น้อง ๆ คนไหนกำลังรอสรุปเนื้อหาคณิต ม.ต้นกันอยู่บ้างง วันนี้พี่มีสรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์มาฝากทุกคนแล้วน้า เป็นเรื่องสถิติ (แผนภาพกล่อง) ม.3 นั่นเองง แต่เรื่องสถิติก็มีหลายระดับชั้นใช่ไหมล้า~ แถมหลักสูตรใหม่ก็ยังมีการปรับเนื้อหาอีก ไปดูกันดีกว่าว่าสถิติ ม.3 จะเรียนเรื่องอะไร มีอะไรเหมือนหรือต่างจากระดับชั้นอื่นบ้าง เริ่มตั้งแต่ปูพื้นฐานทบทวนความจำตอน ม.1 และ ม.2 กันก่อนเลย !
อย่างที่ทุกคนทราบกัน (หรือถ้าน้องไม่ทราบก็ไม่เป็นไร มารู้ตอนนี้แหละ อิอิ) ว่าเนื้อหาสถิติถูกแยกร่างออกเป็น 3 ส่วนตามแบบเรียนหลักสูตรใหม่ของ สสวท. โดยน้อง ๆ จะต้องเรียนเนื้อหานี้ตั้งแต่คณิตม.1 จนถึง คณิตม.3 เลย ซึ่งบางคนอาจจะลืมเนื้อหาสถิติ ม.1 กับ ม.2 ไปบ้างแล้ว รวมถึงบางโรงเรียนอาจรวบบทสถิติมาสอนตอน ม.3 ทีเดียวเลย ดังนั้นก่อนที่จะไปอ่านเนื้อหาสถิติ ในระดับชั้น ม.3 พี่จะขอทบทวนความรู้เดิมให้น้อง ๆ ก่อนน้า
ข้อมูล (data)
ที่กล่าวถึงในสถิติ จะหมายถึง ข้อเท็จจริง หรือสิ่งที่ยอมรับว่า เป็นข้อเท็จจริงของเรื่องที่สนใจศึกษา อาจอยู่ในรูปตัวเลขหรือข้อความก็ได้ ซึ่งข้อมูลก็แยกออกมาได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ ๆ คือ
- ข้อมูลเชิงปริมาณ เป็นข้อมูลที่เป็นตัวเลขที่ใช้แสดงปริมาณ ซึ่งวัดออกมาเป็นจำนวนที่สามารถนำไปคำนวณหรือเปรียบเทียบได้ เช่น จำนวนนักเรียนในห้อง หรือ ราคาน้ำมัน เป็นต้น จะเห็นว่าข้อมูล 2 ข้อมูลนี้เป็นจำนวนที่สามารถนำไปคำนวณได้ แล้วก็สามารถเปรียบเทียบได้ ดังตัวอย่าง
- จำนวนนักเรียนในห้องที่ 1 น้อยกว่าจำนวนนักเรียนในห้องที่ 2
- ราคาน้ำมันเบนซินแพงกว่าดีเซล
- ข้อมูลเชิงคุณภาพ เป็นข้อมูลที่อธิบายลักษณะ ประเภท หรือคุณสมบัติในเชิงคุณภาพ เช่น เพศ ชื่อ-นามสกุล ราศี อาหารที่ชอบ หรือสถานที่เกิด เป็นต้น ซึ่งจะเป็นข้อมูลที่บอกลักษณะ หรือคุณสมบัติ เท่านั้น ส่วนใหญ่จะไม่สามารถนำมาเปรียบเทียบกันได้นะ
ฮิสโทแกรม
เป็นการนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณที่นิยมใช้ในกรณีที่ข้อมูลมีจำนวนมาก ๆ ช่วยให้เห็นลักษณะการกระจายของข้อมูล
โดยฮิสโทแกรมมีลักษณะคล้ายแผนภูมิแท่ง แต่ใช้แท่งสี่เหลี่ยมมุมฉากแสดงความถี่ของข้อมูลเชิงปริมาณในแต่ละช่วง หรืออาจเรียกสั้น ๆ ว่า แท่งความถี่ ได้ ซึ่งมีความแตกต่างจากแผนภูมิแท่ง คือ แผนภูมิแท่งสามารถใช้นำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพได้ และใช้แท่งสี่เหลี่ยมมุมฉากแสดงปริมาณของข้อมูลซึ่งมีค่าเดียวนั่นเอง
