น้อง ๆ บางคนพอได้ยินชื่อ “จำนวนจริง” ก็อาจจะสงสัยว่า เป็นการเรียนเกี่ยวกับตัวเลขที่เรารู้จักกันอยู่แล้วในชีวิต
ประจำวันหรือเปล่า ? ซึ่งพี่ขอบอกว่า นั่นเป็นเพียงแค่ส่วนหนึ่งของจำนวนจริงเท่านั้นน้าา เพราะในบทนี้เราจะมาทำความรู้จักจำนวนจริงให้มากขึ้นไปอีก ตั้งแต่ ความหมายของจำนวนจริง ระบบจำนวนจริง พหุนาม ค่าสัมบูรณ์ และเรื่องอื่น ๆ อีกมากมายที่กำลังรอทุกคนอยู่ ถ้าพร้อมแล้ว ไปอ่านกันเลยยย
สำหรับบท จำนวนจริง นั้น เป็นบทที่ชื่อดูเข้าใจง่ายหน่อย ถ้าถามว่าบทนี้ง่ายไหม อันนี้ต่างคนอาจจะตอบแตกต่างกัน แต่ถ้าถามว่าสำคัญไหม พี่พูดได้เลยว่าสำคัญมากน้า เพราะจำนวนเป็นสิ่งสำคัญของวิชาคณิตศาสตร์เลย
แต่เดี๋ยวในบทความนี้ น้องๆ จะได้เห็นว่าแล้วต้องเรียนอะไรเกี่ยวกับจำนวนจริงบ้าง แม้ว่าจะเคยผ่านการเรียนบทระบบจำนวนจริงตอน ม.2 มา แต่ในครั้งนี้จะมีหัวข้อใหม่ๆ ให้เรียนรู้มากมายทีเดียว อาจจะเนื้อหาเยอะสักหน่อยแต่ไม่ต้องกลัว เพราะทุกหัวข้ออาศัยความรู้ที่เคยเรียนแล้วทั้งนั้น ถึงน้องๆ จะลืมไปแล้วก็ไม่เป็นไรน้า ค่อยๆ เรียนรู้ไปด้วยกัน !
ก่อนอื่นมาเริ่มด้วยคำถามว่า จำนวนจริงคืออะไร ถ้าเอาแบบเข้าใจง่ายๆ ก็คือ จำนวนทุกจำนวนที่รู้จักและสามารถนำมาคำนวณ บวก ลบ คูณ หาร ยกกำลังได้ ไม่ว่าจะเป็นจำนวนเต็ม เศษส่วน ทศนิยม เลขยกกำลัง ตัวเลขที่อยู่ในรูปกรณฑ์ (ที่เรียกกันติดปากว่า รูท) หรือค่าคงที่อย่าง \pi ก็เป็นจำนวนจริงเช่นกันนะ
คราวนี้ เพิ่มความซีเรียสกันขึ้นมาหน่อย พี่จะขอทบทวนจำนวนสองชนิด ได้แก่ จำนวนตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะ ซึ่งความหมายและตัวอย่างของจำนวนแต่ละชนิดเป็นดังนี้
จำนวนตรรกยะ
คือ จำนวนที่เขียนในรูป \frac{a}{b} โดย a และ
b เป็นจำนวนเต็ม และ b\neq 0
นั่นคือจำนวนที่เขียนได้ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือเขียนเป็นทศนิยมซ้ำได้
เช่น 7, 1.5, -\frac{5}{4}, 2.4\dot{3}, 0 เป็นต้น
จำนวนอตรรกยะ
คือ จำนวนที่เป็นทศนิยมแบบไม่ซ้ำ (และเป็นทศนิยมไม่รู้จบ ก็คือตัวเลขหลังทศนิยมไม่มีที่สิ้นสุดด้วย) ซึ่งจำนวนชนิดนี้ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้
เช่น \sqrt{2}, 1.121231234…, \pi, \sqrt[3]{4}, 1-\sqrt{2} เป็นต้น
จะเห็นว่า จำนวนตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะ จะมีความแตกต่างกันชัดเจน มีลักษณะที่ตรงข้ามกัน นั่นแปลว่า เซตของจำนวนตรรกยะ และเซตของจำนวนอตรรกยะ จะไม่มีสมาชิกที่ซ้ำกันเลย อย่างไรก็ตาม ถ้านำเซตของจำนวนตรรกยะและเซตของจำนวนอตรรกยะมายูเนียน (รวมกัน) เราจะได้ผลลัพธ์จากการยูเนียนคือ เซตของจำนวนจริง นั่นเอง โดยจำนวนจริงสามารถแบ่งเป็นจำนวนชนิดต่างๆ ดังแผนผังต่อไปนี้
สัญลักษณ์ของเซตของจำนวนจริงชนิดต่างๆ ที่ควรรู้จัก ได้แก่
แทนเซตของจำนวนเต็มบวก (จำนวนนับ)
แทนเซตของจำนวนเต็ม
แทนเซตของจำนวนตรรกยะ
แทนเซตของจำนวนอตรรกยะ
แทนเซตของจำนวนจริง
ระบบจำนวนจริง
หัวข้อนี้เราจะมาศึกษาเกี่ยวกับโครงสร้างของระบบจำนวนจริงกัน ซึ่งประกอบด้วยเซตของจำนวนจริง และการดำเนินการของจำนวนจริง ประกอบด้วย การบวกและคูณ
แต่ก่อนจะเข้าหัวข้อระบบจำนวนจริง เราต้องมีข้อตกลงร่วมกันหรือสิ่งที่ทุกคนต้องยอมรับแบบไม่ต้องพิสูจน์ว่าจริงหรือไม่กันเสียก่อน เรียกว่า สัจพจน์การเท่ากันของระบบจำนวนจริง น้องๆ มาดูกันนะว่ามีอะไรบ้าง
สัจพจน์การเท่ากันของระบบจำนวนจริง
- สำหรับจำนวนจริง a, b และ c
กฎการสะท้อน (reflexive law)
a = a - กฎการสมมาตร (symmetric law)
ถ้า a=b แล้ว b=a - กฎการถ่ายทอด (transitive law)
