สรุปเนื้อหาคณิตม.3 เรื่องการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง

มีน้อง ๆ คนไหนกำลังเรียนอยู่ชั้น ม.3 หรืออยู่ในช่วงกำลังจะขึ้น ม.3 แล้วอยากได้สรุปเนื้อหาคณิตมาทบทวนกันบ้างงง ?  วันนี้ห้ามพลาดเลยน้า เพราะวันนี้พี่มีเนื้อหาคณิต ม.3 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง มาฝากทุกคน !! แถมยังแจกแบบฝึกหัดพร้อมเฉลย ถึง 50 ข้อ ให้น้อง ๆ เอาไปฝึกทำกันด้วย ใครอยากเข้าใจเนื้อหาเรื่องนี้มากขึ้น ก็รีบเลื่อนลงไปดูกันเล้ยยย

ในระดับชั้น ม.2 น้อง ๆ เคยเรียนเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองมาแล้ว จากชื่อของบทนี้จะเห็นว่าพหุนามที่เราจะแยกตัวประกอบมีดีกรีสูงขึ้นกว่าที่เคยเรียนมา ดังนั้นเรามาทบทวนความหมายกันก่อนน้าา

พหุนาม

คือ นิพจน์ที่อยู่ในรูปการบวกกันของเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไปได้ เช่น

  • x^{3} + 8
  • x^{2}  –  2x – 1

ดีกรีของพหุนาม

คือ ดีกรีสูงสุดของพจน์ของพหุนามในรูปผลสำเร็จ เช่น

  • 2x  –  1 เป็นพหุนามที่มีดีกรีเท่ากับ 1
  • 4x^{3}  –  x^{2} + 1 เป็นพหุนามที่มีดีกรีเท่ากับ 3

การแยกตัวประกอบพหุนาม

คือ การเขียนพหุนามที่กำหนดให้อยู่ในรูปของการคูณกันของพหุนามตั้งแต่สองพหุนามขึ้นไป  เช่น

  • 10x^{3} + 5x แยกตัวประกอบได้เป็น (5x)(2x² + 1)
  • x^{4}  –  3^{2}+x แยกตัวประกอบได้เป็น (x)(x^{3} + 3x + 1)

จากตัวอย่างอย่างข้างต้นจะเห็นว่าเราสามารถแยกตัวประกอบของ 5x^{3} + x ซึ่งเป็นพหุนามดีกรีสาม
และ x^{4} + 3x^{2} + x   ซึ่งเป็นพหุนามดีกรีสี่ได้ด้วยวิธีการดึงตัวร่วม

คำถามคือ ถ้าเป็นพหุนามดีกรีสาม หรือตั้งแต่สามขึ้นไป (ตามชื่อบท นั่นคือเราจะมาแยกตัวประกอบพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสองกัน) ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบด้วยวิธีดึงตัวร่วมได้อย่างเช่นตัวอย่างด้านล่างนี้

  • x^{3} + 8
  • x^{3} + 6x^{2} +12x + 8
  • x^{4} + 2x^{2}  –  3
  • x^{3}y^{6}  –  8

จะแยกตัวประกอบอย่างไรดี ? ในบทเรียนนี้จะมีคำตอบให้น้อง ๆ เลย เราสามารถใช้สูตรต่าง ๆ หรือใช้ความรู้เดิมนั่นคือการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง (แยกสองวงเล็บ) มาใช้ต่อยอดได้นะ

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสาม

หัวข้อนี้จะกล่าวถึงการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสาม ที่แต่ละพจน์มีสัมประสิทธิ์และค่าคงตัวเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งพหุนามจะอยู่ในรูปของผลบวกและผลต่างของกำลังสาม รวมถึงกำลังสามสมบูรณ์ ซึ่งจะมีวิธีการแยกตัวประกอบโดยใช้สูตรดังนี้

ผลบวกและผลต่างของกำลังสาม

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสาม

พหุนามต่อไปนี้ ถ้าน้องสังเกตเห็นว่าเป็นพหุนามที่น่าจะเขียนให้อยู่ในรูปผลบวกของกำลังสาม A^{3} + B^{3} หรือผลต่างของกำลังสาม A^{3}  –  B^{3} ได้ ให้ลองจัดรูปดู 