ตัวอย่างที่ 1
จงสร้างตารางแจกแจงความถี่และฮิสโทแกรมจากข้อมูลที่กำหนดให้
ผลคะแนนจากการสอบวิชาคณิตศาสตร์จำนวน 10 ข้อ ของนักเรียนห้องหนึ่งที่มีนักเรียน 20 คน จำนวนข้อที่นักเรียนตอบถูก เป็นดังนี้
6 4 7 8 5 9 10 7 9 10
7 8 5 8 7 4 6 9 5 6
วิธีทำ จากข้อมูล สร้างตารางแจกแจงความถี่และฮิสโทแกรมของจำนวนข้อที่นักเรียนตอบถูก เป็นดังนี้
ตัวอย่างที่ 2
จงสร้างฮิสโทแกรมจากตารางแจกแจงความถี่ที่กำหนดให้
ตารางแสดงความถี่ของชั่วโมงในการทำงานของพนักงาน 36 คน เป็นดังนี้
| จำนวนชั่วโมงในการทำงาน | ความถี่ |
|---|---|
|
ตั้งแต่ 30 แต่น้อยกว่า 35 |
5 |
|
ตั้งแต่ 35 แต่น้อยกว่า 40 |
9 |
|
ตั้งแต่ 40 แต่น้อยกว่า 45 |
10 |
|
ตั้งแต่ 45 แต่น้อยกว่า 50 |
8 |
|
ตั้งแต่ 50 แต่น้อยกว่า 55 |
4 |
ค่ากลางของข้อมูล
ค่ากลางของข้อมูล คือ ค่าที่ใช้เป็นตัวแทนที่บ่งบอกลักษณะที่ต้องการทราบของข้อมูลชุดใดชุดหนึ่ง โดยสามารถเลือกได้ตามวัตถุประสงค์ที่ต้องการจะนำข้อมูลไปใช้ หรือตามความเหมาะสมของข้อมูลนั้น โดยมีหลายวิธี ซึ่งแต่ละวิธีจะได้ค่ากลางของข้อมูลที่มีชื่อเรียกเฉพาะ ดังนี้
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ จำนวนที่ได้จากการหารผลบวกของข้อมูลทั้งหมดด้วยจำนวนข้อมูล
ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอาจเรียกสั้น ๆ ว่า ค่าเฉลี่ย ที่ทุกคนคุ้นเคยนั่นเอง ลองมาทบทวนผ่านตัวอย่างนี้กัน
ตัวอย่างที่ 3
จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล 72, 86, 90, 65, 72 และ 68
วิธีทำ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ เท่ากับ \frac{72+86+90+65+72+68}{6}
= \frac{453}{6}
= 75.5
มัธยฐาน คือ ค่าค่าหนึ่งซึ่งเมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก หรือจากมากไปน้อย แล้วจำนวนของข้อมูลที่น้อยกว่าหรือเท่ากับค่านั้น จะเท่ากับ จำนวนของข้อมูลที่มากกว่าหรือเท่ากับค่านั้น
ถ้าจะอธิบายให้เข้าใจง่ายมากขึ้น มัธยฐานของข้อมูลชุดหนึ่ง คือ การนำข้อมูลเรียงจากน้อยไปมาก (หรือจะเรียงจากมากไปน้อยก็ได้น้า ได้ค่าเท่ากัน) และพิจารณาข้อมูลที่อยู่ตรงกลาง หรือค่าเฉลี่ยของข้อมูลคู่ที่อยู่ตรงกลาง ขึ้นอยู่กับจำนวนข้อมูลในชุดนั้น เพื่อให้น้อง ๆ ได้ทบทวนเพิ่มเติม ลองไปดูตัวอย่างกันเลยย
