เนื้อหาคณิต ม.3 เรื่อง กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง (พาราโบลา)

พอได้ยินชื่อ “ฟังก์ชันกำลังสอง” ในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.3 น้อง ๆ บางคนก็อาจจะรู้สึกว่าไม่เคยได้ยินชื่อนี้มาก่อน และคิดว่าต้องเป็นเนื้อหาที่ยากมากแน่ ๆ แต่ถ้าพี่พูดคำว่า “พาราโบลา” หลายคนก็อาจจะร้องอ๋อกันขึ้นมาบ้างแล้วใช่ไหม > <

แต่ถ้าใครยังไม่เคยได้ยินชื่อนี้มาก่อนก็ไม่เป็นไรน้าา วันนี้พี่จะพาทุกคนไปรู้จักกับฟังก์ชันกำลังสอง หรือ พาราโบลา ให้มากขึ้นในบทความนี้ตั้งแต่ความหมายของพาราโบลา สมการของพาราโบลา และความเชื่อมโยงระหว่างพาราโบลา ม.ต้น กับ ม.ปลาย แถมท้ายบทความมีแจกแบบฝึกหัดให้ฝึกซ้อมมือด้วยยย ไปอ่านกันเลยดีกว่าา

น้อง ๆ ลองสังเกตสิ่งที่อยู่รอบ ๆ ตัวจะพบสิ่งก่อสร้าง วัสดุ อุปกรณ์ หรือลักษณะในธรรมชาติบางอย่าง ที่ส่วนประกอบมีลักษณะเป็นเส้นโค้งทางเรขาคณิต ตัวอย่างสิ่งก่อสร้างระดับโลก เช่น บริเวณขาของหอไอเฟล (Eiffel Tower) ในประเทศฝรั่งเศส ที่มีความโค้ง หรือสะพานโกลเดนเกต (Golden Gate Bridge) ที่ซานฟรานซิสโก รัฐแคลิฟอร์เนีย สหรัฐอเมริกา ก็จะมีส่วนที่โค้ง ๆ โดยที่เส้นโค้งเหล่านี้จะมีลักษณะคล้ายกันเลย

กาลิเลโอ (Galileo Galilei) นักวิทยาศาสตร์ชาวอิตาลีที่มีชื่อเสียงของโลก พบว่าเมื่อเราโยนวัตถุ ไปในอากาศ เส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุนั้นจะมีลักษณะเป็นเส้นโค้ง ในทางคณิตศาสตร์เรียกเส้นโค้งที่มีลักษณะดังกล่าวนี้ว่า พาราโบลา (parabola)

ซึ่งพี่จะพาทุกคนไปรู้จักกับสมการของฟังก์ชันกำลังสอง หรือที่เราเรียกกันว่า สมการของพาราโบลา ว่าจะมีรูปแบบหน้าตาของสมการเป็นแบบไหน ดูได้จากรูปด้านล่างนี้เลย !!

สมการของพาราโบลา ม.3

กราฟของพาราโบลาในระดับชั้นนี้ที่น้อง ๆ จะได้เรียนต่อไปจะมีลักษณะ 2 แบบ คือ กราฟเป็นพาราโบลาหงาย หรือเป็นพาราโบลาคว่ำ ตามรูปด้านล่างนี้ โดยสมการของฟังก์ชันกำลังสองที่อยู่ในรูป  y=ax^2+bx+c  จะเรียกว่า สมการของพาราโบลา

เนื้อหาพาราโบลา ม.3 ลักษณะของกราฟพาราโบลาคว่ำและหงาย

ตัวอย่างที่ 1

สมการในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็นสมการของพาราโบลาหรือไม่
1. y=x^2-x+2
ตอบ เป็นสมการของพาราโบลา
2. x=y^2+y
ตอบ ไม่เป็นสมการของพาราโบลา
3. y=\frac{1}{x^2}
ตอบ ไม่เป็นสมการของพาราโบลา
4. x^2+y=9
ตอบ เป็นสมการของพาราโบลา
5. y= (x+2)(x-1)
ตอบ เป็นสมการของพาราโบลา