ถ้า a=b และ b=c แล้ว a=c
คราวนี้กลับมาที่หัวข้อระบบจำนวนจริง จากที่พี่เขียนไว้ว่าหัวข้อนี้มีการดำเนินการของจำนวนจริงด้วย พี่ก็จะขอพูดถึงสมบัติของการดำเนินการ ได้แก่ สมบัติของการบวกและการคูณของจำนวนจริง ซึ่งมีสมบัติสำคัญทั้งหมดดังนี้
สมบัติข้างต้น โดยเฉพาะสมบัติการสลับที่ สมบัติการเปลี่ยนหมู่ และสมบัติการแจกแจง สามารถช่วยให้น้องๆ หาผลลัพธ์จากการบวกและการคูณของจำนวนจริงทำได้สะดวกขึ้นด้วย อย่างเช่นในตัวอย่างต่อไปนี้
- จงหาผลบวกของ 2+5+3+2+8+5
ถ้าเราไม่ใช้สมบัติข้างต้น เราจะต้องดำเนินการบวกจากจำนวนทางซ้ายสุดมาขวาสุด ซึ่งจะไม่สะดวกเลย แต่ถ้าเราใช้สมบัติมาช่วยจะสามารถสลับที่และเพิ่มวงเล็บ(จัดหมู่) จะช่วยให้เราหาผลบวกได้ง่ายขึ้น ดังนี้
2+5+3+2+8+5=(5+5)+(2+8)+(2+3)=10+10+5=25
- จงหาผลคูณของ 2\times 5\times 3\times 2\times 8\times 5
เราสามารถใช้สมบัติการคูณของจำนวนจริงช่วยในการหาคำตอบได้เช่นเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้า ดังนี้
2\times 5\times 3\times 2\times 8\times 5 = \left (2\times 5 \right )\times \left (2\times 5 \right )\times \left ( 3\times 8 \right )=10\times 10\times 24=2,400
พหุนามตัวแปรเดียว
ขึ้นหัวข้อมาว่าพหุนาม น้องๆ อาจจะงงว่าแล้วมันเกี่ยวกับจำนวนจริงตรงไหนเหรอ ? นั่นเป็นเพราะว่านอกจากการบวกลบคูณหารแล้ว เราใช้สมบัติของจำนวนจริงในการหาคำตอบของสมการและอสมการด้วยนั่นเอง !!
โดยที่แต่เดิมเราเคยแก้สมการและอสมการตัวแปรเดียวที่เป็นแบบเชิงเส้น (ตัวแปรไม่ได้มีเลขชี้กำลัง) กันมาบ้าง แต่ในระดับชั้นนี้ เราจะไปไกลขึ้น โดยตัวแปรของเรานั้นมีเลขชี้กำลังได้ นั่นทำให้สมการหรืออสมการจะอยู่ในรูปของพหุนามนั่นเอง
ในหัวข้อนี้ เราก็จะมาทบทวนพหุนาม เน้นที่พหุนามตัวแปรเดียว แล้วต่อยอดว่าพหุนามสามารถทำอะไรได้มากไปกว่าที่เราเคยเรียนรู้มาในคณิต ม.ต้น ซึ่งความรู้เรื่องพหุนามตัวแปรเดียวในหัวข้อนี้ก็จะนำไปใช้ในการแก้สมการและอสมการต่อนั่นเอง
ความหมายของพหุนาม
p(x)={a_{n}x}^{n}+{a_{n-1}x}^{n-1}+{a_{n-2}x}^{n-2}+\cdots+a_{1}x+a_{0}
เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นจำนวนลบ
และ {a_{n}}, {a_{n-1}}, {a_{n-2}}, … , {a_{1}}, {a_{0}} เป็นจำนวนจริง
เรียก p(x) ว่า พหุนามดีกรี n เรียก n ว่า
ดีกรี ของ p(x) และเรียก {a_{n}}, {a_{n-1}}, {a_{n-2}}, … , {a_{1}}, {a_{0}} ว่า สัมประสิทธิ์ ของ p(x)
เรียก {a_{n}} ว่า สัมประสิทธิ์นำ
เช่น q(x)={{3x}^{2}}+{4x}+5 เป็นพหุนามที่มีดีกรี 2 มีสัมประสิทธิ์ เป็น 3, 4 และ 5
และมี สัมประสิทธิ์นำ เป็น 3
การดำเนินการของพหุนาม
ในส่วนของการดำเนินการของพหุนาม ซึ่งประกอบด้วย การบวก ลบ คูณ หารพหุนาม พี่จะขอทบทวนส่วนที่เราเคยเรียนในชั้น ม.ต้นกันก่อน ได้แก่ การบวก ลบ และคูณพหุนาม ซึ่งเรามาทบทวนผ่านตัวอย่างต่อไปนี้กันเลย
ตัวอย่างที่ 1
ให้ p(x)=x-2 และ q(x)=2x-1 จงหา p(x)+q(x), p(x)-q(x) และ p(x) q(x)
วิธีทำ จาก p(x)=x-2 และ q(x)=2x-1
จะได้
- p(x)+q(x)=(x-2)+(2x-1)=x+2x-2-1=3x-3
- p(x)-q(x)=(x-2)-(2x-1)=x-2x-2+1=-x-2
- p(x)q(x)=(x-2)(2x-1)
=x(2x)+(x)(-1)+(-2)(2x)+(-2)(-1)
=2x^{2}-5x+2
ขั้นตอนวิธีการหารสำหรับพหุนาม
หลังจากที่เราได้ทบทวนการบวก ลบ และคูณพหุนามแล้ว คราวนี้เรามาทำความรู้จักกับการหารพหุนามกันบ้างว่ามีวิธีทำอย่างไร แต่ก่อนอื่น พี่จะพาน้องๆ มารู้จักกับองค์ประกอบต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหารพหุนามว่ามีอะไรบ้าง
ถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วยพหุนาม q(x) โดยที่ q(x)\neq 0 แล้วจะมีพหุนาม a(x) และ r(x) เพียงชุดเดียวเท่านั้นซึ่ง p(x)=q(x)a(x)+r(x) โดย r(x)=0 หรือ ดีกรีของ r(x) มีค่าน้อยกว่าดีกรีของ a(x) |
จากทฤษฎีข้างต้นสรุปง่ายๆ ว่า
ตัวตั้ง = (ตัวหาร)(ผลหาร) + เศษเหลือ
การหารยาว
การหารพหุนามนั้นมีได้หลายวิธี เช่น วิธีการหารยาว วิธีเทียบสัมประสิทธิ์ วิธีการหารสังเคราะห์ ฯลฯ แต่พี่จะขอพูดถึงเฉพาะการหารยาวนะ ซึ่งการหารยาวของพหุนามสามารถทำได้โดยวิธีการตั้งหารคล้ายรูปแบบการหารยาวของจำนวนเต็มดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 2
จงหาผลหารและเศษเหลือจากการหาร p(x)=x^{2}-3x+2
ด้วย q(x)=x-4
วิธีทำ
- จัดตำแหน่งของ ตัวตั้ง และ ตัวหารเหมือนกับการหารยาวของจำนวนเต็ม
โดยเรียงเลขชี้กำลังจากมากไปน้อยทั้งตัวตั้งและตัวหาร - หาตัวที่คูณกับ x แล้วได้ x^{2} นั่นก็คือ x
- หาผลคูณของ x(x-4)
- เอาผลที่ได้จากข้อที่ 3 ตั้งในบรรทัดถัดไปแล้วนำไปลบออกจาก x^{2}-3x ที่อยู่ด้านบน
- ดึงพจน์ถัดไปลงมา
6. หาตัวที่คูณกับx แล้วได้ x นั่นก็คือ 1
7. เอาผลคูณของ (1)(x-4) ตั้งในบรรทัดถัดไปแล้วนำไปลบออกจาก x+2 ที่อยู่ด้านบน จะได้ x^{2}-3x+2=(x-4)(x+1)+6
ดังนั้นผลหารคือ x+1 และเหลือเศษคือ 6
การแยกตัวประกอบของพหุนาม
เรื่องหนึ่งที่สำคัญของพหุนาม คือ การแยกตัวประกอบของพหุนาม ซึ่งเป็นส่วนสำคัญทั้งการจัดรูปพหุนามให้อยู่ในรูปอย่างง่าย รวมถึงเป็นวิธีการหลักในการแก้สมการและอสมการพหุนาม
ซึ่งในชั้นม.ต้นน้องๆ ได้ทำการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองรวมถึงพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีรูปแบบเฉพาะมาแล้ว สำหรับชั้นม.ปลายนี้เนื้อหาที่เราเรียนก็จะเพิ่มขึ้นนะ โดยเราจะได้เรียนการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองแต่ไม่ได้มีรูปแบบเฉพาะ โดยใช้ทฤษฎีที่สำคัญ อยู่ 2 ทฤษฎี ได้แก่ ทฤษฎีบทเศษเหลือและทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ
ถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วยพหุนาม x-c แล้วเศษเหลือจะเท่ากับ p(c)
ตัวอย่างที่ 4 จงหาเศษเหลือของ 3x^{2}+1 หารด้วย x-1
วิธีทำ
ให้ p(x)=3x^{2}+1
จากทฤษฎีบทเศษเหลือ เมื่อหาร p(x) ด้วย x-1 จะได้เศษเหลือคือ p(1)
จะได้ p(1)=3(1)^{2}+1=4
ดังนั้น เศษเหลือของ 3x^{2}+1 หารด้วย x-1 คือ 4
จาก ทฤษฎีบทเศษเหลือ ถ้าเราหาค่า c ที่ทำให้ p(c) เป็น 0 นั่นคือการหารนั้นจะมีเศษเหลือจากการหารเป็น 0 ซึ่งการที่เศษเป็น 0 ก็คือการหารลงตัวนั่นเอง ซึ่งถ้าหารลงตัวแล้วแสดงว่า x-c ก็จะเป็นหนึ่งในตัวประกอบของ p(x) เราสามารถกล่าวเป็นทฤษฎีบทได้ดังนี้
พหุนาม p(x) มีพหุนาม x-c เป็นตัวประกอบก็ต่อเมื่อ p(c)=0
ตัวอย่างที่ 5 จงตรวจสอบว่า x-1 เป็นตัวประกอบของ x^{2}+2x-8 หรือไม่
วิธีทำ
ให้ p(x)=x^{2}+2x-8
ดังนั้น p(1)=(1)^{2}+2(1)-8=-5 ซึ่งไม่เท่ากับ 0
จึงสรุปได้ว่า x-1 ไม่เป็นตัวประกอบของ x^{2}+2x-8
ให้ p(x) แทนพหุนาม {a_{n}x}^{n}+{a_{n-1}x}^{n-1}+{a_{n-2}x}^{n-2}+\cdots+a_{1}x+a_{0}
โดยที่ {a_{n}}, {a_{n-1}}, {a_{n-2}}, … , {a_{1}}, {a_{0}} เป็นจำนวนเต็ม
ซึ่ง {a_{n}}\neq 0
ถ้า x-\frac{k}{m} เป็นตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม
ซึ่ง {m}\neq 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k
เท่ากับ 1 แล้ว m หาร a_{n} ลงตัว และ k หาร a_{0} ลงตัว