ถ้ามีตัวไหนที่ไม่ได้อยู่ในรูปของกำลังสามของจำนวนนั้นหรือตัวแปรนั้นให้เขียนให้เรียบร้อย เช่น 8 คือกำลังสามของ 2 และ 27y^{3} คือกำลังสามของ 3y ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสามต่อไปนี้

1) x^{3} + 8

วิธีทำ จาก x^{3} + 8 แยกตัวประกอบได้ดังนี้

                x^{3} + 8 = x^{3} + x^{2}

                                = (x + 2) (x^{2}  –  (x)(2)+2^{2}) 

                                = (x + 2) (x^{2}  –  2x + 4)

ดังนั้น x^{3} + 8 แยกตัวประกอบได้เป็น (x + 2) (x^{2}  –  2x + 4)

2) 27y^{3}  –  125

วิธีทำ จาก 27y^{3}  –  125 แยกตัวประกอบได้ดังนี้

                27y^{3}  –  125 = (3y^{3})  –  5^{3}

                                      = (3y  –  5) \left [(3y)^{2} + (3y)(5) + 5^{2} \right ]

                                      = (3y  –  5) (9y^{2} + 15y + 25)

ดังนั้น 27y^{3}  –  125 แยกตัวประกอบได้เป็น = (3y  –  5) (9y^{2} + 15y + 25)

กำลังสามสมบูรณ์

กำลังสามสมบูรณ์ แยกตัวประกอบของพหุนาม

พหุนามต่อไปนี้ ถ้าน้องสังเกตเห็นว่าเป็นพหุนามที่น่าจะเขียนให้อยู่ในรูป A^{3} + 3A^{2}B + 3AB^{2} + B^{3} หรือ A^{3} – 3A^{2}B + 3AB^{2}  –  B^{3} ได้ นั่นคือลองเขียนพจน์แรกและท้ายสุดให้อยู่ในรูปของกำลังสาม เพื่อหาว่าจากโจทย์ A และ B มีค่าเท่าใด จากนั้นตรวจสอบพจน์ตรงกลางสองพจน์ โดยใช้ A และ B ที่ได้มาพิจารณาว่าสามารถเขียนให้อยู่ในรูป 3A^{2}B และ 3AB^{2} ได้หรือไม่ ถ้าได้ พหุนามที่โจทย์กำหนดคือพหุนามที่อยู่ในรูปกำลังสามสมบูรณ์

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้

1) x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8

วิธีทำ จาก x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8 แยกตัวประกอบได้ดังนี้

            จะได้  x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8 = x^{3} + 3 (x^{2})(2) + 3(x)(2^{2}) + 2^{3}

            จากสูตร A^{3} + 3A^{2}B + 3AB^{2} + B^{3} = (A+B)^{3}

             จะได้ A = x  และ B = 2

             ดังนั้น   x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8 = (x + 2)^{3}

            นั่นคือ x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8 แยกตัวประกอบได้เป็น (x + 2)^{3}

2) x^{3} + 9x^{2} + 27x  –  27

วิธีทำ จาก x^{3} + 9x^{2} + 27x  –  27 แยกตัวประกอบได้ดังนี้

      จะได้ x^{3} + 9x^{2} + 27x  –  27 = x^{3} – 3(x^{2})(3) + 3(x) (3^{2})  –  3^{3}

      จากสูตร A^{3} + 3A^{2}B + 3AB^{2} + B^{3} = (A   –   B)^{3}

      จะได้ A = x  และ B = 2

      ดังนั้น   x^{3} + 9x^{2} + 27x   –   27 = (x  –  3)^{3}

             นั่นคือ x^{3} + 9x^{2} + 27x  –  27 แยกตัวประกอบได้เป็น (x  –  3)^{3}

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกว่าสาม

การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสาม อาจทำได้โดยจัดพหุนามให้อยู่ในรูปผลต่างของกำลังสอง กำลังสองสมบูรณ์ ผลบวกกำลังสาม ผลต่างกำลังสาม หรือใช้แนวคิดของการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง

จัดให้อยู่ในรูปผลต่างของกำลังสอง

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกว่าสาม จัดให้อยู่ในรูปผลต่างกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x^{4}-16

วิธีทำ จากรูปแบบของผลต่างกำลังสอง A^{2}  –  B^{2} = (A + B)(A  –  B) แยกตัวประกอบได้ดังนี้

จะได้      x^{4}-16 = (x^{2})^{2}  –  (4^{2})

