พอพูดถึงเรื่องการแก้สมการ น้อง ๆ หลายคนอาจจะคุ้นเคยกับเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวที่เราเคยเรียนกันมา
ตอนม.1 แต่จริง ๆ แล้วเนี่ย ยังมีอีกเรื่องที่น้อง ๆ อาจจะสับสนเพราะชื่อคล้ายกันอยู่ นั่นก็คือ สมการกำลังสองตัวแปรเดียว นั่นเองงง ซึ่งวันนี้พี่ได้เตรียมทั้งสรุปเนื้อหา ตัวอย่างโจทย์พร้อมทั้งวิธีการทำแบบละเอียด เกี่ยวกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียวมาให้ทุกคนด้วย ถ้าน้อง ๆ พร้อมแล้วไปทำความรู้จักสมการกำลังสองตัวแปรเดียวกันเลย !!
น้อง ๆ เคยรู้จักพหุนาม เช่น 3x^2 ,\ 2x^2+x,\ x^2-5 และ 3x^2-6x+1 ซึ่งเป็นพหุนามดีกรีสองมาแล้ว ในหัวข้อนี้เราจะมาเรียนเรื่องที่มีชื่อบทคล้ายกันนั่นคือสมการกำลังสองตัวแปรเดียว ซึ่งเป็นการนำพหุนามดีกรีสองมาใช้ต่อยอดนั่นเอง
เรามาพิจารณากันก่อนดีกว่า ว่าสมการแบบไหนนะ ที่เป็นสมการกำลังสองตัวแปรเดียว และสมการไหนที่ไม่เป็นสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
จากรูปข้างต้น น้อง ๆ จะสังเกตได้ว่าสมการกำลังสองตัวแปรเดียวจะต้องมีลักษณะที่เมื่อจัดรูปแล้วมีรูปทั่วไปเป็นดังนี้
สมการกำลังสองตัวแปรเดียว คือ สมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 2 มีรูปทั่วไปเป็น
ax^2+bx+c=0 เมื่อ x เป็นตัวแปร a, b และ c เป็นค่าคงตัว โดยที่ a\neq 0
หรือข้อสังเกตที่ดูได้ง่ายที่สุดเลยคือ สมการนั้นต้องมีตัวแปรเดียว ไม่ว่าจะเป็น x, y หรือ z ก็ได้นะ แต่ย้ำว่าต้องมีตัวแปรเดียว และต้องเป็นพหุนามที่มีดีกรีสอง ถ้าเป็นตามนี้แล้วไม่ว่าสัมประสิทธิ์นำจะเป็นบวก ลบ หรือเศษส่วนก็จะถือว่าเป็นสมการกำลังสองตัวแปรเดียวทั้งหมดเลยนะ
ก่อนที่จะไปแก้สมการกัน เราจะนิยมเขียนสมการที่โจทย์ให้มาให้อยู่ในรูปทั่วไปก่อน เพื่อให้เราแก้สมการได้ง่ายขึ้น ดังนั้นเรามาซ้อมเขียนสมการกำลังสองตัวแปรเดียวในรูปทั่วไปในตัวอย่างต่อไปนี้กันเลยดีกว่า
คำตอบของสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
คำตอบของสมการ คือ จำนวนจริงที่เรานำไปแทนตัวแปรในสมการแล้วทำให้ได้สมการที่เป็นจริง ซึ่งคำตอบของสมการกำลังสองตัวแปรเดียวดังตัวอย่างต่อไปนี้
จากตัวอย่างข้างต้น น้อง ๆ บางคนอาจจะลองแทนค่าจำนวนจริงอื่น ๆ นอกจาก x=0 ลงในสมการ x^2-x=0 แล้วทำให้ได้สมการที่เป็นจริงอีกใช่ไหม นั่นแสดงว่าจำนวนคำตอบของสมการกำลังสองตัวแปรเดียวอาจไม่ได้มีเพียงคำตอบเดียวก็ได้ โดยน้อง ๆ ลองสังเกตตัวอย่างต่อไปนี้
น้อง ๆ จะสังเกตเห็นว่าในตัวอย่างแรก สมการ x^2-x=0 มีจำนวนจริงสองจำนวน ที่เมื่อนำไปแทนแล้วทำให้สมการเป็นจริง ดังนั้นสมการนี้จะมีจำนวนจริงสองจำนวนเป็นคำตอบ
ตัวอย่างถัดมา y^2-4y+4=0 มีจำนวนจริงเพียงจำนวนเดียวเป็นคำตอบ และ x^2+4=0 ไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบเลย ในตัวอย่างนี้น้อง ๆ บางคนอาจจะจัดรูปสมการให้เป็น x^2=-4 ก่อนได้ แล้วจะพบว่าไม่มีจำนวนจริงไหนเลยที่เมื่อเรานำไปยกกำลังสองแล้วจะมีค่าเป็นจำนวนลบ
ดังนั้นสมการกำลังสองตัวแปรเดียวอาจมี 2 คำตอบ, 1 คำตอบ หรือไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงเลยก็ได้ โดยในทางคณิตศาสตร์สมการกำลังสองตัวแปรเดียวมีคำตอบได้ไม่เกิน 2 คำตอบ
วิธีการแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว
ความเป็นจริงพี่ไม่แนะนำให้น้อง ๆ ใช้วิธีการค่อย ๆ หาจำนวนจริงเพื่อนำไปแทนในสมการทีละตัวเพื่อตรวจสอบว่าจำนวนจริงนั้นทำให้สมการเป็นจริงหรือเท็จ เนื่องจากต้องใช้เวลามากและไม่สะดวก อาจจะหาจำนวนจริงที่เป็นคำตอบได้ไม่ครบหรืออาจหาไม่เจอ เช่น คำตอบเป็นจำนวนลบ เป็นเศษส่วน หรืออาจจะเป็นจำนวนอตรรกยะ !!!