จากตัวอย่างข้างต้น น้อง ๆ บางคนที่ยังสงสัยอยู่ว่า จำนวน \pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2} เหล่านี้มาจากไหน พี่จะขอสรุปไว้ข้างท้ายนี้อีกครั้งว่า ตัวเศษได้มาจากตัวประกอบของ -3 และตัวส่วนได้มาจากตัวประกอบของ 2 โดย ห.ร.ม. ของตัวเศษและตัวส่วน คือ 1 นั่นเอง
มาเก็บเนื้อหาให้แน่น เตรียมคว้าเกรด 4 คณิต
ติวเนื้อหาคณิต ม.ปลาย ครบทุกบท พร้อมโจทย์ซ้อมมือแบบจัดเต็มเพื่อพิชิตเกรดปัง ถ้าน้องๆ คนไหนไม่อยากพลาดโอกาสในการคว้าเกรด 4 ห้ามพลาดเลยน้า
สมัครคอร์ส คลิกเลยสมการพหุนาม
คราวนี้ก็มาถึงเวลาที่เราจะนำความรู้ทั้งจำนวนจริงและพหุนามมาใช้ในการแก้สมการกันแล้ว เราเคยผ่านการแก้สมการมาตั้งแต่ชั้นประถม และในม.ต้นเราได้แก้สมการกำลังสองด้วย ในม.ปลายเราจะแก้สมการที่ตัวแปรมีเลขชี้กำลังที่มากขึ้น แต่เราจะใช้หลักการแก้สมการกำลังสองร่วมกับทฤษฎีบทตัวประกอบในหัวข้อก่อน สำหรับหลักการแก้สมการพหุนาม (ทั้งกำลังสองและกำลังที่สูงกว่าสอง) วิธีหลักๆ ที่นิยมใช้กันคือวิธีการแยกตัวประกอบ และอีกวิธีคือการใช้สูตร
ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าของ x เมื่อ x^{2}+3x-54=0
วิธีทำ
ทำการแยกตัวประกอบพหุนาม
x^{2}+3x-54 =0
(x-6)(x+9) =0
จะได้ x-6=0 หรือ x+9=0
ดังนั้น x=6, -9
ตัวอย่างข้างต้นคือวิธีการแยกตัวประกอบ ส่วนการใช้สูตรจะมีสูตรและตัวอย่างการใช้ดังนี้
ตัวอย่างที่ 8 จงหาเซตคำตอบของสมการ x^{2}-6x+9=0
วิธีทำ
จากสูตร เทียบสัมประสิทธิ์ ax^{2}+bx+c=0 กับ x^{2}-6x+9=0
จะได้ a=1, b=-6 และ c=9
ซึ่ง (-6)^2-4(1)(9)=0 ดังนั้นสมการพหุนามนี้มีเพียงคำตอบเดียวนั่นคือ
x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
=\frac{-(-6)\pm \sqrt{0}}{2(1)}=3
ดังนั้น x=3
จะได้เซตคำตอบของสมการนี้คือ \left \{ 3 \right \}
ตัวอย่างที่ 9 จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x^{2}+3x+4=0
วิธีทำ
จากสูตร เทียบสัมประสิทธิ์ ax^{2}+bx+c=0 กับ 2x^{2}+3x+4=0
จะได้ a=2, b=3 และ c=4
ซึ่ง (3)^2-4(2)(4)<0 ดังนั้นสมการพหุนามนี้ไม่มีจำนวนจริงที่เป็นคำตอบ
ดังนั้น เซตคำตอบของสมการนี้คือ เซตว่าง นั่นเอง
เศษส่วนของพหุนาม
ก่อนอื่น เรามารู้จักกับกับ เศษส่วนของพหุนามกันว่าคืออะไร
บทนิยาม ให้ p(x) และ q(x) พหุนาม โดยที่ q(x)\neq 0 จะเรียก \frac{p(x)}{q(x)} ว่า เศษส่วนพหุนาม ที่มี p(x) เป็นตัวเศษ และ q(x) เป็นตัวส่วน |
จากบทนิยาม เศษส่วนของพหุนามก็คือ เศษส่วนที่มีตัวเศษและตัวส่วนเป็นพหุนามนั่นเอง เหมือนเอาเศษส่วนและพหุนามมารวมตัวกัน ดังนั้น เศษส่วนของพหุนามก็จะสามารถใช้สมบัติต่างๆ ของเศษส่วน และสมบัติต่างๆ ของพหุนามมาใช้ในการคำนวณ จัดรูป รวมถึงนำไปใช้แก้สมการและอสมการได้นะ
การดำเนินการของเศษส่วนพหุนาม
การดำเนินการของเศษส่วนพหุนามนั้นมีวิธีทำคล้ายคลึงกับการดำเนินการของเศษส่วนจำนวนเต็ม คือมีวิธีการบวก ลบ คูณ และหารเหมือนเศษส่วนที่เราเคยรู้จัก แล้วบางข้ออาจใช้การแยกตัวประกอบของพหุนามในการจัดรูปร่วมด้วย ตามตัวอย่างด้านล่างนี้เลย
ตัวอย่างที่ 10
กำหนดให้ p(x)=\frac{x+4}{2} และ q(x)=\frac{1}{x+3}
จงหา p(x)+q(x), p(x)-q(x), p(x) q(x) และ \frac{p(x)}{q(x)}
วิธีทำ
จาก p(x)=\frac{x+4}{2} และ q(x)=\frac{1}{x+3}
จะได้ p(x)+q(x)=\frac{x+4}{2}+\frac{1}{x+3}
=\frac{(x+4)(x+3)+(2)(1)}{(2)(x+3)}
=\frac{x^{2}+7x+14}{2x+6}
p(x)-q(x)=\frac{x+4}{2}-\frac{1}{x+3}
=\frac{(x+4)(x+3)-(2)(1)}{(2)(x+3)}
=\frac{x^{2}+7x+10}{2x+6}
p(x)q(x)=\left ( \frac{x+4}{2}\right )\left ( \frac{1}{x+3} \right )