                                  = (x^{2} + 4) (x^{2}  –  4)

                                = (x^{2} + 4) (x^{2}  –  2^{2})

                = (x^{2} + 4) (x + 2) (x  –  2)

เนื่องจาก x^{2} + 4   ไม่สามารถแยกตัวประกอบต่อได้

ดังนั้น x^{4}-16 แยกตัวประกอบได้เป็น (x^{2} + 4) (x + 2) (x  –  2)

จัดให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์

การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงกว่าสาม จัดให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์

ตัวอย่างที่ 4  จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x^{4} + 32x^{2} + 256

วิธีทำ กำหนดให้ K = x^{2}

จากรูปแบบของกำลังสองสมบูรณ์ A^{2} + 2AB + B^{2} = (A+B)^{2} แยกตัวประกอบได้ดังนี้

จะได้  x^{4} + 32x^{2} + 256  = (x^{2})^{2} + 32x^{2} + 256

                                                  = K^{2} + 32K + 256

                                                  = K^{2} + 2(16)K+ 16^{2}

                                                  = (K + 16)^{2}

                                                  = (x^{2} + 16)^{2}

ดังนั้น x^{4} + 32x^{2} + 256 แยกตัวประกอบได้เป็น (x^{2} + 16)^{2}

ข้อสังเกต ! สามารถสมมติตัวแปรเป็น K ได้นะ เพื่อให้เรามองพหุนามดีกรีสี่เป็นพหุนามดีกรีสองได้ จะได้แยกตัวประกอบได้ง่ายขึ้น แต่อย่าลืมเปลี่ยน K กลับมาเป็น x ด้วยนะ

จัดให้อยู่ในรูปผลบวกของกำลังสาม หรือผลต่างของกำลังสาม

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x^{3}y^{6}-8

วิธีทำ จากรูปแบบของผลต่างกำลังสาม  A^{3}  –  B^{3} = (A  –  B) (A^{2} + AB + B^{2}) แยกตัวประกอบได้ดังนี้

จะได้ x^{3}y^{6}  –  8 = (xy^{2})^{3}  –  2^{3}

                                = [xy^{2}  –  2] \left [(xy^{2})^{2} + (xy^{2})(2) + 2^{2} \right ]

                                = (xy^{2}  –  2)(x^{2})y^{4} + 2xy^{2} + 4)

ดังนั้น x^{3}y^{6}  –  8 แยกตัวประกอบได้เป็น   (xy^{2}  –  2)(x^{2})y^{4} + 2xy^{2} + 4)

ใช้แนวคิดจากการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

ทบทวนแนวคิดการแยกพหุนามดีกรีสองโดยแยกเป็นสองวงเล็บ

พหุนามที่อยู่ในรูป ax^{2} + bx + c แยกตัวประกอบเป็น 

(px + r)(qx + 8) เมื่อ pq = a, rs = c และ ps + qr = b โดยที่ a, b, c, p, q, r, s เป็นจำนวนเต็ม และ a ≠ 0

เช่น

x^{2} + x – 2 = (x  –  1)(x + 2)

6x^{2}  –  11x + 3 = (3x  –  1)(2x  –  3)

จากตัวอย่างข้างต้น ถ้าเราสามารถเขียนพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสองนี้ให้อยู่ในรูปของพหุนามดีกรีสองได้ โดยอาจสมมติตัวแปรเป็น K เช่นที่เคยทำในตัวอย่างก่อนหน้า แล้วเราก็จะแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองเป็นสองวงเล็บได้เช่นกัน

สามารถเปรียบเทียบการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง ซึ่งเป็นความรู้เดิม โดยการแยกตัวประกอบของพหุนามโดยนำแนวคิดมาใช้ ดังนี้

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง (ความรู้เดิม)

ตัวอย่างที่ 6  จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x^{2} + 2x  –  3

วิธีทำ

พิจารณา x^{2} + 2x  –  3 = (x + 3)(x  –  1)

ดังนั้น x^{2} + 2x  –  3 แยกตัวประกอบได้เป็น (x + 3)(x  –  1)

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสาม (นำแนวคิดมาใช้)

ตัวอย่างที่ 7  จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x^{4}+2x^{2}  –  3  

วิธีทำ กำหนดให้ K = x^{2}

จะได้

x^{4} + 2x^{2}  –  3 = (x^{2})^{2} + 2x^{2}  –  3

                          = K^{2} + 2K  –  3  

                          = (K + 3)(K  –  1)  

