ใครกำลังหาสรุปเนื้อหา ตรีโกณมิติ ม.3 อยู่ ต้องรีบมารวมกันตรงนี้เลยยย วันนี้พี่เตรียมเนื้อหานี้มาให้น้อง ๆ ม.3
และน้อง ๆ ม.2 ที่อยากเตรียมตัวล่วงหน้าโดยเฉพาะเลยย เพราะพี่เชื่อว่าตรีโกณเป็นอีก 1 วิชาที่ยากและต้องเป็นไม้เบื่อ
ไม้เมาของหลายคนแน่นอนนน แต่ไม่ต้องกังวลไปน้าา เพราะพี่สรุปหัวข้อ สูตร พร้อมตัวอย่างโจทย์ตรีโกณมิติมาให้
หมดแล้ว ถ้าใครพร้อมแล้วเราก็ไปลุยกันเลย !
น้อง ๆ หลายคนเคยสงสัยไหมว่า เวลาที่เราเล่มเกม ไม่ว่าจะเป็นเกมขับรถ เกมเดินตะลุยสิ่งกีดขวาง คนพัฒนาเกมสร้างให้
ตัวละครเคลื่อนไหวได้ยังไง
พี่ขอยกตัวอย่างเพิ่มเติม เช่น หากคนพัฒนาเกมต้องการกำหนดให้ตัวละครกระโดด ให้น้อง ๆ สังเกตการกระโดดแล้วจะเห็นว่าตัวละครจะพุ่งขึ้นไปจนถึงจุดสูงสุดและลงมายังจุดต่ำสุด (ซึ่งก็แล้วแต่เกมอีกเช่นกัน บางเกมอาจจะร่วงตกลงมาเลย บางเกมอาจจะพุ่งไปด้านหน้าอีกนิดนึง) นั่นแปลว่าเราจะต้องพิจารณา จุดเริ่มกระโดด จุดสูงสุด และ
จุดตกลงมา จากสามจุดนี้จะทำให้เห็นว่ามันคือรูปเรขาคณิต (ที่น้อง ๆ ทุกคนรู้จัก) นั่นคือรูปสามเหลี่ยมนั่นเอง
ถ้าเราต้องการคาดคะเนระยะการกระโดดต่าง ๆ เพิ่มเติม เราต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับอัตราส่วนตรีโกณมิติมาช่วยใน
การคำนวณ
หากลองย้อนกลับไปในสมัยก่อน คนสนใจที่จะวัดความยาวของรูปสามเหลี่ยมชนิดต่าง ๆ จึงตั้งชื่อเล่นให้กับการวัด
ในลักษณะนี้ โดยกำหนดให้ชื่อนั้นมีที่มาจากคำว่า trigonon ที่แปลว่ารูปสามเหลี่ยม และ metron ที่แปลว่าการวัด รวมกันเป็นชื่อว่า trigonometry หรือ ตรีโกณมิติ นั่นเอง วันเวลาผ่านไปความรู้เรื่องตรีโกณมิติถูกใช้อย่างแพร่หลายและเป็นที่ต้องการอย่างมาก จนกลายที่ต้องเรียนในวิชาคณิตศาสตร์ไปแล้ววว
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
จากที่เราได้รู้ความหมายไปแล้ว เราก็พอจะรู้แล้วว่าในบทนี้ เราจะสนใจรูปสามเหลี่ยมเป็นหลัก โดยรูปที่เราสนใจศึกษามากที่สุดในบทนี้ คือ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั่นเอง เดี๋ยวเราลองมาดูกันเลยยย
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทั้งหมด 3 มุมแต่มี 1 มุมเป็นมุมฉาก ถ้าเราให้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มี C เป็นมุมฉาก เราจะเรียกแต่ละด้านดังต่อไปนี้
\overline{AB} คือ ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse)
\overline{BC} คือ ด้านตรงข้ามมุม A (the opposite side of angle A)
\overline{AC} คือ ด้านประชิดมุม A (the adjacent side of angle A)
ข้อสังเกต ชื่อด้านที่เราเรียกตามรูปข้างต้นจะพิจารณาที่มุม A เป็นหลัก แต่ถ้าเปลี่ยนมาพิจารณามุม B เราก็ยังมีชื่อเรียกของด้านเหล่านี้เหมือนกัน โดย \overline{AC} จะเป็นด้านตรงข้ามมุม B และ \overline{BC} จะเป็นด้านประชิดมุม B นั่นเอง
หลังจากที่น้องได้รู้จักชื่อเรียกด้านต่าง ๆ ของสามเหลี่ยมมุมฉากเพื่อให้จดจำและเข้าใจง่ายแล้ว ทีนี้เราจะมาเรียนรู้ว่า