ตัวอย่างที่ 4
จงหามัธยฐานของข้อมูล 10, 20, 12, 12, 20, 16, 12, 15, 11 และ 14
วิธีทำ เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก ได้ดังนี้ 10, 11, 12, 12, 12, 14, 15, 16, 20, 20
ข้อมูลชุดนี้มี 10 จำนวน ข้อมูลคู่ที่อยู่ตรงกลางคือ 12 กับ 14
มัธยฐาน เท่ากับ \frac{12+14}{2}=\frac{26}{2}=13
ฐานนิยม คือ ข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดในข้อมูลชุดหนึ่ง
ซึ่งมีข้อตกลงเพิ่มเติมว่า ถ้าข้อมูลแต่ละตัวมีความถี่เท่ากันหมด จะถือว่าข้อมูลชุดนั้นไม่มีฐานนิยม หรือถ้ามีความถี่สูงสุดเท่ากันมากกว่าหนึ่งข้อมูล ในที่นี้จะไม่พิจารณาหาฐานนิยมน้า
ตัวอย่างที่ 5
จงหาฐานนิยมของข้อมูล 15, 18, 11, 11, 21, 15, 18, 17, 11, 15 และ 11
วิธีทำ จากข้อมูลชุดนี้ 11 เป็นข้อมูลที่มีความถี่สูงที่สุด (มีซ้ำกันมากถึง 4 ตัว)
ดังนั้น 11 เป็นฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้
หมายเหตุ มีอีกคำศัพท์หนึ่งที่ควรรู้ คือ พิสัย
พิสัยของข้อมูล เท่ากับค่าสูงสุดของข้อมูลลบด้วยค่าต่ำสุดของข้อมูล
ตัวอย่างที่ 6
จงหาพิสัยของข้อมูล 15, 18, 17, 17, 29, 25, 37, 49 และ 62
วิธีทำ ค่าสูงสุดของข้อมูลชุดนี้ คือ 62 และค่าต่ำสุดของข้อมูลชุดนี้ คือ 15
ดังนั้น พิสัยของข้อมูลชุดนี้ คือ 62-15 = 47
สถิติ ม.3
หลังจากที่น้อง ๆ ได้ทบทวนความรู้สถิติในเรื่องที่เคยเรียนมาแล้วในระดับชั้น ม.1 และ ม.2 ในระดับชั้น ม.3 มีสิ่งที่น้อง ๆ ต้องรู้เพิ่มเติมอีก 2 หัวข้อ ได้แก่ เรื่อง ค่าวัดตำแหน่งที่ของข้อมูล และแผนภาพกล่องนั่นเอง
ค่าวัดตำแหน่งที่ของข้อมูล
ค่าวัดตำแหน่งที่ของข้อมูลในระดับชั้น ม.3 ที่ควรรู้จัก คือ ควอร์ไทล์ ซึ่งเกิดจากการนำข้อมูลทั้งหมดมาเรียงจาก “น้อยไปหามาก” และแบ่งออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน ค่า ณ ตำแหน่งที่แบ่งแต่ละส่วน ได้แก่ ควอร์ไทล์ที่ 1 \left (Q_{1} \right ) ควอร์ไทล์ที่ 2 \left (Q_{2} \right ) และ ควอร์ไทล์ที่ 3 \left (Q_{3} \right )
ซึ่งวิธีการหาควอร์ไทล์ในตำแหน่งต่าง ๆ มีขั้นตอนดังนี้
1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก
2. หามัธยฐานของข้อมูลทั้งหมด ซึ่งค่าที่ได้นั่นจะเป็น Q_{2}
