นคู่ ๆ ทุกคู่
พิจารณาอัตราส่วนของความยาวด้านคู่ที่สมนัยกัน 

จะได้ว่า \frac{AB}{WX}=\frac{BC}{XY}=\frac{CD}{YZ}=\frac{DA}{ZW}=\frac{5}{7}
ดังนั้น \square  ABCD  \sim \square  WXYZ

รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

จากที่เรารู้จักรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันในหัวข้อก่อนหน้า นั่นยังไม่ใช่หัวข้อหลักเลยน้าา หัวข้อหลักของบทความคล้ายอยู่ที่หัวข้อนี้เลย นั่นคือเรื่อง “รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน” ข้อสอบก็จะออกเกี่ยวกับหัวข้อนี้เป็นหลัก แถมยังออกสอบเยอะกว่าหัวข้ออื่นมาก ๆ อีกด้วยน้า

ซึ่งในหัวข้อนี้เราจะนำบทนิยามของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันมาช่วยพิจารณาความคล้ายกันของรูปสามเหลี่ยมด้วยนะ เป็นตามตัวอย่างต่อไปนี้เลย

พิจารณารูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

จากบทนิยามของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน \Delta ABC\sim\Delta PQR ก็ต่อเมื่อ

1. \hat{A}=\hat{P},\ \hat{B}=\hat{Q}\ และ \hat{C}=\hat{R}  

นั่นคือ ขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่  ทุกคู่  
และ
2. \frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{CA}{RP}   

นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน

หลักการพิจารณารูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

น้อง ๆ บางคนอาจสงสัยว่าแล้วเราต้องพิจารณาทั้งสองข้อตามบทนิยามของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันเลยไหม เพื่อที่จะสรุปว่ารูปสามเหลี่ยมที่เรากำลังพิจารณาอยู่มันคล้ายกันหรือไม่ เวลาเราแก้โจทย์เรามักจะไม่พิจารณาตามบทนิยามจนครบทั้งสองข้อแล้วค่อยสรุปคำตอบนะ เพราะโดยทั่วไป ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่ แล้วอัตราส่วนของความยาวของด้าน คู่ที่สมนัยกันทั้งสามคู่จะเท่ากันตามไปด้วย 

นั่นคือ แค่เราพิจารณารูปสามเหลี่ยมสองรูปว่ามีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่ ก็เป็นเงื่อนไขที่เพียงพอแล้วที่จะทำให้สรุปได้ว่า รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน โดยที่เราไม่จำเป็นต้องตรวจสอบอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันเหมือนรูปหลายเหลี่ยมอื่น ๆ ในทางคณิตศาสตร์ได้ให้บทนิยามของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ดังนี้

บทนิยาม รูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้น มีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่

ตัวอย่างที่ 3 รูปสามเหลี่ยมที่กำหนดให้ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตุใด

โจทย์ความคล้าย รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

พิจารณาโดยใช้บทนิยามข้างต้น จะได้ว่า \Delta RAT  \sim\Delta DOG  เพราะ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่
คือ \hat{R}=\hat{D} , \ \hat{A} = \hat{O}\ และ \hat{T} = \hat{G}

นอกจากบทนิยามข้างต้น ที่กล่าวถึงการที่สามเหลี่ยมจะเป็นสามเหลี่ยมคล้ายได้ถ้าเราพิจารณาแล้วพบว่ามีมุมเท่ากันป็นคู่ ๆ ทั้งสามคู่แล้ว ยังมีทฤษฎีบทต่อไปนี้ ที่กล่าวถึงอัตราส่วนของด้านคู่ที่สมนัยกันอีกด้วย นั่นคือ

ทฤษฎีบท ถ้าอัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่สมนัยกันทุกคู่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นอัตราส่วนที่เท่ากันแล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

ตัวอย่างที่ 4 รูปสามเหลี่ยมที่กำหนดให้ต่อไปนี้ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันหรือไม่ เพราะเหตุใด