จากตัวอย่างข้างต้น วิธีแยกว่าสมการใดเป็นหรือไม่เป็นสมการของพาราโบลาทำได้ง่ายมากเลยน้าา คือ ให้น้อง ๆ ลองจัดรูปสมการที่โจทย์กำหนดให้อยู่ในรูป y=ax^2+bx+c ว่าสามารถทำได้หรือเปล่า (ซึ่งอาจทำได้โดยการย้ายข้างของสมการเพื่อแยกตัวแปร y ให้อยู่เพียงตัวเดียว รวมถึงการกระจายผลคูณในวงเล็บออกมาเหมือนข้อย่อยที่ 5) หรือจัดรูปด้วยวิธีอื่น ๆ) 

ถ้าสมการนั้นสามารถจัดรูปได้ เราจะได้ว่าสมการนั้นเป็นสมการของพาราโบลา แต่ถ้าพยายามจัดรูปจนถึงที่สุดแล้วก็ยังไม่สามารถจัดให้อยู่ในรูป y=ax^2+bx+c ได้ เหมือนในข้อย่อยที่ 2) และ 3) ก็จะได้ว่าสมการนั้นไม่เป็นสมการของพาราโบลานั่นเองง

หลังจากเราได้รู้จักสมการและลักษณะคร่าว ๆ ของกราฟของพาราโบลาแล้ว เรามาทำความรู้จักกับส่วนประกอบต่าง ๆ ของกราฟพาราโบลาเพิ่มเติมกันดีกว่า ซึ่งส่วนประกอบก็มีตามนี้เลยย

ส่วนประกอบของกราฟพาราโบลา ม.3

พาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0,0) 

พอเรารู้ส่วนประกอบของพาราโบลาไปแล้ว ต่อไปเราจะมาดูกันว่ากราฟพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ \left ( 0,0 \right ) จะมีสมการของพาราโบลา หรือฟังก์ชันกำลังสองที่มีหน้าตาของสมการเป็นยังไง พาราโบลาจะคว่ำ หรือหงายตอนไหน รวมถึงการสังเกตความแคบหรือความบานของกราฟด้วยว่าความแตกต่างกันนั้น เกิดจากค่าไหนของสมการ

 พาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด \left ( 0,0 \right ) คือพาราโบลาที่มีสมการอยู่ในรูป y=ax^{2}

โดยเราจะบอกลักษณะของกราฟได้จากค่า a

เมื่อ a > 0  (ค่า a เป็นบวก) 
กราฟจะมีลักษณะเป็นพาราโบลาหงาย และจะมีจุดต่ำสุด อยู่ที่ \left ( 0,0 \right) แต่ไม่มีจุดสูงสุด โดยค่าต่ำสุดของ y คือ 0
 
เมื่อ a < 0 (ค่า a เป็นลบ) 
กราฟจะมีลักษณะเป็นพาราโบลาคว่ำ และจะมีจุดสูงสุด อยู่ที่ \left ( 0,0 \right ) แต่ไม่มีจุดต่ำสุด โดยค่าสูงสุดของ y คือ 0 

ตัวอย่างที่ 2

จงบอกลักษณะสำคัญของกราฟพาราโบลาของสมการ y=\frac{1}{2}x^2

วิธีทำ พิจารณาสมการของพาราโบลา เนื่องจาก a=\frac{1}{2} ซึ่ง a>0
ดังนั้น กราฟจะมีลักษณะเป็นพาราโบลาหงาย และกราฟจะมีจุดต่ำสุด อยู่ที่ \left ( 0,0 \right) แต่ไม่มีจุดสูงสุด โดยมีค่าต่ำสุดของ y คือ 0

โดยความบานของกราฟ จะมากหรือน้อยก็ขึ้นอยู่กับค่า a เช่นเดียวกัน ถ้า \left | a \right | มีค่าน้อยลงเรื่อย ๆ กราฟจะบานมากขึ้นเรื่อย ๆ และถ้า \left | a \right | มีค่ามากขึ้นเรื่อย ๆ กราฟจะบานน้อยลงเรื่อย ๆ (กราฟดูแคบลง)

วิธีสังเกต คือ เลขเล็ก ๆ กราฟจะบาน เลขใหญ่ ๆ กราฟจะแคบ โดยไม่ต้องสนเครื่องหมายบวกลบ

และเราสามารถบอกได้ว่าพาราโบลานี้ จะมีแกนสมมาตรอยู่ที่แกน y หรือ x=0 เสมอนั่นเอง

ตัวอย่างที่ 3

จงจับคู่สมการของพาราโบลากับกราฟของสมการต่อไปนี้

โจทย์การจับคู่สมการและกราฟพาราโบลา ม.3
วิธีทำ พิจารณาสมการของพาราโบลา y=ax^{2} โดยแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม

กลุ่มที่ 1
a>0 
ได้แก่ สมการในข้อ 1 ข้อ 3 และข้อ 6
เนื่องจาก ถ้า \left | a \right | มีค่าน้อยลงเรื่อย ๆ กราฟจะบานมากขึ้นเรื่อย ๆ
จะได้ว่า พาราโบลา D เป็นกราฟของสมการในข้อ 6 คือ y={3x}^2
พาราโบลา E เป็นกราฟของสมการในข้อ 1 คือ y={x}^2 
พาราโบลา F เป็นกราฟของสมการในข้อ 3 คือ  y=\frac{1}{3}x^2  

กลุ่มที่ 2 
a<0
ได้แก่ สมการในข้อ 2 ข้อ 4 และข้อ 5
เนื่องจาก ถ้า \left | a \right | มีค่าน้อยลงเรื่อย ๆ กราฟจะบานมากขึ้นเรื่อย ๆ
จะได้ว่า พาราโบลา A เป็นกราฟของสมการในข้อ 2 คือ y={-3x}^2 
พาราโบลา B เป็นกราฟของสมการในข้อ 4  คือ y=-{x^2}   
พาราโบลา C เป็นกราฟของสมการในข้อ 5  คือ y={-\frac{2}{7}x}^2  

สมการของพาราโบลา

จากเนื้อหาก่อนหน้านี้เราได้เห็นรูปแบบสมการของพาราโบลาในรูป y=ax^2 กันแล้ว ทีนี้มาดูกันว่าสมการพาราโบลามีรูปแบบสมการเป็นแบบไหนได้อีกบ้าง และกราฟที่ได้จากสมการแต่ละรูปแบบจะมีลักษณะที่แตกต่างกันยังไงด้วย

 พาราโบลากำหนดด้วยสมการ y=ax^2+k เมื่อ a\neq 0 และ k\neq 0
 กราฟที่กำหนดด้วยสมการรูปแบบนี้จะเป็นพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0,k) และมีแกนสมมาตรคือ แกน y หรือ x=0

ตัวอย่างที่ 4 

กำหนดค่า x ดังในตาราง จงเติมค่า y ที่สอดคล้องกับสมการที่กำหนดให้ลงในตารางให้ถูกต้อง พร้อมทั้งวาดกราฟของแต่ละสมการที่กำหนดให้ 

รูปแบบสมการของพาราโบลา ม.3
กราฟพาราโบลา ม.3

สังเกตว่า จุดยอดของกราฟจะอยู่ที่จุด (0,k) มีค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดของ y เท่ากับ k และกราฟมีลักษณะการเปลี่ยนแปลง โดยการเลื่อนขึ้นหรือเลื่อนลงตามค่า k

ซึ่งสรุปได้ว่า 

เมื่อ k>0 จะทำให้กราฟพาราโบลาเลื่อนขึ้น 

และเมื่อ k<0 จะทำให้กราฟพาราโบลาเลื่อนลง

พาราโบลากำหนดด้วยสมการ y=a\left ( x-h \right )^2 เมื่อ a\neq 0 และ h\neq 0

กราฟที่กำหนดด้วยสมการรูปแบบนี้ จะเป็นพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (h,0) และมีแกนสมมาตรคือ เส้นตรง x=h

ตัวอย่างที่ 5

กำหนดค่า x ดังในตาราง จงเติมค่า y  ที่สอดคล้องกับสมการที่กำหนดให้ลงในตารางให้ถูกต้อง พร้อมทั้งวาดกราฟของแต่ละสมการที่กำหนดให้ 

ตัวอย่างโจทย์การจับคู่สมการกับกราฟพาราโบลา ม.3
ตัวอย่างกราฟพาราโบลา ม.3

จากตัวอย่างนี้จะสังเกตได้ว่า จุดยอดของกราฟจะอยู่ที่จุด (h,0) และกราฟมีลักษณะการเปลี่ยนแปลงโดยการเลื่อนไปทางซ้ายหรือเลื่อนไปทางขวาตามค่า h

