สรุปเนื้อหาจำนวนจริง ม.4 เรียนเรื่องอะไรบ้าง

น้อง ๆ บางคนพอได้ยินชื่อ “จำนวนจริง” ก็อาจจะสงสัยว่า เป็นการเรียนเกี่ยวกับตัวเลขที่เรารู้จักกันอยู่แล้วในชีวิต
ประจำวันหรือเปล่า ? ซึ่งพี่ขอบอกว่า นั่นเป็นเพียงแค่ส่วนหนึ่งของจำนวนจริงเท่านั้นน้าา เพราะในบทนี้เราจะมาทำความรู้จักจำนวนจริงให้มากขึ้นไปอีก ตั้งแต่ ความหมายของจำนวนจริง ระบบจำนวนจริง พหุนาม ค่าสัมบูรณ์ และเรื่องอื่น ๆ อีกมากมายที่กำลังรอทุกคนอยู่ ถ้าพร้อมแล้ว ไปอ่านกันเลยยย

สำหรับบท จำนวนจริง นั้น เป็นบทที่ชื่อดูเข้าใจง่ายหน่อย ถ้าถามว่าบทนี้ง่ายไหม อันนี้ต่างคนอาจจะตอบแตกต่างกัน แต่ถ้าถามว่าสำคัญไหม พี่พูดได้เลยว่าสำคัญมากน้า เพราะจำนวนเป็นสิ่งสำคัญของวิชาคณิตศาสตร์เลย 

แต่เดี๋ยวในบทความนี้ น้อง ๆ จะได้เห็นว่าแล้วต้องเรียนอะไรเกี่ยวกับจำนวนจริงบ้าง แม้ว่าจะเคยผ่านการเรียนบทระบบจำนวนจริงตอน ม.2 มา แต่ในครั้งนี้จะมีหัวข้อใหม่ ๆ ให้เรียนรู้มากมายทีเดียว อาจจะเนื้อหาเยอะสักหน่อยแต่ไม่ต้องกลัว เพราะทุกหัวข้ออาศัยความรู้ที่เคยเรียนแล้วทั้งนั้น ถึงน้อง ๆ จะลืมไปแล้วก็ไม่เป็นไรน้า ค่อย ๆ เรียนรู้ไปด้วยกัน !

ก่อนอื่นมาเริ่มด้วยคำถามว่า จำนวนจริงคืออะไร ถ้าเอาแบบเข้าใจง่าย ๆ ก็คือ จำนวนทุกจำนวนที่รู้จักและสามารถนำมาคำนวณ บวก ลบ คูณ หาร ยกกำลังได้ ไม่ว่าจะเป็นจำนวนเต็ม เศษส่วน ทศนิยม เลขยกกำลัง ตัวเลขที่อยู่ในรูปกรณฑ์ (ที่เรียกกันติดปากว่า รูท) หรือค่าคงที่อย่าง   \pi   ก็เป็นจำนวนจริงเช่นกันนะ

คราวนี้ เพิ่มความซีเรียสกันขึ้นมาหน่อย พี่จะขอทบทวนจำนวนสองชนิด ได้แก่ จำนวนตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะ ซึ่งความหมายและตัวอย่างของจำนวนแต่ละชนิดเป็นดังนี้

จำนวนตรรกยะ

คือ จำนวนที่เขียนในรูป \frac{a}{b}  โดย a และ

b  เป็นจำนวนเต็ม และ  b\neq 0

นั่นคือจำนวนที่เขียนได้ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือเขียนเป็นทศนิยมซ้ำได้

เช่น 7, 1.5, -\frac{5}{4}, 2.4\dot{3}, 0 เป็นต้น

จำนวนอตรรกยะ

คือ จำนวนที่เป็นทศนิยมแบบไม่ซ้ำ (และเป็นทศนิยมไม่รู้จบ ก็คือตัวเลขหลังทศนิยมไม่มีที่สิ้นสุดด้วย) ซึ่งจำนวนชนิดนี้ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มได้

เช่น  \sqrt{2}, 1.121231234…, \pi, \sqrt[3]{4}, 1-\sqrt{2}   เป็นต้น 

จะเห็นว่า จำนวนตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะ จะมีความแตกต่างกันชัดเจน มีลักษณะที่ตรงข้ามกัน นั่นแปลว่า เซตของจำนวนตรรกยะ และเซตของจำนวนอตรรกยะ จะไม่มีสมาชิกที่ซ้ำกันเลย อย่างไรก็ตาม ถ้านำเซตของจำนวนตรรกยะและเซตของจำนวนอตรรกยะมายูเนียน (รวมกัน) เราจะได้ผลลัพธ์จากการยูเนียนคือ เซตของจำนวนจริง นั่นเอง โดยจำนวนจริงสามารถแบ่งเป็นจำนวนชนิดต่างๆ ดังแผนผังต่อไปนี้

-แผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนจริง

สัญลักษณ์ของเซตของจำนวนจริงชนิดต่าง ๆ ที่ควรรู้จัก ได้แก่

  •    แทนเซตของจำนวนเต็มบวก (จำนวนนับ)
  •    แทนเซตของจำนวนเต็ม
  •   แทนเซตของจำนวนตรรกยะ
  •  แทนเซตของจำนวนอตรรกยะ
  •   แทนเซตของจำนวนจริง