                          = (x^{2} + 3)(x^{2}  –  1)  

                          = (x^{2} + 3)(x^{2}  –  12)  

                          = (x^{2} + 3)(x + 1)(x  –  1)

ดังนั้น x^{4} + 2x  –  3 แยกตัวประกอบได้เป็น   (x^{2} + 3)(x + 1)(x  –  1)  

เป็นยังไงบ้าง สำหรับสรุปเนื้อหาที่พี่เตรียมมาให้ มีทั้งคำอธิบาย บทนิยาม และตัวอย่างโจทย์เลย แต่อย่างที่บอกไปว่ามาทั้งที พี่ก็ไม่ได้เอามาฝากแค่สรุปเนื้อหาน้า น้อง ๆ คนไหนที่อยากจะทบทวนด้วยตัวเอง ก็สามารถดาวน์โหลดแบบฝึกหัดและโจทย์ที่พี่เตรียมมาให้ได้เลยย >> แบบฝึกหัด แยกตัวประกอบพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง

ส่วนถ้าใครรู้สึกว่าการอ่านเอง หรือฝึกทำโจทย์ไม่ค่อยช่วยให้เข้าใจมากขึ้นเท่าไร หรือยังมีบางจุดที่งง ๆ อยู่ เพราะเนื้อหาคณิต ม.3 ก็ถือว่าค่อนข้างยากที่สุดในคณิต ม.ต้น อยากจะได้ตัวช่วยเพิ่มเติม พี่ขอแนะนำคอร์สคณิต ม.3 ของพี่เองงง เหมาะกับน้อง ๆ ที่อยากจะเรียนเสริมหรือเตรียมตัวล่วงหน้ามากเลย เพราะพี่ปูพื้นฐานให้ทั้งหมด 11 บท พร้อมพาทำโจทย์แบบฝึกหัดซ้อมมืออีกเพียบ ใครสนใจ คลิก ดูรายละเอียดคอร์สเลยยย

สุดท้ายนี้พี่ก็ขอเป็นกำลังใจให้กับน้อง ๆ ม.3 รวมไปถึงคนที่กำลังจะขึ้น ม.3 ด้วย ถึงมันอาจดูยากกว่าบทเรียนที่น้อง ๆ เคยเรียนมา แต่พี่ว่ามันไม่ยากเกินความพยายามของพวกเราน้าา ทบทวนบ่อย ๆ ทำแบบฝึกหัดหรือโจทย์บ่อย ๆ ก็จะช่วยได้เยอะเลย สู้ ๆ น้าาาา

ดูคลิปติว แยกตัวประกอบพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง ม.3

ติดตามคลิปติวฟรีอื่น ๆ จากพี่ปั้น ได้ทาง YouTube Channel : SmartMathPro

คอร์สเรียน แนะนำ

บทความ แนะนำ

บทความ แนะนำ

สรุปเนื้อหาคณิตม.3 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สรุป อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3 พร้อมแจกโจทย์และเฉลย
สรุปเนื้อหาคณิตม.3 เรื่องสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
สรุป สมการกำลังสองตัวแปรเดียว ม.3 พร้อมแจกโจทย์ฟรี !!
สรุปเนื้อหาคณิต ม.3 เรื่อง สถิติ (แผนภาพกล่อง)
สถิติ ม.3 สรุปเนื้อหาคณิตม.ต้นหลักสูตรใหม่ พร้อมแจกโจทย์ให้ลองทำ !
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.3 เรื่อง พาราโบลา (กราฟฟังก์ชันกำลังสอง)
สรุป พาราโบลา (ฟังก์ชันกำลังสอง) ม.3 พร้อมแจกสูตรและโจทย์ฟรี
สรุปเนื้อหาคณิตม.3 เรื่องความคล้าย
สรุปคณิตศาสตร์ “ความคล้าย ม.3” พร้อมแจกโจทย์ปัญหาและเฉลยฟรี !!

สำหรับน้อง ๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม ได้ที่ 

Line : @smartmathpronews  รวมถึงข่าวสารต่าง ๆ อัปเดตอย่างเรียลไทม์

FB : Pan SmartMathPro ติวคณิต By พี่ปั้น 

IG : pan_smartmathpro

Twitter : @PanSmartMathPro 

Tiktok : @pan_smartmathpro

Share