จะเอามันมาใช้ประโยชน์ยังไงกัน !! ซึ่งจะเอามาใช้ในเรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติเนี่ยแหละ ไปต่อกันเลยยย
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
รูปสามเหลี่ยมมีองค์ประกอบที่สำคัญ คือ ด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมและมุมทั้ง 3 มุม ซึ่งต่อไปเราจะมาดู
ความสัมพันธ์ของแต่ละองค์ประกอบกันเลย
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมี C เป็นมุมฉาก เมื่อเราพิจารณามุมมุมหนึ่งที่ไม่ใช่มุมฉาก เช่น มุม A แล้วจะได้ว่า
ไซน์ของมุม A, โคไซน์ของมุม A และแทนเจนต์ของมุม A เนี่ยแหละ เราจะเห็นว่ามันคือการเอาความยาวด้านแต่ละด้านมาเทียบกันเป็นคู่ ๆ เราเรียกมันว่าอัตราส่วนตรีโกณมิติ ซึ่งอัตราส่วนตรีโกณมิติเดียวกันของมุมมุมหนึ่งเป็นค่าคงตัวค่าหนึ่งเสมอ และเราจะนิยมเขียน
sinA แทน ไซน์ของมุม A และอ่านว่า ไซน์ A
cosA แทน โคไซน์ของมุม A และอ่านว่า คอส A
tanA แทน แทนเจนต์ของมุม A และอ่านว่า แทน A
ตัวอย่างที่ 1 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดให้ จงหาค่า sinA, cosA, tanA, sinB, cosB, tanB
จากรูปจะได้ว่า
sinA = \frac{12}{13}
cosA = \frac{5}{13}
tanA = \frac{12}{5}
sinB = \frac{5}{13}
cosB = \frac{12}{13}
tanB = \frac{5}{12}
อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมที่มีขนาด 30 องศา, 45 องศา และ 60 องศา
จากหัวข้อก่อนหน้าเราได้รู้จักกับอัตราส่วนตรีโกณมิติไปแล้ว ซึ่งเรารู้ว่าอัตราส่วนตรีโกณมิติในมุมที่มีขนาดเท่ากัน
จะมีค่าเท่ากัน ซึ่งจริง ๆ แล้วขนาดของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นมีหลายมุมมากเลยนะ แต่ในระดับชั้น ม.3 เราจะโฟกัสแค่มุมแหลมที่มีขนาด 30^{\circ} , 45^{\circ} , 60^{\circ}
สมบัติ
สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ อัตราส่วนตรีโกณมิติเดียวกันของมุมที่มีขนาดเท่ากัน จะมีค่าเท่ากัน
ถ้าน้อง ๆ ยังจำค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติต่าง ๆ ของมุม 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ} จากในตารางไม่ได้ พี่มีเทคนิควิธีจำค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติแบบเก๋ ๆ ของมุม 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ} มาฝากกัน ยกมือซ้ายขึ้นมา แล้วลองไปดูกันว่าเทคนิคนี้มีวิธียังไงกันบ้างงง
วิธีใช้เทคนิคมือ (ซ้าย)
ขั้นตอนการหาค่าโดยใช้เทคนิคมือ (ซ้าย)
- เลือกมุมที่เราต้องการพิจารณา
- พับนิ้วลง ตามมุมในรูป เช่น ต้องการพิจารณามุม 30^{\circ} ให้พับนิ้วชี้ลง
- การหาค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติ จะหาได้จากการนับจำนวนนิ้วจากด้านซ้ายหรือด้านขวาที่แตกต่างกัน
ลองใช้เทคนิคมือซ้ายในการหาค่า เช่น
- ต้องการหาค่า sin60^{\circ}