ระบบจำนวนจริง

หัวข้อนี้เราจะมาศึกษาเกี่ยวกับโครงสร้างของระบบจำนวนจริงกัน ซึ่งประกอบด้วยเซตของจำนวนจริง และการดำเนินการของจำนวนจริง ประกอบด้วย การบวกและคูณ

แต่ก่อนจะเข้าหัวข้อระบบจำนวนจริง เราต้องมีข้อตกลงร่วมกันหรือสิ่งที่ทุกคนต้องยอมรับแบบไม่ต้องพิสูจน์ว่าจริงหรือไม่กันเสียก่อน เรียกว่า สัจพจน์การเท่ากันของระบบจำนวนจริง น้อง ๆ มาดูกันนะว่ามีอะไรบ้าง

สัจพจน์การเท่ากันของระบบจำนวนจริง

  1. สำหรับจำนวนจริง a, b และ c
    กฎการสะท้อน (reflexive law)
    a = a
  2. กฎการสมมาตร (symmetric law)
    ถ้า a=b แล้ว b=a
  3. กฎการถ่ายทอด (transitive law)
    ถ้า a=b และ b=c แล้ว a=c

คราวนี้กลับมาที่หัวข้อระบบจำนวนจริง จากที่พี่เขียนไว้ว่าหัวข้อนี้มีการดำเนินการของจำนวนจริงด้วย พี่ก็จะขอพูดถึงสมบัติของการดำเนินการ ได้แก่ สมบัติของการบวกและการคูณของจำนวนจริง ซึ่งมีสมบัติสำคัญทั้งหมดดังนี้

สมบัติของจำนวนจริง ม.4

สมบัติข้างต้น โดยเฉพาะสมบัติการสลับที่ สมบัติการเปลี่ยนหมู่ และสมบัติการแจกแจง สามารถช่วยให้น้อง ๆ หาผลลัพธ์จากการบวกและการคูณของจำนวนจริงทำได้สะดวกขึ้นด้วย อย่างเช่นในตัวอย่างต่อไปนี้

  • จงหาผลบวกของ  2+5+3+2+8+5
    ถ้าเราไม่ใช้สมบัติข้างต้น เราจะต้องดำเนินการบวกจากจำนวนทางซ้ายสุดมาขวาสุด ซึ่งจะไม่สะดวกเลย แต่ถ้าเราใช้สมบัติมาช่วยจะสามารถสลับที่และเพิ่มวงเล็บ(จัดหมู่) จะช่วยให้เราหาผลบวกได้ง่ายขึ้น ดังนี้

2+5+3+2+8+5=(5+5)+(2+8)+(2+3)=10+10+5=25

  • จงหาผลคูณของ 2\times 5\times 3\times 2\times 8\times 5
    เราสามารถใช้สมบัติการคูณของจำนวนจริงช่วยในการหาคำตอบได้เช่นเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้า ดังนี้

2\times 5\times 3\times 2\times 8\times 5 = \left (2\times 5 \right )\times \left (2\times 5 \right )\times \left ( 3\times 8 \right )=10\times 10\times 24=2,400

พหุนามตัวแปรเดียว

ขึ้นหัวข้อมาว่าพหุนาม น้อง ๆ อาจจะงงว่าแล้วมันเกี่ยวกับจำนวนจริงตรงไหนเหรอ ? นั่นเป็นเพราะว่านอกจากการบวกลบคูณหารแล้ว เราใช้สมบัติของจำนวนจริงในการหาคำตอบของสมการและอสมการด้วยนั่นเอง !! 

โดยที่แต่เดิมเราเคยแก้สมการและอสมการตัวแปรเดียวที่เป็นแบบเชิงเส้น (ตัวแปรไม่ได้มีเลขชี้กำลัง) กันมาบ้าง แต่ในระดับชั้นนี้ เราจะไปไกลขึ้น โดยตัวแปรของเรานั้นมีเลขชี้กำลังได้ นั่นทำให้สมการหรืออสมการจะอยู่ในรูปของพหุนามนั่นเอง 

ในหัวข้อนี้ เราก็จะมาทบทวนพหุนาม เน้นที่พหุนามตัวแปรเดียว แล้วต่อยอดว่าพหุนามสามารถทำอะไรได้มากไปกว่าที่เราเคยเรียนรู้มาในคณิต ม.ต้น ซึ่งความรู้เรื่องพหุนามตัวแปรเดียวในหัวข้อนี้ก็จะนำไปใช้ในการแก้สมการและอสมการต่อนั่นเอง

ความหมายของพหุนาม

p(x)={a_{n}x}^{n}+{a_{n-1}x}^{n-1}+{a_{n-2}x}^{n-2}+\cdots+a_{1}x+a_{0}

เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นจำนวนลบ

และ {a_{n}}, {a_{n-1}}, {a_{n-2}}, … , {a_{1}}, {a_{0}}   เป็นจำนวนจริง

เรียก p(x) ว่า พหุนามดีกรี n เรียก n ว่า 

ดีกรี ของ  p(x) และเรียก {a_{n}}, {a_{n-1}}, {a_{n-2}}, … , {a_{1}}, {a_{0}}  ว่า สัมประสิทธิ์ ของ p(x)