=\frac{(x+4)(1)}{(2)(x+3)}
=\frac{x+4}{2x+6}
\frac{p(x)}{q(x)}=\left ( \frac{x+4}{2}\right )\div \left ( \frac{1}{x+3} \right )
=\left ( \frac{x+4}{2} \right )\left ( \frac{x+3}{1} \right )
=\frac{x^{2}+7x+12}{2}
สมการเศษส่วนพหุนาม
เนื้อหาก่อนหน้านี้เราทราบกันแล้วว่าจะสามารถแก้สมการพหุนามได้อย่างไร สำหรับการแก้สมการเศษส่วนพหุนามนั้นใช้หลักการแก้สมการพหุนามเหมือนเดิม เพิ่มเติมคือตัวส่วนต้องไม่เป็น 0 น้าา
มาสรุปแนวคิดการแก้ปัญหาในตัวอย่างข้างต้นกันอีกครั้งน้าา เราจะเเยกตัวประกอบแล้วหาค่า x แต่ละตัวแล้วดูเงื่อนไขว่า x ไม่สามารถเป็นอะไรได้ และตัดคำตอบที่ทำให้ตัวส่วนเป็น 0 ทิ้ง
การไม่เท่ากันของจำนวนจริง
น้องๆ จำเรื่องสัจพจน์การเท่ากันของจำนวนจริงที่พี่อธิบายก่อนหน้านี้กันได้มั้ย คราวนี้พี่จะมาพูดส่วนของ “การไม่เท่ากัน” บ้าง โดยในส่วนนี้จะมีความสัมพันธ์อื่นๆ ที่น้องๆ ต้องรู้จักเพิ่มนอกจากเท่ากับ ได้แก่ มากกว่า “>” น้อยกว่า “<” มากกว่าหรือเท่ากับ “\geq” น้อยกว่าหรือเท่ากับ “\leq” นั่นเอง
ในส่วนของสัจพจน์เชิงคณิตศาสตร์ของระบบจำนวนจริงเกี่ยวกับ “การเท่ากัน”เราได้กล่าวไปแล้ว ในหัวข้อนี้เราจะลองพูดถึงสัจพจน์ของการไม่เท่ากันของระบบจำนวนจริงดูบ้าง ซึ่งจะมีอยู่ 3 ข้อ ตามนี้เลย
สำหรับ a\in \mathbb{R} และ b\in \mathbb{R}
1. ถ้า a>0 และ b>0 แล้ว a+b>0
(จำนวนจริงบวก 2 ตัวบวกกันจะได้จำนวนจริงบวก)
2. ถ้า a>0 และ b>0 แล้ว ab>0
(จำนวนจริงบวก 2 ตัวคูณกันจะได้จำนวนจริงบวก)
3. a=0 หรือ a>0 หรือ a<0 เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง
(จำนวนจริงไม่สามารถมีค่าเป็นบวก ลบ หรือ 0 พร้อมกันได้)
ถ้า a\in \mathbb{R}^{+} แสดงว่า a เป็นจำนวนจริงบวก หรือหมายความได้ว่า a>0 นั่นเอง เราลองมาดูบทนิยามที่เกี่ยวกับการไม่เท่ากันของจำนวนจริงกันดีกว่า
บทนิยาม
ให้ a และ b เป็นจำนวนจริง
- a > b หมายถึง a – b > 0
- a < b หมายถึง a-b < 0 (หรือ b – a > 0)
- a \geq b หมายถึง a > b หรือ a = b
- a \leq b หมายถึง a < b หรือ a = b
จากบทนิยามที่ได้กล่าวมาอาจจะยังนำไปใช้ประโยชน์โดยตรงได้ไม่เยอะมากนัก นักคณิตศาสตร์เลยนำบทนิยามดังกล่าวไปต่อยอดมาเป็นทฤษฎีบทให้เราสามารถใช้ได้อีกมากมายเลย เราลองไปดูทฤษฎีบทที่สำคัญๆ ของเรื่องนี้กัน
ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริง
- สมบัติการถ่ายทอด
ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c - สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ถ้า a > b แล้ว a+c > b+c - สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากันที่ไม่เป็นศูนย์
กรณีที่ 1: ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
กรณีที่ 2: ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc - สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก
ถ้า a+c > b+c แล้ว a > b - สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ
กรณีที่ 1: ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b
กรณีที่ 2: ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b
จากทฤษฎีบทข้างบนนี้ สิ่งที่น้องต้องระวังเป็นพิเศษเลยก็คือ หลังจากคูณหรือหารด้วยจำนวนจริงลบตลอดทั้งอสมการแล้ว อย่าลืมกลับเครื่องหมายอสมการด้วย !! น้องอาจจะยัง งงๆ ว่าทำไมต้องกลับเครื่องหมาย พี่มีตัวอย่างให้น้องดู ตามนี้เลยย
ให้ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริง
ถ้า a > b และ c > d แล้ว a+c > b+d