ให้พับนิ้วนางลง เหลือ 3 นิ้วทางด้านซ้าย เลยได้ว่าค่าของ sin60^{\circ} มีค่าเท่ากับ \frac{\sqrt{3}}{2} - ต้องการหาค่า cos45^{\circ}
ให้พับนิ้วกลางลง เหลือ 2 นิ้วทางด้านขวา เลยได้ว่าค่าของ cos45^{\circ} มีค่าเท่ากับ \frac{\sqrt{2}}{2} นั่นคือ cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} จะเห็นว่าได้ค่าเท่ากับตารางด้านบนเลย - ต้องการหาค่า tan60^{\circ}
ให้พับนิ้วนางลง มี 3 นิ้วทางด้านซ้าย และ 1 นิ้วทางด้านขวา เลยได้ว่าค่าของ tan60^{\circ}
มีค่าเท่ากับ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1}}=\sqrt{3}
ตัวอย่างที่ 2 จากรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้ จงหาขนาดของมุม x และมุม y
แนวคิด เราจะมาพิจารณากันว่ารูปสามเหลี่ยมข้างต้นนี้ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ ถ้าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติในการหาขนาดของมุมต่อไป
วิธีทำ
จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส “กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก”
จากรูปสามเหลี่ยม
ABC จะได้ว่า CB^{2}=AB^{2}+AC^{2}
แทนค่าได้ว่า 10^{2}=5^{2}+(5\sqrt{3})^{2}
100=25+75
100=100 ซึ่งเป็นจริง
ดังนั้น รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีมุม A เป็นมุมฉาก
จากมุม x
พิจารณา cosx =\frac{5}{10}=\frac{1}{2}
จาก cos60^{\circ}=\frac{1}{2}
ดังนั้น x=60^{\circ}
จากมุม y
พิจารณา tany=\frac{5}{5\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}
จาก tan30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}
ดังนั้น y=30^{\circ}
ตัวอย่างที่ 3 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้ จงหาค่า x และ y
วิธีทำ จาก tan60^{\circ}=\sqrt{3}
จากรูป จะได้ว่า \frac{10\sqrt{3}}{x}=\sqrt{3}
10\sqrt{3}=x\sqrt{3}
x=10
จากค่า sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}
จากรูปจะได้ว่า \frac{10\sqrt{3}}{y} =\frac{\sqrt{3}}{2}
(10\sqrt{3})(2)=y\sqrt{3}
20\sqrt{3}=y\sqrt{3}
y=20
ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลลัพธ์ของ sin30^{\circ} + (cos45^{\circ})^{2}
วิธีทำ
จาก sin30^{\circ}=\frac{1}{2},cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}
จะได้ว่า sin30^{\circ} + (cos45^{\circ})^{2} = \frac{1}{2}+\left (\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1
ดังนั้น sin30^{\circ} + (cos45^{\circ})^{2} =1
โจทย์ปัญหาอัตราส่วนตรีโกณมิติ
ในการแก้ปัญหาที่ต้องใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติ จำเป็นต้องทราบขนาดของมุมด้วยน้า และการแก้โจทย์ปัญหาในเรื่องนี้เราจะใช้มุมที่เกิดจากการมองด้วยสายตา ซึ่งมีคำที่ใช้ในการเรียกมุมที่ทำกับแนวเส้นระดับสายตา 2 แบบด้วยกัน คือ
มุมก้ม (angle of depression) และมุมเงย (angle of elevation)
จากรูป จะเห็นได้ว่า