เรียก {a_{n}} ว่า สัมประสิทธิ์นำ

เช่น q(x)={{3x}^{2}}+{4x}+5  เป็นพหุนามที่มีดีกรี 2 มีสัมประสิทธิ์ เป็น 3, 4 และ 5 

และมี สัมประสิทธิ์นำ เป็น 3

การดำเนินการของพหุนาม

ในส่วนของการดำเนินการของพหุนาม ซึ่งประกอบด้วย การบวก ลบ คูณ หารพหุนาม พี่จะขอทบทวนส่วนที่เราเคยเรียนในชั้น ม.ต้นกันก่อน ได้แก่ การบวก ลบ และคูณพหุนาม ซึ่งเรามาทบทวนผ่านตัวอย่างต่อไปนี้กันเลย

ตัวอย่างที่ 1 

ให้ p(x)=x-2   และ q(x)=2x-1 จงหา p(x)+q(x), p(x)-q(x) และ p(x) q(x)  

วิธีทำ จาก p(x)=x-2 และ q(x)=2x-1

จะได้  

  •  p(x)+q(x)=(x-2)+(2x-1)=x+2x-2-1=3x-3
  • p(x)-q(x)=(x-2)-(2x-1)=x-2x-2+1=-x-2
  • p(x)q(x)=(x-2)(2x-1)

=x(2x)+(x)(-1)+(-2)(2x)+(-2)(-1)  

=2x^{2}-5x+2

ขั้นตอนวิธีการหารสำหรับพหุนาม

หลังจากที่เราได้ทบทวนการบวก ลบ และคูณพหุนามแล้ว คราวนี้เรามาทำความรู้จักกับการหารพหุนามกันบ้างว่ามีวิธีทำอย่างไร แต่ก่อนอื่น พี่จะพาน้อง ๆ มารู้จักกับองค์ประกอบต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหารพหุนามว่ามีอะไรบ้าง

ทฤษฎีบท ขั้นตอนวิธีการหารสำหรับพหุนาม 

ถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วยพหุนาม q(x) โดยที่ q(x)\neq 0  แล้วจะมีพหุนาม a(x) และ r(x) เพียงชุดเดียวเท่านั้นซึ่ง

p(x)=q(x)a(x)+r(x)  

โดย r(x)=0   หรือ ดีกรีของ  r(x) มีค่าน้อยกว่าดีกรีของ a(x)

จากทฤษฎีข้างต้นสรุปง่าย ๆ ว่า 

ตัวตั้ง = (ตัวหาร)(ผลหาร) + เศษเหลือ

การหารยาว

การหารพหุนามนั้นมีได้หลายวิธี เช่น วิธีการหารยาว วิธีเทียบสัมประสิทธิ์ วิธีการหารสังเคราะห์ ฯลฯ แต่พี่จะขอพูดถึงเฉพาะการหารยาวนะ ซึ่งการหารยาวของพหุนามสามารถทำได้โดยวิธีการตั้งหารคล้ายรูปแบบการหารยาวของจำนวนเต็มดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 2

จงหาผลหารและเศษเหลือจากการหาร p(x)=x^{2}-3x+2  

ด้วย q(x)=x-4 

วิธีทำ

1. จัดตำแหน่งของ ตัวตั้ง และ ตัวหารเหมือนกับการหารยาวของจำนวนเต็ม
โดยเรียงเลขชี้กำลังจากมากไปน้อยทั้งตัวตั้งและตัวหาร

2. หาตัวที่คูณกับ x แล้วได้ x^{2} นั่นก็คือ x

3. หาผลคูณของ  x(x-4)  

4. เอาผลที่ได้จากข้อที่ 3 ตั้งในบรรทัดถัดไปแล้วนำไปลบออกจาก x^{2}-3x ที่อยู่ด้านบน

5. ดึงพจน์ถัดไปลงมา

6. หาตัวที่คูณกับx แล้วได้ x นั่นก็คือ 1

7. เอาผลคูณของ (1)(x-4) ตั้งในบรรทัดถัดไปแล้วนำไปลบออกจาก x+2 ที่อยู่ด้านบน จะได้ x^{2}-3x+2=(x-4)(x+1)+6

ดังนั้นผลหารคือ x+1 และเหลือเศษคือ 6

ดังนั้นผลหารคือ  x+1 และเหลือเศษคือ 6

ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลหารและเศษเหลือจากการหารพหุนาม 3x^{2}+8 ด้วย x-2
เทคนิค : ในกรณีที่กำลังเรียงพจน์ของพหุนามตามเลขชี้กำลังจากมากไปน้อย แล้วมีพจน์บางพจน์หายไป ให้เติม 0 คูณกับ x ยกกำลังเลขที่หายไป
วิธีทำ

ดังนั้น ผลหารคือ 3x+6 และเหลือเศษคือ 20

การแยกตัวประกอบของพหุนาม

เรื่องหนึ่งที่สำคัญของพหุนาม คือ การแยกตัวประกอบของพหุนาม ซึ่งเป็นส่วนสำคัญทั้งการจัดรูปพหุนามให้อยู่ในรูปอย่างง่าย รวมถึงเป็นวิธีการหลักในการแก้สมการและอสมการพหุนาม 