ตัวอย่างทฤษฎีบทความคล้าย รูปสามเหลี่ยม

พิจารณาโดยใช้ทฤษฎีบทข้างต้น จะได้ว่า
  \frac{AC}{EH}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}

\frac{CT}{HN}=\frac{13}{26}=\frac{1}{2}

\frac{TA}{NE}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}

ดังนั้น \Delta CAT  \sim\Delta HEN

จากบทนิยามและทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน และจากตัวอย่างที่ 3 และ 4 ที่ผ่านมา จะเห็นว่า เราสามารถใช้เพียงบทนิยาม หรือใช้เพียงทฤษฎีบทเพียงอย่างเดียวเพื่อตรวจสอบรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันได้

ดังนั้นต่อจากนี้ ถ้าน้อง ๆ จะทำโจทย์ในบทนี้ต่อไป ให้ใช้เพียงเงื่อนไขเดียว จากสองเงื่อนไขเพื่อพิจารณาได้ว่ารูปสามเหลี่ยมที่โจทย์กำหนดให้คล้ายกันหรือไม่ก็เพียงพอแล้วนะ ซึ่งเงื่อนไขที่น้อง ๆ สามารถเลือกใช้เพื่อตรวจสอบได้ คือ

1. รูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปมีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ ทั้งสามคู่
หรือ
2. อัตราส่วนของความยาวด้านของคู่ที่สมนัยกันทุกคู่ เป็นอัตราส่วนที่เท่ากัน

ถึงตรงนี้พี่คิดว่าน้อง ๆ น่าจะเข้าใจเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันแล้ว เรานำความรู้ที่ได้ในหัวข้อก่อนหน้านี้มาแก้โจทย์ในตัวอย่างต่อไปนี้กัน แต่ขอเตือนน้อง ๆ น้าา ว่าทุกครั้ง ก่อนที่เราจะใช้เงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งในการแก้ปัญหาโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน เราต้องตรวจสอบก่อนเสมอว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นคล้ายกันใช่ไหมนะ
ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นไม่คล้ายกัน ก็จะไม่สามารถใช้เงื่อนไขเกี่ยวกับอัตราส่วนของความยาวด้าน หรือเงื่อนไขเกี่ยวกับมุมคู่ที่สมนัยกันได้เลย

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ x และ y

ตัวอย่างการแจ้โจทย์ปัญหาเกี่ยวความคล้าย

วิธีทำ
ขั้นตอนที่ 1 จะแสดงว่า \Delta ABC\sim\Delta PQR
จากรูป จะได้ว่า \hat{A}=\hat{P} และ \hat{B}=\hat{Q}=90^{\circ}
พิจารณา \hat{C}=180^{\circ}-(\hat{B}+\hat{A})=180^{\circ}-(90^{\circ}+\hat{A})=90^{\circ}-\hat{A}
\hat{R}=180^{\circ}-(\hat{Q}+\hat{P})=180^{\circ}-(90^{\circ}+\hat{A})=90^{\circ}-\hat{A}
จะได้ว่า \hat{C}=\hat{R}
ดังนั้น \Delta ABC\sim\Delta PQR

ขั้นตอนที่ 2 หาค่าของ x และ y
จะได้ว่า \frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}
\frac{x}{8}=\frac{12}{6}
x=(\frac{12}{6})(8)=16

จะได้ว่า \frac{PR}{AC}=\frac{QR}{BC}
\frac{y}{20}=\frac{6}{12}
x=(\frac{6}{12})(20)=10
ดังนั้น x=16 และ y=10

ข้อสังเกต จากตัวอย่างที่ 5 เมื่อรูปสามเหลี่ยมสองรูปใด ๆ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ มุมที่เหลืออยู่จะกางเท่ากันเสมอ

ดังนั้นเมื่อน้องทำโจทย์ในบทนี้ เมื่อน้อง ๆ เจอรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมขนาดเท่ากันเป็นคู่ ๆ เพียงสองคู่ ก็สามารถสรุปได้เลยว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นคล้ายกันนะ

โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม

น้อง ๆ อาจสังเกตว่าในแทบจะทุกบทของเนื้อหาคณิตม.ต้นจะต้องปิดท้ายด้วยหัวข้อโจทย์ปัญหาเสมอเลยใช่ไหม ในบทนี้ก็เช่นกันนะ เราสามารถนำความรู้เรื่องรูปสามเหลี่ยมคล้ายกันไปใช้ในการแก้ปัญหาในชีวิตประจำวันได้นะ พี่แนะนำว่าให้น้อง ๆ ลองถอดข้อความที่โจทย์กำหนดให้มาเป็นแผนภาพก่อน แล้วหารูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันให้เจอ ก็จะโจทย์ปัญหาได้แล้วนะ สังเกตได้จากตัวอย่างต่อไปนี้เลย

ตัวอย่างที่ 6

จุ๋มไปเที่ยวสวนสัตว์แห่งหนึ่งและได้พกเอาตลับเมตรไปด้วย จุ๋มต้องการวัดส่วนสูงของยีราฟด้วยการใช้เงา โดยจุ๋มยืนอยู่ตรงเงาของปลายหัวของยีราฟพอดี จุ๋มวัดเงาของยีราฟได้ยาว 8 เมตร จุ๋มวัดเงาของตัวเองได้ยาว 3.4 เมตร ถ้าจุ๋มสูง 170 เซนติเมตร แล้วยีราฟจะสูงเท่าใด

ตัวอย่างโจทย์ปัญญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยม ความคล้าย

วิธีทำ 
กำหนดให้ยีราฟสูงเท่ากับ CB = x เมตร
AB แทนความยาวของเงาของยีราฟ คือ 8 เมตร
DE แทนความสูงของจุ๋ม คือ 1.7 เมตร
AE แทนความยาวของเงาของจุ๋ม คือ 3.4 เมตร

การเขียนแผนภาพโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยม ความคล้าย

พิจารณา \Delta ABC  และ \Delta AED  

จะได้ว่า  \hat{A}=\hat{A} เนื่องจากเป็นมุมร่วมและ \hat{B}=\hat{E} = 90 ^{\circ}  

จากข้อสังเกต จะได้ว่า \hat{C}=\hat{D}

ดังนั้น \Delta ABC \sim\Delta AED จะได้ว่า \frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}  

\frac{8}{3.4}=\frac{x}{1.7}  

x=(\frac{8}{3.4}) (1.7)=4

ดังนั้น ยีราฟสูง 4 เมตร

จะเห็นได้ว่า ความคล้ายในคณิตศาสตร์ ไม่ใช่การมองด้วยสายตาแล้วบอกได้เลยว่า สิ่งหนึ่งคล้ายสิ่งหนึ่ง แต่จะต้องมีการพิสูจน์ว่ารูปเรขาคณิตที่เห็นนั้นคล้ายกันจริง ๆ หรือไม่ อ่านมาถึงตรงนี้คงมีหลายคนเริ่มกังวลว่าคณิต ม.3 จะยากเกินไปมั้ย T_T พี่ไม่อยากให้ทุกคนท้อหรือคิดว่ามันเป็นเรื่องยากถึงขนาดที่ว่าเราจะทำไม่ได้น้าาาา ลองทบทวนจุดที่ไม่เข้าใจก่อน หรือจะฝึกทำโจทย์เยอะ ๆ ก็ได้ ซึ่งพี่ได้นำโจทย์มาให้น้อง ๆ ดาวน์โหลดไปฝึกทำกันได้ฟรี ๆ เลยน้า สามารถดาวน์โหลดแบบฝึกหัดความคล้าย ม.3 มาฝึกทำกันได้เลยยย พี่ตั้งใจเอามาฝากเพราะอยากให้น้อง ๆ เข้าใจเนื้อหามากขึ้น สู้ ๆ น้าา พี่เป็นกำลังใจให้ทุกคนนน > <