แสดงว่า ถ้าเราสามารถนำสองอสมการมาบวกกันได้เลยตามทฤษฎีบท ยกตัวอย่างเช่น ถ้า x > 5 และ y > 2 จะได้ว่า x+y > 7 นั่นเอง
บทนิยาม
ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ
a < b < c หมายถึง a < b และ b < c
a \leq b \leq c หมายถึง a \leq b และ b \leq c
a < b \leq c หมายถึง a < b และ b \leq c
a \leq b < c หมายถึง a \leq b และ b < c
อสมการพหุนามตัวแปรเดียว
ก่อนที่น้องๆ จะรู้จักเรื่องนี้ พี่ขออธิบายเรื่องหนึ่งซึ่งเป็นเรื่องที่สำคัญมากๆ ถ้าไม่เข้าใจเรื่องนี้ น้องจะเข้าใจเรื่องอสมการพหุนามตัวแปรเดียวได้ยากมาก หรืออาจจะไม่เข้าใจเลย (พี่เตือนน้องแล้วนะ) ซึ่งนั่นก็คือเรื่อง “ช่วง” หมายถึง สับเซตของเซตจำนวนจริง โดยมีบทนิยามดังนี้
บทนิยาม ให้ a และ b เป็นจำนวนจริง ซึ่ง a < b
|
หมายเหตุ : เซตของจำนวนจริงสามารถเขียนในรูปช่วง (-\infty, \infty) แทนได้นะ
การเขียนช่วง
จากสัญลักษณ์ของช่วงต่างๆ ตามนิยามข้างต้น เราสามารถเขียนแทนจำนวนลงบนเส้นจำนวนได้ตามตัวอย่างตามนี้เลย
อสมการพหุนามตัวแปรเดียว
อสมการ คือประโยคในทางคณิตศาสตร์ที่กล่าวถึงการไม่เท่ากัน เช่น 10 > 8 คืออสมการที่เป็นจริง หรือ -10\leq -20 คืออสมการที่เป็นเท็จ เป็นต้น แต่ในกรณีที่อสมการมีตัวแปรอยู่ด้วย เช่น 3x+2 > 8 หรือ x^{2}-9\leq 0 เราจะมาหาว่า จำนวนจริงตัวไหนบ้างนะที่แทนลงในอสมการนี้แล้ว ทำให้อสมการเป็นจริง โดยจำนวนจริงเหล่านี้เราจะเขียนในรูปของ “เซตคำตอบของอสมการ”
ตัวอย่างที่ 14
จงหาเซตคำตอบของอสมการ x^{2}+2x-48<0
วิธีทำ
จาก x^{2}+2x-48 <0
แยกตัวประกอบได้ (x+8)(x-6) < 0
สามารถเขียนช่วงคำตอบของ (x+8)(x-6) < 0 ได้ดังนี้
ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการ x^{2}+2x-48<0 คือช่วง \left ( -8,6 \right ) หรือ \begin{Bmatrix}x|\, -8<x<6\end{Bmatrix}
ค่าสัมบูรณ์
ยังจำกันได้หรือไม่ สัญลักษณ์อะไรเอ่ยที่เอามาครอบจำนวนต่างๆ แล้วค่าที่ได้จะออกมาเป็นบวกเสมอ (ให้เวลาคิด 3 วินาที 3…2…1 หมดเวลา !!!) ถูกต้องแล้ว มันก็คือ “ค่าสัมบูรณ์” นั่นเอง ! ^_^
หลายๆ คนน่าจะเคยได้ยินคำว่า “ค่าสัมบูรณ์” มาจากสมัย ม.ต้น ที่ได้เรียนเรื่องจำนวนเต็มมาแล้วไม่มากก็น้อย เดี๋ยวเราจะมาดูกันดีกว่าว่า ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง จะถูกนิยามว่าอย่างไร
หมายเหตุ
1. จากบทนิยาม ในกรณีที่ a<0 (a เป็นจำนวนลบ) จะได้ -a>0 (ค่าลบของจำนวนลบจะได้จำนวนบวก) แสดงว่า \left | a \right |=-a ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น สำหรับจำนวนจริง a จะได้ว่า \left | a \right | มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ โดย \left | a \right | จะเท่ากับ 0 เมื่อ a=0
2. ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง a สามารถพิจารณาเป็นระยะจากจุดที่แทน 0 ถึงจุดที่แทน a บนเส้นจำนวน
ให้ x และ y เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า
- \left | x \right |=\left | -x \right |
- \left | xy \right |=\left | x \right |\left | y\right |
- \left | \frac{x}{y} \right |=\frac{\left | x \right |}{\left | y\right |}
- \left | x-y \right |=\left | y-x \right |
- \left | x\right |^2=x^2
- \left | x+y\right |\leq \left | x \right |+\left | y \right |
สมการค่าสัมบูรณ์ของพหุนามตัวแปรเดียว
ในหัวข้อนี้เราจะมาแก้สมการค่าสัมบูรณ์ของพหุนามกัน น้องๆ น่าจะเคยมีประสบการณ์ในการแก้สมการมาในหลายรูปแบบแล้ว เช่น สมการเส้นตรง สมการกำลังสองตัวแปรเดียว ซึ่งวิธีหนึ่งที่ใช้ในการหาคำตอบของสมการได้ก็คือการแทนค่าหรือจำนวนลงในตัวแปรแล้วทำให้สมการเป็นจริง