ซึ่งในชั้นม.ต้นน้อง ๆ ได้ทำการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองรวมถึงพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีรูปแบบเฉพาะมาแล้ว สำหรับชั้นม.ปลายนี้เนื้อหาที่เราเรียนก็จะเพิ่มขึ้นนะ โดยเราจะได้เรียนการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองแต่ไม่ได้มีรูปแบบเฉพาะ โดยใช้ทฤษฎีที่สำคัญ อยู่ 2 ทฤษฎี ได้แก่ ทฤษฎีบทเศษเหลือและทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ 

ทฤษฎีบทเศษเหลือ
ถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วยพหุนาม x-c แล้วเศษเหลือจะเท่ากับ p(c)

ตัวอย่างที่ 4  จงหาเศษเหลือของ 3x^{2}+1  หารด้วย x-1  

วิธีทำ

ให้ p(x)=3x^{2}+1  

จากทฤษฎีบทเศษเหลือ เมื่อหาร p(x) ด้วย x-1 จะได้เศษเหลือคือ  p(1) 

จะได้ p(1)=3(1)^{2}+1=4

ดังนั้น เศษเหลือของ 3x^{2}+1  หารด้วย x-1 คือ 4

จาก ทฤษฎีบทเศษเหลือ ถ้าเราหาค่า c ที่ทำให้  p(c) เป็น 0 นั่นคือการหารนั้นจะมีเศษเหลือจากการหารเป็น 0  ซึ่งการที่เศษเป็น 0  ก็คือการหารลงตัวนั่นเอง ซึ่งถ้าหารลงตัวแล้วแสดงว่า  x-c ก็จะเป็นหนึ่งในตัวประกอบของ p(x) เราสามารถกล่าวเป็นทฤษฎีบทได้ดังนี้

ทฤษฎีบทตัวประกอบ
พหุนาม p(x) มีพหุนาม x-c เป็นตัวประกอบก็ต่อเมื่อ p(c)=0

ตัวอย่างที่ 5  จงตรวจสอบว่า x-1 เป็นตัวประกอบของ x^{2}+2x-8  หรือไม่

วิธีทำ

ให้  p(x)=x^{2}+2x-8  

ดังนั้น p(1)=(1)^{2}+2(1)-8=-5 ซึ่งไม่เท่ากับ 0  

จึงสรุปได้ว่า x-1 ไม่เป็นตัวประกอบของ x^{2}+2x-8

ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ
ให้ p(x) แทนพหุนาม {a_{n}x}^{n}+{a_{n-1}x}^{n-1}+{a_{n-2}x}^{n-2}+…+a_{1}x+a_{0}
โดยที่ {a_{n}}, {a_{n-1}}, {a_{n-2}}, … , {a_{1}}, {a_{0}} เป็นจำนวนเต็ม
ซึ่ง {a_{n}}\neq 0
ถ้า x-\frac{k}{m} เป็นตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม
ซึ่ง {m}\neq 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k
เท่ากับ 1 แล้ว m หาร a_{n} ลงตัว และ k หาร a_{0} ลงตัว

ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ 2x^{2} + x^{5} – 3

วิธีทำ 

ให้ p(x) = 2x^{2} + 5x -3

เนื่องจากจำนวนเต็มที่หาร -3 ลงตัว คือ \pm 1, \pm 3

และจำนวนเต็มที่หาร 2 ลงตัว คือ   \pm 1, \pm 2

ดังนั้น จำนวนตรรกยะ \frac{k}{m} ที่ทำให้ p\binom{k}{m}=0 จะอยู่ในกลุ่มของจำนวนต่อไปนี้ คือ \pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}

พิจารณา  p\binom{1}{2}

จะได้ว่า p\binom{1}{2} = 2\binom{1}{2}^{2} + 5\binom{1}{2} – 3 = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} -3 = 0

นั่นคือ x-\frac{1}{2} เป็นตัวประกอบของ p(x)

นำ x-\frac{1}{2} ไปหาร p(x) ได้ผลหารเป็น 2x + 6

ดังนั้น  2x^{3} + 5x – 3 = \left ( x-\frac{1}{2} \right ) (2x + 6)

                                       = \left ( x-\frac{1}{2} \right ) (2)(x + 3)

                                       = (2x – 1) (x + 3)

จากตัวอย่างข้างต้น น้อง ๆ บางคนที่ยังสงสัยอยู่ว่า จำนวน \pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}  เหล่านี้มาจากไหน พี่จะขอสรุปไว้ข้างท้ายนี้อีกครั้งว่า ตัวเศษได้มาจากตัวประกอบของ -3 และตัวส่วนได้มาจากตัวประกอบของ 2 โดย ห.ร.ม. ของตัวเศษและตัวส่วน คือ 1 นั่นเอง