3. หามัธยฐานของข้อมูลเฉพาะข้อมูลที่มีลำดับ ต่ำกว่า Q_{2} จะได้ค่าดังกล่าวคือ Q_{1}
4. หามัธยฐานของข้อมูลเฉพาะข้อมูลที่มีลำดับ สูงกว่า Q_{2} จะได้ค่าดังกล่าวคือ Q_{3}
ตัวอย่างที่ 7
จากข้อมูลที่กำหนดให้ต่อไปนี้ จงหาค่าของ Q_{1},Q_{2} จะได้ค่าดังกล่าวคือ Q_{3}
7, 13, 4, 12, 6, 18, 11
ตัวอย่างที่ 8
จากข้อมูลที่กำหนดให้ต่อไปนี้ จงหาค่าของ Q_{1},Q_{2} และ Q_{3}
1, 5, 9, 10, 10, 14, 15, 20
แผนภาพกล่อง
แผนภาพกล่อง คือ เครื่องมือการนำเสนอข้อมูลทางสถิติชนิดหนึ่ง ซึ่งสามารถแสดงให้เห็นถึงการกระจายตัวของข้อมูลได้ดี โดยมีส่วนประกอบ ได้แก่
- กล่อง : เป็นส่วนที่แสดงข้อมูลระหว่างค่า Q_{1} และ Q_{3} โดยมีเส้นตัดผ่านระหว่างกล่องแสดงข้อมูลตำแหน่ง Q_{2}
- วิสเกอร์ : จะมีอยู่ทั้งหมด 2 ส่วน ได้แก่ ส่วนที่แสดงข้อมูลระหว่างค่าต่ำสุด และ Q_{1} และ ส่วนที่แสดงข้อมูลระหว่าง Q_{3} และค่าสูงสุด
ซึ่งแผนภาพกล่องจะแบ่งจำนวนข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน เรียงจากน้อยไปหามาก ส่วนละ 25% ดังรูป
ตัวอย่างที่ 9
จากแผนภาพกล่องที่กำหนดให้ต่อไปนี้ จงหาค่าของ ค่าต่ำสุด, Q_{1},Q_{2},Q_{3} และค่าสูงสุด
วิธีสร้างแผนภาพกล่อง
1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปหามาก
2. หาค่าต่ำสุดของข้อมูล ค่าสูงสุดของข้อมูล Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}
3. นำค่าที่หาได้ในข้อ 2 มาลงจุดเหนือเส้นตรงที่มีสเกลดังรูป
4. วาดกล่องรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ขอบกล่องด้านซ้ายและด้านขวาลากผ่านจุดตรงตำแหน่ง Q_{1} และ Q_{3} ตามลำดับ จากนั้นลากเส้นภายในกล่องผ่านตำแหน่ง Q_{2} ดังรูป
5. สร้างวิสเกอร์ โดยลากเส้นจากจุดตรงตำแหน่ง Q_{1} ไปยังจุดตรงตำแหน่งค่าต่ำสุดของข้อมูล และ ลากเส้นจากจุดตรงตำแหน่ง Q_{3} ไปยังจุดตรงตำแหน่งค่าสูงสุดของข้อมูล ก็จะได้แผนภาพกล่องที่สมบูรณ์ ดังรูป
ตัวอย่างที่ 10
จงสร้างแผนภาพกล่อง เมื่อกำหนดให้ ค่าต่ำสุด = 3, Q_{1}=5, Q_{2}=12, Q_{3}=16 และค่าสูงสุด = 21
ตัวอย่างที่ 11
จงสร้างแผนภาพกล่องในแนวตั้ง เมื่อกำหนดข้อมูลให้ดังนี้
3, 4, 4, 8, 10, 11, 13, 14, 18, 20, 20
การอ่านและแปลความหมายจากแผนภาพกล่อง
จากที่พี่ได้เคยบอกไปก่อนหน้านี้แล้วว่า แผนภาพกล่องเป็นเครื่องมือทางสถิติที่สามารถแสดงให้เห็นถึงการกระจายตัวของข้อมูลได้ดี