จากที่ลองทำฝึกทำเองแล้ว เป็นยังไงกันบ้าง จริง ๆ แล้ว เนื้อหาคณิต ม.3 ถือว่าเป็นบทเรียนที่ยากสุดของคณิต ม.ต้นเลย หากยังมีเนื้อหาบางจุดที่ยังไม่เข้าใจ ต้องการคนช่วยไกด์เนื้อหาให้เข้าใจมากขึ้น พี่ขอแนะนำคอร์สติวคณิต ม.3 จาก SmartMathPro เลยย คอร์สนี้มีทั้งเนื้อหาของทั้งเทอม 1 และเทอม 2 ครบทุกบท ซึ่งพี่จะปูพื้นฐานให้แบบละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. พร้อมพาตะลุยโจทย์และแบบฝึกหัดจำนวนมาก โดยเริ่มจากง่ายไปจนถึงระดับข้อสอบแข่งขันจากสนามต่าง ๆ แถมยังมี Quiz ทบทวนความเข้าใจแต่ละบทให้ด้วยน้า ดังนั้นใครที่พื้นฐานไม่แน่นก็เรียนได้ ไม่ต้องกังวลเลยว่าจะเรียนไม่ทัน !!

แต่ถ้าโรงเรียนของน้อง ๆ สอนไม่ตรงตามคอร์สที่มี ก็สามารถเลือกเรียนแบบแยกบทได้เลยย เริ่มต้นเพียง 360 บาทเท่านั้น ใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติม คลิก ได้เลย

ดูคลิปติว ความคล้าย ม.3

ติดตามคลิปติวฟรีอื่น ๆ จากพี่ปั้น ได้ทาง Youtube Channel : SmartMathPro

บทความ แนะนำ

บทความ แนะนำ

สรุปเนื้อหาคณิตม.3 เรื่องการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง
สรุป แยกตัวประกอบพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง ม.3 พร้อมโจทย์+เฉลย
สรุปเนื้อหาคณิตม.3 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สรุป อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3 พร้อมแจกโจทย์และเฉลย
สรุปเนื้อหาคณิตม.3 เรื่องสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
สรุป สมการกำลังสองตัวแปรเดียว ม.3 พร้อมแจกโจทย์ฟรี !!
สรุปเนื้อหาคณิต ม.3 เรื่อง สถิติ (แผนภาพกล่อง)
สถิติ ม.3 (แผนภาพกล่อง) สรุปเนื้อหา พร้อมแจกโจทย์และเฉลยฟรี!
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.3 เรื่อง พาราโบลา (กราฟฟังก์ชันกำลังสอง)
สรุป พาราโบลา (ฟังก์ชันกำลังสอง) ม.3 พร้อมแจกสูตรและโจทย์ฟรี
สรุปเนื้อหาคณิตม.3 เรื่องวงกลม
สรุป วงกลม ม.3 ทฤษฎีบทวงกลม พร้อมแจกแบบฝึกหัดฟรี !
สรุปเนื้อตรีโกณมิติ ม.3 พร้อมโจทย์และวิธีการทำ
ตรีโกณมิติ ม.3 สรุปเนื้อหาพร้อมโจทย์แบบจัดเต็ม จบในที่เดียว !
คณิตศาสตร์ ม.3 เรียนเรื่องอะไรบ้าง สรุปให้ครบ
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 1, เทอม 2 เรียนอะไรบ้าง ? อัปเดตตาม สสวท.

สำหรับน้อง ๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม รวมถึงติดตามข่าวสารต่าง ๆ ที่อัปเดตอย่างเรียลไทม์ ได้ที่

Line : @smartmathpronews 

FB : Pan SmartMathPro ติวคณิต By พี่ปั้น 

IG : pan_smartmathpro

Twitter : @PanSmartMathPro 

Tiktok : @pan_smartmathpro

Share