สมการพหุนาม

คราวนี้ก็มาถึงเวลาที่เราจะนำความรู้ทั้งจำนวนจริงและพหุนามมาใช้ในการแก้สมการกันแล้ว เราเคยผ่านการแก้สมการมาตั้งแต่ชั้นประถม และในม.ต้นเราได้แก้สมการกำลังสองด้วย ในม.ปลายเราจะแก้สมการที่ตัวแปรมีเลขชี้กำลังที่มากขึ้น แต่เราจะใช้หลักการแก้สมการกำลังสองร่วมกับทฤษฎีบทตัวประกอบในหัวข้อก่อน สำหรับหลักการแก้สมการพหุนาม (ทั้งกำลังสองและกำลังที่สูงกว่าสอง) วิธีหลัก ๆ ที่นิยมใช้กันคือวิธีการแยกตัวประกอบ และอีกวิธีคือการใช้สูตร

ตัวอย่างที่ 7  จงหาค่าของ x เมื่อ x^{2}+3x-54=0 

วิธีทำ

ทำการแยกตัวประกอบพหุนาม 

x^{2}+3x-54       =0

(x-6)(x+9)   =0

จะได้  x-6=0   หรือ x+9=0

ดังนั้น x=6, -9  

ตัวอย่างข้างต้นคือวิธีการแยกตัวประกอบ ส่วนการใช้สูตรจะมีสูตรและตัวอย่างการใช้ดังนี้

ตัวอย่างที่ 8  จงหาเซตคำตอบของสมการ x^{2}-6x+9=0  

วิธีทำ 

จากสูตร เทียบสัมประสิทธิ์ ax^{2}+bx+c=0 กับ  x^{2}-6x+9=0

จะได้  a=1, b=-6 และ c=9

ซึ่ง (-6)^2-4(1)(9)=0 ดังนั้นสมการพหุนามนี้มีเพียงคำตอบเดียวนั่นคือ

x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

     =\frac{-(-6)\pm \sqrt{0}}{2(1)}=3

ดังนั้น x=3

จะได้เซตคำตอบของสมการนี้คือ \left \{ 3 \right \}

ตัวอย่างที่ 9  จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x^{2}+3x+4=0  

วิธีทำ 

จากสูตร เทียบสัมประสิทธิ์ ax^{2}+bx+c=0 กับ 2x^{2}+3x+4=0

จะได้  a=2, b=3 และ c=4

ซึ่ง (3)^2-4(2)(4)<0 ดังนั้นสมการพหุนามนี้ไม่มีจำนวนจริงที่เป็นคำตอบ

ดังนั้น เซตคำตอบของสมการนี้คือ เซตว่าง นั่นเอง

เศษส่วนของพหุนาม

ก่อนอื่น เรามารู้จักกับกับ เศษส่วนของพหุนามกันว่าคืออะไร

บทนิยาม

ให้ p(x) และ q(x) พหุนาม โดยที่ q(x)\neq 0   จะเรียก \frac{p(x)}{q(x)}  ว่า เศษส่วนพหุนาม 

ที่มี p(x) เป็นตัวเศษ และ q(x) เป็นตัวส่วน

จากบทนิยาม เศษส่วนของพหุนามก็คือ เศษส่วนที่มีตัวเศษและตัวส่วนเป็นพหุนามนั่นเอง เหมือนเอาเศษส่วนและพหุนามมารวมตัวกัน ดังนั้น เศษส่วนของพหุนามก็จะสามารถใช้สมบัติต่าง ๆ ของเศษส่วน และสมบัติต่าง ๆ ของพหุนามมาใช้ในการคำนวณ จัดรูป รวมถึงนำไปใช้แก้สมการและอสมการได้นะ

การดำเนินการของเศษส่วนพหุนาม

การดำเนินการของเศษส่วนพหุนามนั้นมีวิธีทำคล้ายคลึงกับการดำเนินการของเศษส่วนจำนวนเต็ม คือมีวิธีการบวก ลบ คูณ และหารเหมือนเศษส่วนที่เราเคยรู้จัก แล้วบางข้ออาจใช้การแยกตัวประกอบของพหุนามในการจัดรูปร่วมด้วย ตามตัวอย่างด้านล่างนี้เลย

ตัวอย่างที่ 10

กำหนดให้ p(x)=\frac{x+4}{2} และ q(x)=\frac{1}{x+3}   

จงหา p(x)+q(x), p(x)-q(x),  p(x) q(x) และ \frac{p(x)}{q(x)}

วิธีทำ

จาก p(x)=\frac{x+4}{2} และ q(x)=\frac{1}{x+3}

จะได้ p(x)+q(x)=\frac{x+4}{2}+\frac{1}{x+3}

                                     =\frac{(x+4)(x+3)+(2)(1)}{(2)(x+3)}

                           =\frac{x^{2}+7x+14}{2x+6}

p(x)-q(x)=\frac{x+4}{2}-\frac{1}{x+3}

                           =\frac{(x+4)(x+3)-(2)(1)}{(2)(x+3)}

                           =\frac{x^{2}+7x+10}{2x+6}

p(x)q(x)=\left ( \frac{x+4}{2}\right )\left ( \frac{1}{x+3} \right )  

                     =\frac{(x+4)(1)}{(2)(x+3)}

                     =\frac{x+4}{2x+6}

\frac{p(x)}{q(x)}=\left ( \frac{x+4}{2}\right )\div \left ( \frac{1}{x+3} \right )