ดังนั้นในการแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียวในบทนี้จะกล่าวถึงวิธีการที่สะดวกกว่าการแทนค่าทีละจำนวนไว้ 2 วิธี ได้แก่ การแยกตัวประกอบ และ การใช้สูตร โดยวิธีแรกจะเป็นวิธีที่เราจะได้ใช้ความรู้เรื่องการแยกตัวประกอบของพหุนามที่เคยเรียนมาช่วยแก้สมการได้อย่างที่พี่บอกตอนแรกน้าา
ถึงตรงนี้น้อง ๆ คนไหนที่ยังแยกตัวประกอบของพหุนามไม่คล่อง สามารถไปดูบทความที่พี่สรุปไว้ให้ได้เลย มีทั้งคำอธิบาย ตัวอย่าง แถมแจกแบบฝึดหัดให้ฟรีอีกด้วยยย
การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียวโดยใช้การแยกตัวประกอบ
ในกรณีที่เราสามารถแยกตัวประกอบของ ax^2+bx+c ให้อยู่ในรูปของการคูณกันสองพหุนามของพหุนามดีกรีหนึ่ง (แยกเป็นสองวงเล็บ) เนื่องจากในที่นี้พหุนามใช้แทนจำนวน เราจะใช้สมบัติของจำนวนจริงต่อไปนี้มาใช้ในการหาคำตอบของสมการ
สมบัติของจำนวนจริง
ถ้า m และ n เป็นจำนวนจริง และ mn=0 แล้ว m=0 หรือ n=0
นั่นคือหากพหุนามทั้งสองคูณกันแล้วมีค่าเท่ากับศูนย์ เราจะได้ว่าจะต้องมีพหุนามใดพหุนามหนึ่ง หรือทั้งสองพหุนามที่มีค่าเท่ากับศูนย์
เช่น
(x)(x+1)=0
มีพหุนามสองพหุนามคูณกัน คือ x คูณกับ x+1 เมื่อสองพหุนามนั้นคูณกันแล้วได้ศูนย์
ดังนั้น ต้องมีพหุนามใดพหุนามหนึ่ง หรือทั้งสองพหุนามมีค่าเท่ากับศูนย์
จะได้ x=0 หรือ x+1=0
ถึงตรงนี้น้อง ๆ พอจะมองออกไหมว่าเราสามารถใช้การแยกตัวประกอบและสมบัติของจำนวนจริงมาแก้สมการได้อย่างไร จะเห็นว่าเราได้ x=0 ซึ่งเราจะได้คำตอบหนึ่งของสมการออกมาแล้วคือ 0 และส่วนที่เป็น x+1=0 เราจะต้องดำเนินการอีกเล็กน้อยก็จะได้คำตอบแล้ว พี่จะขอยกตัวอย่างการแก้สมการโดยใช้การแยกตัวประกอบแบบเต็ม ๆ ในตัวอย่างต่อไปนี้เลย
จากการตรวจคำตอบข้างต้น น้อง ๆ จะเห็นว่าเมื่อเรานำคำตอบที่ได้จากการแก้สมการด้วยวิธีการแยกตัวประกอบมาแทนลงในสมการ จะทำให้สมการเป็นจริง นั่นคือคำตอบที่เราหามาถูกต้องนั่นเองง
การแก้สมการโดยการใช้การแยกตัวประกอบสามารถนำมาใช้กับการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการกำลังสองตัวแปรเดียวได้เช่นกัน โดยน้อง ๆ จะต้องนำข้อมูลที่โจทย์กำหนดมาสร้างสมการกำลังสองตัวแปรเดียวให้ได้ จากนั้นเราก็จะทำการแก้สมการก็จะสามารถหาคำตอบได้แล้ว โดยลองกำหนดสิ่งที่โจทย์ต้องการให้หาเป็น x ก็จะง่ายขึ้น ดังตัวอย่าง
ต่อไปนี้
(ต่อจากตัวอย่างที่ 3) เนื่องจาก x แทนจำนวนเต็ม ดังนั้น x จึงเป็นได้ทั้งจำนวนเต็มลบและจำนวนเต็มบวก
- กรณีที่ 1
จำนวนที่มากกว่ามีค่าเท่ากับ -15
จะได้ว่า อีกจำนวนหนึ่งมีค่าเท่ากับ -16 - กรณีที่ 2
จำนวนที่มากกว่ามีค่าเท่ากับ 16
จะได้ว่า อีกจำนวนหนึ่งมีค่าเท่ากับ 15
ตรวจสอบคำตอบกับเงื่อนไขของโจทย์
1) ผลคูณของ -15 และ -16 คือ (-15)(-16)=240
2) ผลคูณของ 15 และ 16 คือ (15)(16)=240