น้องๆ คิดว่า ถ้าเราต้องการหาคำตอบของสมการค่าสัมบูรณ์ จะต้องมีหลักการอย่างไรดี ลองดูสมการง่ายๆ เช่น \left | x \right |= 3 ถ้าเราลองแทนค่า x ด้วย 3 สมการนี้จะเป็นจริง ถ้าเราลองแทนค่า x ด้วย -3 สมการนี้ก็ยังเป็นจริงอยู่เช่นกัน แต่ถ้าลองแทนค่า x ด้วยจำนวนอื่นๆ จะได้ว่าไม่มีจำนวนใดเลยนอกจากนี้ที่ทำให้สมการเป็นจริง ดังนั้น คำตอบทั้งหมดของสมการ \left | x \right |= 3 คือ 3 และ -3 นั่นเอง
ให้ a เป็นจำนวนจริงบวก
เซตคำตอบของสมการ \left | x \right |=a คือ \left \{ -a,a \right \}
หรือสรุปง่ายๆ ได้ว่า \left | x \right |=a ก็ต่อเมื่อ x=a หรือ x=-a นั่นเอง เพื่อให้น้องๆ เข้าใจมากขึ้น เราลองมาดูตัวอย่างกัน
ตัวอย่างที่ 16
จงหาเซตคำตอบของสมการ \left | 2x+3 \right |=9
วิธีทำ
จากทฤษฎีบท จะได้ว่า 2x+3=9 หรือ 2x+3=–9
2x=6 หรือ 2x=-12
x=3 หรือ x=-6
ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ \left | 2x+3 \right |=9 คือ \left \{-6,3 \right \}
จากตัวอย่างด้านบน แค่น้องๆ พิจารณาที่ x=a และ x=-a ก็จะได้คำตอบเลย แต่ถ้าในกรณีที่นอกเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ติดตัวแปร เราไม่แน่ใจว่าจะนอกเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์จะมีค่าเป็นบวก หรือมีค่าเป็นลบ เราจึงต้องพิจารณาทุกกรณีในการถอดเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ที่จะเป็นไปได้นั่นเอง ลองไปดูในตัวอย่างถัดไปกัน
ตัวอย่างที่ 17
จงหาเซตคำตอบของสมการ \left | x-1\right |=2x-3
แนวคิด เราจะพิจารณาในกรณีที่ x-1\geq 0และ x-1<0
วิธีทำ
กรณีที่ 1
x-1\geq 0 นั่นคือ x\geq 1
จะได้ x-1 = 2x-3
-1+3 = 2x-x
x = 2 ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข 2\geq 1
นั่นคือ 2 เป็นคำตอบของสมการ
กรณีที่ 2
x-1<0 นั่นคือ x<1
จะได้ -(x-1) = 2x-3
-x+1 = 2x-3
1+3 = 2x+x
4 = 3x
x =\frac{4}{3} ซึ่งขัดแย้งเงื่อนไข x<1
นั่นคือ \frac{4}{3} ไม่ใช่คำตอบของสมการ
ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ \left | x-1\right |=2x-3 คือ \left \{ 2 \right \}
จากตัวอย่างนี้น้องๆ จะเห็นว่า หลังจากที่เราได้คำตอบมาแล้ว ก็ยังไม่สามารถตอบได้ทันที เราต้องนำเงื่อนไขที่กำหนดไว้มาพิจารณาร่วมด้วยและในตัวอย่างถัดไปเราจะมาดูสมการค่าสัมบูรณ์ ที่ทั้งสองข้างอยู่ในรูปค่าสัมบูรณ์กันบ้าง
ตัวอย่างที่ 18 จงหาเซตคำตอบของสมการ \left | x-1 \right |=\left | 2x+1 \right |
แนวคิด เราจะใช้วิธียกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการมาช่วยแก้กันดีกว่า
วิธีทำ
จาก \left | x-1 \right | = \left | 2x+1 \right |
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง \left | x-1 \right |^2 =\left | 2x+1 \right |^2
(x-1)^2-(2x+1)^2 = 0
[(x-1)-(2x+1)][(x-1)+(2x+1)]=0
(-x-2)(3x)=0
จะได้ -x-2=0 หรือ 3x=0
x=-2 หรือ x=0
ตรวจคำตอบ
แทน x=0 ลงในสมการ \left | x-1 \right | = \left | 2x+1 \right |
จะได้ \left | 0-1 \right |=\left | 2(0)+1\right |
\left | -1\right | =\left | 1\right |
1 = 1 เป็นจริง
แทน x=-2 ลงในสมการ \left | x-1 \right | = \left | 2x+1 \right | จะได้
\left | -2-1 \right |=\left | 2(-2)+1\right |
\left |-3\right |=\left |-3\right |
3 = 3 เป็นจริง
ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ \left | x-1 \right |= \left | 2x+1 \right | คือ \left\{-2,0\right \}