          =\left ( \frac{x+4}{2} \right )\left ( \frac{x+3}{1} \right )

          =\frac{x^{2}+7x+12}{2}

สมการเศษส่วนพหุนาม

เนื้อหาก่อนหน้านี้เราทราบกันแล้วว่าจะสามารถแก้สมการพหุนามได้อย่างไร สำหรับการแก้สมการเศษส่วนพหุนามนั้นใช้หลักการแก้สมการพหุนามเหมือนเดิม เพิ่มเติมคือตัวส่วนต้องไม่เป็น 0 น้าา

ตัวอย่างที่ 11 จงหาเซตคำตอบของสมการ \frac{x^{2}+7x+12}{x^{2}+3x-4}=0

วิธีทำ
จาก \frac{x^{2}+7x+12}{x^{2}+3x-4}=0
จะได้ \frac{(x+4)(x+3)}{(x+4)(x-1)}=0

จะได้ (x+4)(x+3)=0 และ (x+4)(x-1)\neq 0
นั่นคือ x=-3 หรือ x=-4 โดยที่ x\neq 1 และ x\neq -4
ดังนั้น x=-3
จะได้เซตคำตอบของสมการคือ \left \{ -3 \right \}

มาสรุปแนวคิดการแก้ปัญหาในตัวอย่างข้างต้นกันอีกครั้งน้าา เราจะเเยกตัวประกอบแล้วหาค่า x แต่ละตัวแล้วดูเงื่อนไขว่า x ไม่สามารถเป็นอะไรได้ และตัดคำตอบที่ทำให้ตัวส่วนเป็น 0 ทิ้ง

การไม่เท่ากันของจำนวนจริง

น้อง ๆ จำเรื่องสัจพจน์การเท่ากันของจำนวนจริงที่พี่อธิบายก่อนหน้านี้กันได้มั้ย คราวนี้พี่จะมาพูดส่วนของ “การไม่เท่ากัน” บ้าง โดยในส่วนนี้จะมีความสัมพันธ์อื่น ๆ ที่น้อง ๆ ต้องรู้จักเพิ่มนอกจากเท่ากับ ได้แก่ มากกว่า “>” น้อยกว่า “<” มากกว่าหรือเท่ากับ “\geq” น้อยกว่าหรือเท่ากับ “\leq” นั่นเอง

ในส่วนของสัจพจน์เชิงคณิตศาสตร์ของระบบจำนวนจริงเกี่ยวกับ “การเท่ากัน”เราได้กล่าวไปแล้ว ในหัวข้อนี้เราจะลองพูดถึงสัจพจน์ของการไม่เท่ากันของระบบจำนวนจริงดูบ้าง ซึ่งจะมีอยู่ 3 ข้อ ตามนี้เลย

สำหรับ a\in \mathbb{R}  และ b\in \mathbb{R}  

1. ถ้า a>0 และ b>0 แล้ว a+b>0

(จำนวนจริงบวก 2 ตัวบวกกันจะได้จำนวนจริงบวก)

2. ถ้า a>0 และ b>0 แล้ว ab>0

(จำนวนจริงบวก 2 ตัวคูณกันจะได้จำนวนจริงบวก)

3. a=0 หรือ a>0 หรือ a<0 เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง

(จำนวนจริงไม่สามารถมีค่าเป็นบวก ลบ หรือ 0 พร้อมกันได้)

ถ้า a\in \mathbb{R}^{+} แสดงว่า a เป็นจำนวนจริงบวก หรือหมายความได้ว่า a>0 นั่นเอง เราลองมาดูบทนิยามที่เกี่ยวกับการไม่เท่ากันของจำนวนจริงกันดีกว่า

บทนิยาม

ให้ a และ b เป็นจำนวนจริง

  • a > b หมายถึง a – b > 0
  • a < b หมายถึง a-b < 0 (หรือ b – a > 0)
  • a \geq b หมายถึง a > b หรือ a = b
  • a \leq  b หมายถึง a < b หรือ a = b

จากบทนิยามที่ได้กล่าวมาอาจจะยังนำไปใช้ประโยชน์โดยตรงได้ไม่เยอะมากนัก นักคณิตศาสตร์เลยนำบทนิยามดังกล่าวไปต่อยอดมาเป็นทฤษฎีบทให้เราสามารถใช้ได้อีกมากมายเลย เราลองไปดูทฤษฎีบทที่สำคัญ ๆ ของเรื่องนี้กัน

ทฤษฎีบท

ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริง

สมบัติการถ่ายทอด
ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c
สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ถ้า a > b แล้ว a+c > b+c
สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากันที่ไม่เป็นศูนย์
กรณีที่ 1: ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
กรณีที่ 2: ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc
สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก
ถ้า a+c > b+c แล้ว a > b
สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ
กรณีที่ 1: ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b
กรณีที่ 2: ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b

จากทฤษฎีบทข้างบนนี้ สิ่งที่น้องต้องระวังเป็นพิเศษเลยก็คือ หลังจากคูณหรือหารด้วยจำนวนจริงลบตลอดทั้งอสมการแล้ว อย่าลืมกลับเครื่องหมายอสมการด้วย !! 