ดังนั้น จำนวนเต็มทั้งสองนั้นมี 2 ชุด คือ -15, -16 และ 15, 16
การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียวโดยใช้สูตร
จากวิธีการแก้สมการโดยใช้การแยกตัวประกอบ อาจมีบางสมการที่ไม่สะดวกที่จะใช้วิธีแยกตัวประกอบ
เช่น x^2-5x+5 ดังนั้นน้อง ๆ สามารถใช้สูตรต่อไปนี้ในการช่วยแก้สมการได้
ตัวอย่างต่อไปนี้จะแสดงให้เห็นว่า หาก b^2-4ac\geq 0 จะได้ว่าสมการกำลังสองตัวแปรเดียวนั้นจะมี 2 คำตอบที่เป็นจำนวนจริง
ตัวอย่างต่อไปนี้จะแสดงให้เห็นว่า หาก b^2-4ac=0 จะได้ว่าสมการกำลังสองตัวแปรเดียวนั้นจะมีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงเพียงคำตอบเดียว
ตัวอย่างต่อไปนี้จะแสดงให้เห็นว่า หาก b^2-4ac<0 จะได้ว่าสมการกำลังสองตัวแปรเดียวนั้นจะไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง
เพื่อเป็นการประหยัดเวลาในการทำข้อสอบ ไม่โดนข้อสอบช็อตฟีลว่าแทนค่าลงในสูตรมาตั้งนาน สูตรก็ค่อนข้างยาว
แต่สมการไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
เราอาจตรวจสอบว่าสมการที่กำลังจะแก้นั้นมีคำตอบเป็นจำนวนจริงหรือไม่ก่อนก็ได้นะ ด้วยการแทนค่า a, b และ c ลงใน b^2-4ac ก่อนที่จะแทนค่าในสูตรเต็ม เช่นในตัวอย่างก่อนหน้าคือตัวอย่างที่ 4 – 6 พี่จะตรวจสอบเฉพาะ b^2-4ac
มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์หรือไม่ แล้วจึงจะหาคำตอบของสมการต่อไป
น้อง ๆ ที่อ่านมาจนถึงตรงนี้ พี่เชื่อว่าคงจะเห็นภาพรวมของสมการกำลังสองตัวแปรเดียวกันแล้ว แต่แค่อ่านอย่างเดียวอาจจะยังไม่พอน้าา ควรฝึกทำโจทย์เยอะ ๆ เพื่อให้เกิดความคุ้นชินก่อนที่จะไปเจอข้อสอบจริง ก็ดาวน์โหลดแบบฝึกหัดสมการกำลังสองตัวแปรเดียว ม.3 ที่พี่เอามาฝากได้เลย (ใครลองทำแล้วเป็นยังไงก็มารีวิวได้น้าา) และถ้าใครมีข้อสงสัย หรืออยากเข้าใจเนื้อหาให้ละเอียดขึ้น พี่แนะนำให้ไปดูคลิปติวเรื่องสมการกำลังสองตัวแปรเดียวเพิ่มเติมก็ได้น้าา
ดูคลิปติว สมการกำลังสองตัวแปรเดียว ม.3
ดูคลิปติวคณิตศาสตร์ฟรี ๆ ได้ที่ YouTube : SmartMathPro
คอร์สเรียน แนะนำ
บทความ แนะนำ
คณิตศาสตร์ ม.ต้น (ม.1 ม.2 ม.3) เรียนอะไรบ้าง ? อัปเดตล่าสุดจาก สสวท.
สรุป อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3 พร้อมแจกโจทย์และเฉลย
ตรีโกณมิติ ม.3 สรุปเนื้อหาพร้อมโจทย์แบบจัดเต็ม จบในที่เดียว !
สรุปคณิตศาสตร์ “ความคล้าย ม.3” พร้อมแจกโจทย์ปัญหาและเฉลยฟรี !!
บทความ แนะนำ
คณิตศาสตร์ ม.ต้น (ม.1 ม.2 ม.3) เรียนอะไรบ้าง ? อัปเดตล่าสุดจาก สสวท.
สำหรับน้อง ๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม ได้ที่ Line : @smartmathpronews
รวมถึงข่าวสารต่าง ๆ อัปเดตอย่างเรียลไทม์
FB : Pan SmartMathPro ติวคณิต By พี่ปั้น
IG : pan_smartmathpro
Twitter : @PanSmartMathPro
Tiktok : @pan_smartmathpro