ซึ่งสรุปได้ว่า 

เมื่อ h>0 จะทำให้กราฟพาราโบลาเลื่อนไปทางขวา

และเมื่อ h<0 จะทำให้กราฟพาราโบลาเลื่อนไปทางซ้าย 

จาก สองตัวอย่างที่ผ่านมาถือเป็นรูปแบบย่อยเพื่อทำให้เราสังเกตค่าของ h และ k ว่าส่งผลยังไงกับกราฟของสมการพาราโบลา ทีนี้มาดูรูปแบบเต็ม ๆ ของมัน คือสมการพาราโบลาที่มีทั้งค่า h และ k กันดีกว่า

 พาราโบลากำหนดด้วยสมการ y=a\left ( x-h \right )^2 +k เมื่อ a\neq 0, h \neq 0 และ k\neq 0

กราฟที่กำหนดด้วยสมการรูปแบบนี้  จะเป็นพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (h, k) และมีแกนสมมาตรคือ เส้นตรง x=h

ตัวอย่างที่ 6

จงเขียนกราฟของสมการ

  y=\left ( x-2 \right )^2 +1

วิธีทำ 

พิจารณากราฟของสมการ 

y=\left ( x-2 \right )^2 +1
จะได้

  1. กราฟเป็นพาราโบลาหงาย ที่มีเส้นตรง x=2 เป็นแกนสมมาตร
  2. จุดต่ำสุดของกราฟ คือ จุด (2,1)
  3. ค่าต่ำสุดของ y คือ 1
  4. หาพิกัดของจุดต่าง ๆ ที่อยู่ข้างเดียวกันของแกนสมมาตร
แบบฝึกหัดพาราโบลา ม.3

ตัวอย่างที่ 7

จงเขียนกราฟของสมการ

  y=-2\left ( x+4 \right )^2 -5

วิธีทำ  พิจารณากราฟของสมการ

  y=-2\left ( x+4 \right )^2 -5  

จะได้

  1. กราฟเป็นพาราโบลาคว่ำ ที่มีเส้นตรง x=-4  เป็นแกนสมมาตร
  2. จุดสูงสุดของกราฟ คือ จุด (-4,-5)
  3. ค่าสูงสุดของ y คือ -5
  4. หาพิกัดของจุดต่าง ๆ ที่อยู่ข้างเดียวกันของแกนสมมาตร
โจทย์สมการและกราฟของพาราโบลา ม.3

เขียนเส้นโค้งเรียบผ่านจุดพิกัดตามตาราง และเขียนเส้นโค้งเรียงที่สมมาตรกับอีกข้างหนึ่งของเส้นตรง x=-4
จะได้กราฟของสมการ y=-2\left ( x+4 \right )^2 -5

จากตัวอย่างที่ผ่านมาของสมการพาราโบลา เราสามารถสรุปได้ว่า

1. พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ
y=a\left ( x-h \right )^2 +k เมื่อ a\neq 0

  • ถ้า h=0 และ k=0 
    จะได้สมการ y=ax^2
  • ถ้า h=0 และ k\neq 0
    จะได้สมการ y=ax^2+k
  • ถ้า h\neq 0 และ k=0 
    จะได้สมการ y=a\left ( x-h \right )^2
  • ถ้า h\neq 0 และ k\neq 0 
    จะได้สมการ y=a\left ( x-h \right )^2 +k

2. พาราโบลากำหนดด้วยสมการ 
y=ax^{2}+bx+c เมื่อ a\neq 0

ในกรณีที่สมการของพาราโบลาอยู่ในรูปแบบ y=ax^{2}+bx+c จะมีปัญหาว่ารูปแบบดังกล่าวจะนำไปวาดกราฟของพาราโบลาและหาส่วนประกอบต่าง ๆ ของพาราโบลาได้ยาก แต่น้อง ๆ ไม่ต้องกังวลน้าา เราจะจัดรูปสมการนี้ใหม่เพื่อให้สมการอยู่ในรูปแบบของ y=a\left ( x-h \right )^2 +k ที่เพิ่งผ่านมาก่อนหน้า แล้วเราก็จะวาดกราฟและหาส่วนประกอบของพาราโบลาจากสมการที่จัดใหม่ได้เลยย