คำถามก็คือ แล้วแผนภาพกล่องแสดงการกระจายของข้อมูลให้เห็นได้อย่างไร รวมไปถึงข้อมูลอื่น ๆ ที่ได้จากการอ่านแผนภาพกล่อง สามารถสรุปได้อย่างไรบ้าง พี่มีตัวอย่างให้น้องได้ดู ตามนี้เลยย
ตัวอย่างที่ 12
จากการเก็บข้อมูลส่วนสูงของนักเรียนชายชั้น ม.3 จำนวน 24 คนในหน่วยเซนติเมตร ได้ข้อมูลและแสดงในรูปแบบของแผนภาพกล่องได้ ดังนี้
จากแผนภาพกล่อง สามารถสรุปได้ว่า
- จากนักเรียนทั้งหมด 24 คน สามารถแบ่งกลุ่มออกได้เป็น 4 กลุ่ม โดยแต่ละกลุ่มมีจำนวนคนคิดเป็น 25% ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด (กลุ่มละประมาณ 6 คน) ดังนี้
- กลุ่มที่ 1: นักเรียนที่มีความสูงอยู่ในช่วง 162 เซนติเมตร ถึง 168 เซนติเมตร
- กลุ่มที่ 2 : นักเรียนที่มีความสูงอยู่ในช่วง 168 เซนติเมตร ถึง 170 เซนติเมตร
- กลุ่มที่ 3 : นักเรียนที่มีความสูงอยู่ในช่วง 170 เซนติเมตร ถึง 172 เซนติเมตร
- กลุ่มที่ 4 : นักเรียนที่มีความสูงอยู่ในช่วง 172 เซนติเมตร ถึง 180 เซนติเมตร
- ในช่วงความสูง 172 เซนติเมตร ถึง 180 เซนติเมตร ข้อมูลมีการกระจายตัวมากที่สุด (ช่วงนี้มีความยาวมากกว่าช่วงอื่น ๆ)
- ในช่วงความสูง 162 เซนติเมตร ถึง 168 เซนติเมตร ข้อมูลมีการกระจายตัวน้อยกว่าช่วง 172 เซนติเมตร ถึง 180 เซนติเมตร
- ในช่วงความสูง 168 เซนติเมตร ถึง 170 เซนติเมตร และช่วง 170 เซนติเมตร ถึง 172 เซนติเมตร ข้อมูลมีการกระจายน้อยที่สุดและทั้งสองช่วงมีกระจายตัวเท่ากัน
สรุป ถ้าความยาวของกล่องหรือวิสเกอร์สั้น ข้อมูลจะกระจายตัวน้อย ในทางกลับกัน ถ้าความยาวของกล่องหรือวิสเกอร์ยาว ข้อมูลจะกระจายตัวมาก และแต่ละช่วงของแผนภาพกล่องจะมีจำนวนความถี่ของข้อมูลที่ใกล้เคียงกัน
การเปรียบเทียบแผนภาพกล่อง
ตัวอย่างที่ 13
แผนภาพกล่องแสดงข้อมูลคะแนนสอบก่อนและหลังเรียนเรื่องสถิติของนักเรียนห้อง ม.3/1 จำนวน 40 คน โดยมีคะแนนเต็ม 20 คะแนน เป็นดังนี้
จากแผนภาพกล่องจะเห็นว่า
- คะแนนสอบก่อนเรียนในช่วงคะแนน 7 – 9 คะแนน มีการกระจายตัวน้อยที่สุด
- นักเรียนประมาณ 25% ของนักเรียนทั้งห้อง มีคะแนนสอบก่อนเรียนไม่เกิน 9 คะแนน
- คะแนนสอบหลังเรียนช่วง 9 – 14 คะแนน มีการกระจายตัวมากที่สุด
- มีนักเรียนประมาณ 75% ของนักเรียนทั้งห้อง มีคะแนนสอบหลังเรียนตั้งแต่ 14 คะแนนขึ้นไป