- มุมก้ม เป็นมุมที่เกิดจากการมองวัตถุที่อยู่ต่ำกว่าแนวเส้นระดับสายตา
- มุมเงย เป็นมุมที่เกิดจากการมองวัตถุที่อยู่สูงกว่าแนวเส้นระดับสายตา
เรามาดูตัวอย่างวิธีการใช้งาน โดยผ่านตัวอย่างนี้กัน
ตัวอย่างที่ 5 บันไดวางพาดกำแพงโดยทำมุม 30^{\circ} กับพื้น ถ้าปลายอีกด้านของบันไดอยู่ห่างจากฐานกำแพงอยู่
6\sqrt{3} เมตร แล้วบันไดยาวกี่เมตร
วิธีทำ
กำหนดให้ บันไดยาว x เมตร
จะได้ว่า cos30^{\circ}=\frac{6\sqrt{3}}{x}
จาก cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}
จะได้ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{x}
x\sqrt{3}=12\sqrt{3}
x=12
ดังนั้น บันไดยาว 12 เมตร
เป็นยังไงกันบ้างงง กับเนื้อหาตรีโกณมิติ ม.3 หลายคนพออ่านจบแล้ว อาจจะรู้สึกว่าเนื้อหาเยอะ แล้วก็ยากด้วย แต่ถ้าลองค่อย ๆ ทำความเข้าใจ รวมถึงทบทวนเนื้อหาและฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ พี่เชื่อว่าเนื้อหาตรีโกณมิติ ม.3 ก็จะไม่ยากเกินความสามารถของทุกคนแน่นอนน ซึ่งถ้าใครอยากได้แบบฝึกหัดเอาไว้ซ้อมมือ พี่ก็มีโจทย์มาให้ทุกคนได้ลองทำด้วยน้าา ไปดาวน์โหลดกันได้เลยย >> แจกฟรี แบบฝึกหัดตรีโกณมิติ ม.3
สำหรับใครที่ลองทำโจทย์เองดูแล้วก็ยังมีติดในบางจุดอยู่ และอยากได้ตัวช่วยที่จะทำให้เข้าใจตรีโกณมิติ (รวมถึงเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.3 ในบทอื่น ๆ) มากขึ้น พี่ก็มีคอร์สติวคณิตม.3 มาแนะนำให้ทุกคนด้วยน้าา มีสอนเนื้อหาครบทุกบทของ ม.3 ทั้งของเทอม 1 และเทอม 2 อิงตามหลักสูตร สสวท. เลยย โดยพี่จะสอนตั้งแต่ปูพื้นฐานพร้อมพาทำโจทย์ตั้งแต่ระดับซ้อมมือ ไปจนถึงข้อสอบแข่งขัน รับรองว่าพื้นฐานไม่แน่นก็เรียนได้ !! ถ้าใครสนใจดู รายละเอียดเพิ่มเติม คลิก ได้เลยน้าา
ดูคลิปติว ตรีโกณมิติ ม.3
ติดตามคลิปติวฟรีอื่น ๆ จากพี่ปั้น ได้ทาง YouTube Channel : SmartMathPro
คอร์สเรียน แนะนำ
บทความ แนะนำ
คณิตศาสตร์ ม.ต้น (ม.1 ม.2 ม.3) เรียนอะไรบ้าง ? อัปเดตล่าสุดจาก สสวท.
สรุปคณิตศาสตร์ “ความคล้าย ม.3” พร้อมแจกโจทย์ปัญหาและเฉลยฟรี !!
สรุป แยกตัวประกอบพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง ม.3 พร้อมโจทย์+เฉลย
สรุป อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3 พร้อมแจกโจทย์และเฉลย
สรุป สมการกำลังสองตัวแปรเดียว ม.3 พร้อมแจกโจทย์ฟรี !!
สถิติ ม.3 สรุปเนื้อหาคณิตม.ต้นหลักสูตรใหม่ พร้อมแจกโจทย์ให้ลองทำ !
สรุป พาราโบลา (ฟังก์ชันกำลังสอง) ม.3 พร้อมแจกสูตรและโจทย์ฟรี
สรุป วงกลม ม.3 ทฤษฎีบทวงกลม พร้อมแจกแบบฝึกหัดฟรี !
บทความ แนะนำ
คณิตศาสตร์ ม.ต้น (ม.1 ม.2 ม.3) เรียนอะไรบ้าง ? อัปเดตล่าสุดจาก สสวท.
สำหรับน้อง ๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม ได้ที่ Line : @smartmathpronews
รวมถึงข่าวสารต่าง ๆ อัปเดตอย่างเรียลไทม์
FB : Pan SmartMathPro ติวคณิต By พี่ปั้น
IG : pan_smartmathpro
Twitter : @PanSmartMathPro
Tiktok : @pan_smartmathpro