ตัวอย่างที่ 8

 จงพิจารณาสมการ y = x^2  –  2x + 4 แล้วตอบคำถามต่อไปนี้

  1. กราฟเป็นพาราโบลาคว่ำหรือพาราโบลาหงาย
  2. จุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดของกราฟเป็นจุดใด
  3. เส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร
แบบฝึกหัดการหาลักษณะ จุดสูงสุดต่ำสุด และแกนสมมาตรในพาราโบลา ม.3

จะเห็นว่าวิธีการเบื้องต้นจะมีขั้นตอนที่ใช้ความรู้ในบทการแยกตัวประกอบของพหุนาม เรื่องการจัดพหุนามดีกรีสองให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์เข้ามาช่วย แน่นอนว่าบางคนเห็นแล้วก็อาจจะรู้สึกว่ามันยากเกินไป มีวิธีที่ง่ายกว่านี้ไหม พี่ก็ขอ
บอกเลยว่า มีน้าา และเป็นวิธีที่ไม่จำเป็น
ต้องจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์ของพหุนามด้วย แค่น้อง ๆ รู้สูตรด้านล่างนี้ก็เอาไปปรับใช้ได้เลยย

สูตรลัดในการหาจุดยอดของพาราโบลา

เมื่อสมการพาราโบลาอยู่ในรูป y=ax^{2}+bx+c จะสามารถหาจุดยอดของพาราโบลาได้จากสูตร

  (h,k)=\left ( -\frac{b}{2a} ,\frac{4ac-b^{2}}{4a}\right )

ตัวอย่างที่ 9

จงพิจารณาสมการ y=2x^2-12x+19 แล้วตอบคำถามต่อไปนี้

  1. กราฟเป็นพาราโบลาคว่ำหรือพาราโบลาหงาย
  2. จุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดของกราฟเป็นจุดใด
  3. เส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร
การหาลักษณะ จุดสูงสุดต่ำสุด และแกนสมมาตรในพาราโบลา ม.3 โดยใช้การแยกตัวประกอบพหุนาม

ความเชื่อมโยงระหว่างพาราโบลาของ ม.ต้น และ ม.ปลาย

สำหรับเนื้อหาพาราโบลาที่พี่ได้อธิบายไปตั้งแต่ต้นจนถึงตอนนี้ น้อง ๆ คงจะเห็นแล้วว่าลักษณะของกราฟจะแบ่งได้เป็น 2 ประเภทสำคัญ คือ กราฟพาราโบลาหงาย และกราฟพาราโบลาคว่ำ แต่ในความเป็นจริง นี่เป็นเพียงแค่ส่วนหนึ่งของพาราโบลาเท่านั้น ยังมีพาราโบลาลักษณะอื่น ๆ อีก ซึ่งเราจะได้ไปเจอในคณิต ม.ปลาย บทเรขาคณิตวิเคราะห์ หรือที่รู้จักกันว่า “ภาคตัดกรวย” นั่นเอง (ซึ่งอยู่ในเนื้อหาคณิตเพิ่มเติมเท่านั้นน้าา) 

และน้อง ๆ ก็จะเห็นอีกว่า กราฟพาราโบลาที่เราเรียนตอนนี้เป็นกราฟที่เกิดจากฟังก์ชันกำลังสองซึ่งอยู่ในรูป y=ax^2+bx+c แต่กราฟพาราโบลาที่จะได้เจอในอนาคตนั้นยังมีนิยามอื่น ๆ อีกที่นอกเหนือจากรูปแบบของฟังก์ชัน ซึ่งเราจะได้รู้จัักกับสมการของพาราโบลาที่ทำให้เกิดกราฟแบบตะแคงขวาและตะแคงซ้ายในบทภาคตัดกรวยด้วยย

และเราอาจจะเคยเจอในชีวิตประจำวันมาบ้างแล้ว แต่อาจจะนึกไม่ถึงว่าเกี่ยวกับพาราโบลายังไง รวมไปถึงเราจะได้รู้จักและทำความเข้าใจส่วนประกอบต่าง ๆ ของพาราโบลา ไม่ว่าจะเป็น จุดโฟกัส เส้นไดเรกตริกซ์ ลาตัสเรกตัม โดยหน้าตาของพาราโบลาแบบตะแคงที่พี่ได้พูดไปเมื่อกี้ มีตัวอย่างประกอบตามรูปข้างล่างเลยย
ลักษณะของกราฟพาราโบลา ในเนื้อหา คณิตศาสตร์ ม.ปลาย
ส่วนประกอบของกราฟพาราโบลา ในเนื้อหาคณิต ม.ปลาย