ทฤษฎีบท

ให้ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริง

ถ้า a > b และ c > d แล้ว a+c > b+d

แสดงว่า ถ้าเราสามารถนำสองอสมการมาบวกกันได้เลยตามทฤษฎีบท ยกตัวอย่างเช่น ถ้า x > 5 และ y > 2 จะได้ว่า x+y > 7 นั่นเอง

บทนิยาม

ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ

a < b < c หมายถึง a < b และ b < c

a \leq b \leq c หมายถึง a \leq b และ b \leq c

a < b \leq c หมายถึง a < b และ b \leq c

a \leq b < c หมายถึง a \leq b และ b < c

อสมการพหุนามตัวแปรเดียว

ก่อนที่น้อง ๆ จะรู้จักเรื่องนี้ พี่ขออธิบายเรื่องหนึ่งซึ่งเป็นเรื่องที่สำคัญมาก ๆ ถ้าไม่เข้าใจเรื่องนี้ น้องจะเข้าใจเรื่องอสมการพหุนามตัวแปรเดียวได้ยากมาก หรืออาจจะไม่เข้าใจเลย (พี่เตือนน้องแล้วนะ) ซึ่งนั่นก็คือเรื่อง “ช่วง” หมายถึง สับเซตของเซตจำนวนจริง โดยมีบทนิยามดังนี้

บทนิยาม

ให้ a และ b เป็นจำนวนจริง ซึ่ง a < b

  • ช่วงเปิด (a, b) หมายถึง เซต  \left \{x| a < x < b\right \}
  • ช่วงปิด [a, b] หมายถึง เซต \left\{x| a \leq x \leq b\right \}
  • ช่วงครึ่งเปิดหรือช่วงครึ่งปิด (a, b] หมายถึง เซต \left\{x| a < x \leq b\right \}
  • ช่วงครึ่งเปิดหรือช่วงครึ่งปิด [a, b) หมายถึง เซต \left\{x| a \leq x < b\right \}
  • ช่วงเปิดอนันต์ (a, \infty ) หมายถึง เซต \left\{x| x > a\right \}
  • ช่วงเปิดอนันต์ (-\infty, a) หมายถึง เซต \left\{x| x < a\right \}
  • ช่วงปิดอนันต์ [a, \infty) หมายถึง เซต \left\{x| x \geq a\right \}
  • ช่วงปิดอนันต์ (-\infty, a] หมายถึง เซต \left\{x| x \leq a\right \}

หมายเหตุ : เซตของจำนวนจริงสามารถเขียนในรูปช่วง (-\infty, \infty) แทนได้นะ

การเขียนช่วง

จากสัญลักษณ์ของช่วงต่าง ๆ ตามนิยามข้างต้น เราสามารถเขียนแทนจำนวนลงบนเส้นจำนวนได้ตามตัวอย่างตามนี้เลย

ตัวอย่างที่ 12

อสมการพหุนามตัวแปรเดียว

อสมการ คือประโยคในทางคณิตศาสตร์ที่กล่าวถึงการไม่เท่ากัน เช่น 10 > 8 คืออสมการที่เป็นจริง หรือ -10\leq -20 คืออสมการที่เป็นเท็จ เป็นต้น แต่ในกรณีที่อสมการมีตัวแปรอยู่ด้วย เช่น 3x+2 > 8 หรือ x^{2}-9\leq 0 เราจะมาหาว่า จำนวนจริงตัวไหนบ้างนะที่แทนลงในอสมการนี้แล้ว ทำให้อสมการเป็นจริง โดยจำนวนจริงเหล่านี้เราจะเขียนในรูปของ “เซตคำตอบของอสมการ”

ตัวอย่างที่ 13

จงหาเซตคำตอบของอสมการ x^{2}+2x-48<0 

วิธีทำ

                             จาก x^{2}+2x-48  <0 

แยกตัวประกอบได้   (x+8)(x-6) < 0

สามารถเขียนช่วงคำตอบของ (x+8)(x-6) < 0 ได้ดังนี้

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการ x^{2}+2x-48<0 คือช่วง \left ( -8,6 \right ) หรือ \begin{Bmatrix}x|\, -8<x<6\end{Bmatrix}

ตัวอย่างที่ 14 จงหาเซตคำตอบของอสมการ  \frac{(x + 4)(2x – 5)(7 – x)}{x}\geq 0  

วิธีทำ

จาก  \frac{(x + 4)(2x – 5)(7 – x)}{x}\geq 0  

คูณด้วย -1 ตลอด \frac{(x + 4)(2x – 5)(x – 7)}{x}\leq 0   ** คูณด้วยตัวติดลบอย่าลืมกลับเครื่องหมายอสมการ

สามารถเขียนช่วงคำตอบของ \frac{(x + 4)(2x – 5)(x – 7)}{x}\leq 0 ได้ดังนี้

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการ \frac{(x + 4)(2x – 5)(7 – x)}{x}\geq 0 คือช่วง [-4, 0) \cup \left [ \frac{5}{2}, 7 \right ]