- คะแนนต่ำสุดและสูงสุดของการสอบก่อนเรียน รวมไปถึงค่า Q_{1},Q_{2} และ Q_{3} ต่างก็น้อยกว่าสอบหลังเรียนทั้งหมด อาจกล่าวได้ว่า นักเรียนสามารถทำคะแนนสอบได้ดีขึ้นหลังจากเรียนเนื้อหาไปแล้ว
ความรู้สถิติเพิ่มเติม
รู้ไหม ! โลกไม่ได้แบ่งแค่ข้อมูลเชิงปริมาณและข้อมูลเชิงคุณภาพนะ
ข้อมูลทั้ง 2 แบบ เกิดจากการแบ่งข้อมูล จากลักษณะของข้อมูล แต่ถ้าเราใช้แหล่งที่มาของข้อมูลในการแบ่ง ในทางสถิติศาสตร์จะเรียกการแบ่งประเภทของข้อมูลตามแหล่งที่มาของข้อมูล ว่า ข้อมูลปฐมภูมิ และข้อมูลทุติยภูมิ
ข้อมูลปฐมภูมิ
คือ ข้อมูลที่ผู้ใช้เป็นคนเก็บรวบรวมข้อมูลโดยตรงจากแหล่งกำเนิดข้อมูลเลย
ข้อมูลทุติยภูมิ
คือ ข้อมูลที่ผู้ใช้ไม่ได้เป็นคนเก็บรวบรวมข้อมูลโดยตรง
เช่น ข้อมูลความพึงพอใจของนักเรียนที่ได้รับการเรียนการสอนแบบฉบับพี่ปั้น แน่นอนว่าบริษัทเป็นคนเก็บข้อมูลไว้ ทางบริษัทก็จะมีข้อมูลปฐมภูมิ แต่ว่า ถ้าไปขอข้อมูลแล้วนำมาใช้ต่อ ข้อมูลที่อยู่ในมือก็จะเป็นข้อมูลทุติยภูมินั่นเอง
ค่าวัดตำแหน่งที่ของข้อมูล
ค่าวัดตำแหน่งที่ของข้อมูล ในช่วงม.3 นี้ เราจะเรียนแค่ ควอร์ไทล์ (quartile) เท่านั้น ควอร์ไทล์แบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน แต่ถ้าแบ่งข้อมูลเป็น 10 ส่วนเท่า ๆ กัน เราจะเรียกว่า เดไซล์ (decile) หรือแบ่งออกเป็น 100 ส่วนเท่า ๆ กัน เราจะเรียกว่า เปอร์เซ็นไทล์ (percentile) ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ปัจจุบัน พี่ ๆ ม.6 จะเรียนแค่ควอร์ไทล์และเปอร์เซ็นไทล์เพียงเท่านั้นโดยยึดจากแบบเรียนของ สสวท. เป็นหลักนะ
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (standard deviation)
พิสัยเป็นค่าที่บอกคร่าว ๆ ว่าข้อมูลกระจายตัวประมาณไหน เราจะเรียกค่าลักษณะนี้ว่า ค่าวัดการกระจาย อีกตัวที่น่าสนใจคือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (standard deviation) เป็นค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูลจากการเทียบระยะห่างของข้อมูลกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลนั้นว่าห่างกันมากน้อยเพียงใด จะมีความแม่นยำมากขึ้น เพราะต้องใช้ข้อมูลทุกตัวในการคิดค่าการกระจายด้วย
ดูคลิปติว สถิติ ม.3
ติดตามคลิปติวฟรีอื่น ๆ จากพี่ปั้น ได้ทาง YouTube Channel : SmartMathPro