เป็นยังไงกันบ้างงง กับเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.3 เรื่องพาราโบลา (ฟังก์ชันกำลังสอง) ที่น้อง ๆ เพิ่งอ่านจบไป จะเห็นว่าเป็นบทที่ไม่ได้มีแค่สูตร สมการ หรือการคำนวณอย่างเดียว แต่มีการวาดกราฟเข้ามาเกี่ยวด้วยย ซึ่งจะเอาไปต่อยอดกับเนื้อหาคณิต ม.ปลาย ได้อีกเยอะเลยย และถ้าใครอ่านจบแล้ว อยากลองทดสอบความเข้าใจของตัวเอง ก็สามารถดาวน์โหลดแบบฝึกหัดไปลองทำกันได้เลยน้าา >>> แจกฟรี แบบฝึกหัดพาราโบลา (ฟังก์ชันกำลังสอง) ม.3

แต่สำหรับน้อง ๆ คนไหนที่อยากทำความเข้าใจเนื้อหาพาราโบลา (ฟังก์ชันกำลังสอง) เพิ่มเติม รวมถึงเก็บเนื้อหากับฝึกทำโจทย์คณิต ม.3 เรื่องอื่น ๆ ให้แน่นมากขึ้น พี่ก็ขอแนะนำคอร์สติวคณิต ม.3 ซึ่งพี่มีคอร์สครบทั้งของเทอม 1 และเทอม 2 อิงตามหลักสูตร สสวท.เลยย

โดยในคอร์สนี้ พี่จะสอนเนื้อหาตั้งแต่ปูพื้นฐาน และพาทุกคนฝึกโจทย์ตั้งแต่ระดับซ้อมมือไปจนถึงข้อสอบระดับแข่งขันเลยน้าา รับรองว่าถ้าเรียนจบแล้ว และทบทวนเนื้อหา พร้อมฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ ก็จะเก่งขึ้นได้แน่นอน !! (คนที่พื้นฐานยังไม่แน่นก็เรียนได้สบายมากก) ถ้าใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติมก็ คลิก ได้เลยย

ดูคลิปติว คณิต ม.3 พาราโบลา (ฟังก์ชันกำลังสอง)

ติดตามคลิปติวฟรีอื่น ๆ จากพี่ปั้น ได้ทาง Youtube Channel : SmartMathPro

คอร์สเรียน แนะนำ

บทความ แนะนำ

บทความ แนะนำ

สรุปเนื้อหาคณิตม.3 เรื่องการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง
สรุป แยกตัวประกอบพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง ม.3 พร้อมโจทย์+เฉลย
สรุปเนื้อหาคณิตม.3 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สรุป อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3 พร้อมแจกโจทย์และเฉลย
สรุปเนื้อหาคณิตม.3 เรื่องสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
สรุป สมการกำลังสองตัวแปรเดียว ม.3 พร้อมแจกโจทย์ฟรี !!
สรุปเนื้อหาคณิต ม.3 เรื่อง สถิติ (แผนภาพกล่อง)
สถิติ ม.3 สรุปเนื้อหาคณิตม.ต้นหลักสูตรใหม่ พร้อมแจกโจทย์ให้ลองทำ !
สรุปเนื้อตรีโกณมิติ ม.3 พร้อมโจทย์และวิธีการทำ
ตรีโกณมิติ ม.3 สรุปเนื้อหาพร้อมโจทย์แบบจัดเต็ม จบในที่เดียว !
สรุปเนื้อหาคณิตม.3 เรื่องความคล้าย
สรุปคณิตศาสตร์ “ความคล้าย ม.3” พร้อมแจกโจทย์ปัญหาและเฉลยฟรี !!
สรุปเนื้อหาคณิตม.3 เรื่องวงกลม
สรุป วงกลม ม.3 ทฤษฎีบทวงกลม พร้อมแจกแบบฝึกหัดฟรี !

สำหรับน้อง ๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม ได้ที่ 

Line : @smartmathpronews  รวมถึงข่าวสารต่าง ๆ อัปเดตอย่างเรียลไทม์

FB : Pan SmartMathPro ติวคณิต By พี่ปั้น 

IG : pan_smartmathpro

Twitter : @PanSmartMathPro 

Tiktok : @pan_smartmathpro

Share