อสมการค่าสัมบูรณ์ของพหุนามตัวแปรเดียว
เราได้ลองแก้สมการค่าสัมบูรณ์ไปเป็นที่เรียบร้อยแล้ว จะเห็นได้ว่า วิธีการแก้สมการค่าสัมบูรณ์นั่นมีความแตกต่างจากการแก้สมการที่เราเคยเจอมา ที่นี้เราก็จะมาดูกันว่า การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์มีความแตกต่างกับการแก้อสมการทั่วไป อย่างไรบ้าง
การแก้อสมการในรูปค่าสัมบูรณ์
ให้ a เป็นจำนวนจริงบวก
|
เพื่อเพิ่มความเข้าใจในทฤษฎีบท เราลองมาดูตัวอย่างกัน
ตัวอย่างที่ 19
จงหาเซตคำตอบของอสมการ \left | 2x+3 \right |<9
วิธีทำ
จากทฤษฎีบทจะได้ว่า
-9 < 2x+3 < 9
-9-3 < 2x+3-3 < 9-3
-12 < 2x < 6
-6 < x < 3
ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการ คือ \left \{ x | -6< x< 3 \right \} หรือ (-6,3)
นอกจากอสมการที่มีจำนวนเต็มแล้ว เราจะมาดูอสมการที่มีพหุนามว่ามีวิธีแก้โจทย์อย่างไร
ตัวอย่างที่ 20
จงหาเซตคำตอบของอสมการ \left | x+1 \right |>x-3
แนวคิด เราจะพิจารณาในกรณีที่ x+1\geq 0 และ x+1<0
วิธีทำ
กรณีที่ 1
x+1\geq 0 นั่นคือ x\geq -1
จะได้ x+1 > x-3
1 > -3
แสดงว่า x สามารถเป็นจำนวนจริงใดก็ได้ หรือ x\in \mathbb{R}\quad
ดังนั้น ค่า x ที่สอดคล้อง คือ x\geq -1 และ x\in \mathbb{R}\quad
นั่นคือ x\geq -1 หรือ\left [ -1,\infty \right )
กรณีที่ 2
x+1<0 นั่นคือ x<-1
จะได้ -(x+1) > x-3
-x-1 > x-3
-2x > -2
x < 1
ดังนั้น ค่า x ที่สอดคล้อง คือ x<-1 และ x<1
นั่นคือ x< -1 หรือ \left ( -\infty ,-1 \right )
ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการ คือ \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left [ -1,\infty \right ) หรือ \mathbb{R}
จะเห็นได้ชัดเจนเลยว่า การตรวจคำตอบเป็นสิ่งสำคัญ หลังจากที่เราได้คำตอบมาแล้ว ก็ยังไม่สามารถตอบได้ทันที เราต้องนำเงื่อนไขที่กำหนดไว้มาพิจารณาร่วมด้วยเพื่อเป็นการตรวจสอบความถูกต้องนั่นเอง ในตัวอย่างถัดไปเราจะมาดูอสมการค่าสัมบูรณ์ ที่ทั้งสองข้างของสมการอยู่ในรูปค่าสัมบูรณ์กันว่าทำอย่างไร
ตัวอย่างที่ 21
จงหาเซตคำตอบของอสมการ \left | x \right |> \left | x-1 \right |
แนวคิด เราจะใช้วิธียกกำลังสองทั้งสองข้างของอสมการ เพื่อปลดเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ออกนั่นเอง
วิธีทำ
เนื่องจาก \left | x \right |>0 และ \left | x-1 \right |>0
จะได้ \left | x \right |^2>\left | x-1 \right |^2
x^2>(x-1)^2
x^2>x^2-2x+1
2x>1
x>\frac{1}{2}
ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการ คือ\left ( \frac{1}{2} ,\infty \right )
หลังจากได้อ่านสรุปเนื้อหาและฝึกทำแบบฝึกหัดกันไปบางส่วน หลายคนคงจะเข้าใจเนื้อหาบทจำนวนจริงเพิ่มขึ้นแล้ว
ใช่ไหมม แต่ถ้าใครยังไม่เข้าใจก็เป็นไรน้าา พี่อยากให้น้อง ๆ ค่อย ๆ ทำความเข้าใจเนื้อหาและฝึกทำโจทย์กันบ่อย ๆ ควบคู่ไปด้วยกันน้า จะได้ทำโจทย์คล่องมือมากขึ้น แถมเป็นการทบทวนเนื้อหาไปในตัวด้วย ซึ่งถ้าใครกำลังมองหาโจทย์หรือ
แบบฝึกหัดที่อยากฝึกทำเพิ่มเติม พี่ก็มีให้ดาวน์โหลดกันแบบฟรี ๆ ที่คลังข้อสอบด้วยน้าา แวะไปดูกันได้เลยย
ดูคลิปติวเรื่อง "จำนวนจริง ม.4"
ติดตามคลิปติวฟรีอื่นๆ จากพี่ปั้น ได้ทาง YouTube Channel : SmartMathPro
คอร์สเรียน แนะนำ
บทความ แนะนำ
สำหรับน้องๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม ได้ที่ Line : @smartmathpronews
รวมถึงข่าวสารต่างๆ อัปเดตอย่างเรียลไทม์
IG : pan_smartmathpro
Twitter : @PanSmartMathPro