จบไปแล้วน้าา สำหรับสรุปเนื้อหาเรื่องสถิติ ม.3 ซึ่งน้อง ๆ ทุกคนจะได้เจอกับเนื้อหาสถิติอีกครั้งในช่วง ม.ปลาย แต่พี่เชื่อว่าถ้าทุกคนมีพื้นฐานที่ดี ต่อให้ไปเจออีกครั้งตอนอยู่ม.ปลาย เรื่องสถิติก็จะไม่ยากเกินความเข้าใจของทุกคนแน่ ๆ
สำหรับใครที่อยากทบทวนเนื้อหาหรือทดสอบความเข้าใจของตัวเอง ก็สามารถดาวน์โหลดแบบฝึกหัดสถิติ ม.3 ไปฝึกทำกันได้เลย พี่ตั้งใจทำมาเพื่อให้น้อง ๆ ทุกคนได้ลองทำตามความเข้าใจของตัวเองก่อนที่จะสอบปลายภาค (หรือใครอยากฝึกทำเพื่อเตรียมตัวล่วงหน้าก็ได้เหมือนกัน)
แต่ถ้าน้อง ๆ คนไหนที่ลองทบทวนหรือฝึกทำโจทย์เองแล้วยังมีเนื้อหาบางจุดที่ไม่เข้าใจและต้องการคนช่วยไกด์ พี่ก็ขอแนะนำคอร์สติวคณิต ม.3 จาก SmartMathPro เลย คอร์สนี้มีทั้งเนื้อหาของทั้งเทอม 1 และเทอม 2 ครบทุกบท ปูพื้นฐานให้แบบละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. พร้อมพาตะลุยโจทย์และแบบฝึกหัดจำนวนมาก โดยเริ่มจากง่ายไปจนถึงระดับข้อสอบแข่งขันจากสนามต่าง ๆ แถมยังมี Quiz ทบทวนความเข้าใจแต่ละบทให้ด้วยน้า ดังนั้นน้อง ๆ ที่พื้นฐานไม่แน่นก็เรียนได้ ไม่ต้องกังวลเลยว่าจะเรียนไม่ทัน !!
แต่ถ้าโรงเรียนของน้อง ๆ สอนไม่ตรงตามคอร์สที่มี ก็สามารถเลือกเรียนแบบแยกบทได้เลยย เริ่มต้นเพียง 360 บาทเท่านั้น ใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติม คลิก ได้เลย
บทความ แนะนำ
คณิตศาสตร์ ม.ต้น (ม.1 ม.2 ม.3) เรียนอะไรบ้าง ? อัปเดตล่าสุดจาก สสวท.
คณิตศาสตร์ ม.3 เทอม 1, เทอม 2 เรียนอะไรบ้าง ? อัปเดตตาม สสวท.
สรุป อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ม.3 พร้อมแจกโจทย์และเฉลย
สรุป แยกตัวประกอบพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสอง ม.3 พร้อมโจทย์+เฉลย
สรุป สมการกำลังสองตัวแปรเดียว ม.3 พร้อมแจกโจทย์ฟรี !!
สรุปคณิตศาสตร์ “ความคล้าย ม.3” พร้อมแจกโจทย์ปัญหาและเฉลยฟรี !!
สรุป พาราโบลา (ฟังก์ชันกำลังสอง) ม.3 พร้อมแจกสูตรและโจทย์ฟรี
บทความ แนะนำ
คณิตศาสตร์ ม.ต้น (ม.1 ม.2 ม.3) เรียนอะไรบ้าง ? อัปเดตล่าสุดจาก สสวท.
สำหรับน้อง ๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม รวมถึงติดตามข่าวสารต่าง ๆ ที่อัปเดตอย่างเรียลไทม์ ได้ที่
Line : @smartmathpronews
FB : Pan SmartMathPro ติวคณิต By พี่ปั้น
IG : pan_smartmathpro
X : @PanSmartMathPro
Tiktok : @pan_smartmathpro