ค่าสัมบูรณ์

ยังจำกันได้หรือไม่ สัญลักษณ์อะไรเอ่ยที่เอามาครอบจำนวนต่าง ๆ แล้วค่าที่ได้จะออกมาเป็นบวกเสมอ (ให้เวลาคิด 3 วินาที 3…2…1 หมดเวลา !!!) ถูกต้องแล้ว มันก็คือ “ค่าสัมบูรณ์” นั่นเอง ! ^_^

หลาย ๆ คนน่าจะเคยได้ยินคำว่า “ค่าสัมบูรณ์” มาจากสมัย ม.ต้น ที่ได้เรียนเรื่องจำนวนเต็มมาแล้วไม่มากก็น้อย เดี๋ยวเราจะมาดูกันดีกว่าว่า ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง จะถูกนิยามว่าอย่างไร

หมายเหตุ

 1. จากบทนิยาม ในกรณีที่ a<0 (a เป็นจำนวนลบ) จะได้ -a>0 (ค่าลบของจำนวนลบจะได้จำนวนบวก) แสดงว่า  \left | a \right |=-a ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น สำหรับจำนวนจริง a จะได้ว่า  \left | a \right |  มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ โดย  \left | a \right | จะเท่ากับ 0 เมื่อ a=0

2. ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง a สามารถพิจารณาเป็นระยะจากจุดที่แทน 0 ถึงจุดที่แทน a บนเส้นจำนวน

ทฤษฎีบท

ให้ x และ y เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า 

  1.  \left | x \right |=\left | -x \right | 
  2.  \left | xy \right |=\left | x \right |\left | y\right | 
  3.  \left | \frac{x}{y} \right |=\frac{\left | x \right |}{\left | y\right |} 
  4.  \left | x-y \right |=\left | y-x \right | 
     
  5. \left | x\right |^2=x^2 
  6.  \left | x+y\right |\leq \left | x \right |+\left | y \right | 

สมการค่าสัมบูรณ์ของพหุนามตัวแปรเดียว

ในหัวข้อนี้เราจะมาแก้สมการค่าสัมบูรณ์ของพหุนามกัน น้อง ๆ น่าจะเคยมีประสบการณ์ในการแก้สมการมาในหลายรูปแบบแล้ว เช่น สมการเส้นตรง สมการกำลังสองตัวแปรเดียว ซึ่งวิธีหนึ่งที่ใช้ในการหาคำตอบของสมการได้ก็คือการแทนค่าหรือจำนวนลงในตัวแปรแล้วทำให้สมการเป็นจริง 

น้อง ๆ คิดว่า ถ้าเราต้องการหาคำตอบของสมการค่าสัมบูรณ์ จะต้องมีหลักการอย่างไรดี ลองดูสมการง่าย ๆ เช่น \left | x \right |= 3 ถ้าเราลองแทนค่า x ด้วย 3 สมการนี้จะเป็นจริง ถ้าเราลองแทนค่า x ด้วย -3 สมการนี้ก็ยังเป็นจริงอยู่เช่นกัน แต่ถ้าลองแทนค่า x ด้วยจำนวนอื่น ๆ จะได้ว่าไม่มีจำนวนใดเลยนอกจากนี้ที่ทำให้สมการเป็นจริง ดังนั้น คำตอบทั้งหมดของสมการ  \left | x \right |= 3 คือ 3 และ -3 นั่นเอง

ทฤษฎีบท
ให้ a เป็นจำนวนจริงบวก
เซตคำตอบของสมการ \left | x \right |=a คือ \left \{ -a,a \right \}

หรือสรุปง่าย ๆ ได้ว่า  \left | x \right |=a ก็ต่อเมื่อ x=a หรือ x=-a นั่นเอง เพื่อให้น้อง ๆ เข้าใจมากขึ้น เราลองมาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 15

จงหาเซตคำตอบของสมการ \left | 2x+3 \right |=9 

วิธีทำ

จากทฤษฎีบท จะได้ว่า 2x+3=9 หรือ 2x+3=–9                          

                                                  2x=6  หรือ          2x=-12

                                                    x=3  หรือ              x=-6

ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ \left | 2x+3 \right |=9 คือ \left \{-6,3  \right \}

จากตัวอย่างด้านบน แค่น้อง ๆ พิจารณาที่ x=a และ x=-a ก็จะได้คำตอบเลย แต่ถ้าในกรณีที่นอกเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ติดตัวแปร เราไม่แน่ใจว่าจะนอกเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์จะมีค่าเป็นบวก หรือมีค่าเป็นลบ เราจึงต้องพิจารณาทุกกรณีในการถอดเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ที่จะเป็นไปได้นั่นเอง ลองไปดูในตัวอย่างถัดไปกัน

ตัวอย่างที่ 16

จงหาเซตคำตอบของสมการ \left | x-1\right |=2x-3 

แนวคิด เราจะพิจารณาในกรณีที่ x-1\geq 0และ x-1<0 

วิธีทำ

กรณีที่ 1

x-1\geq 0 นั่นคือ x\geq 1 

     จะได้ x-1 = 2x-3

-1+3 = 2x-x 

               x = 2 ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข  2\geq 1  

นั่นคือ  2 เป็นคำตอบของสมการ 

กรณีที่ 2

x-1<0 นั่นคือ x<1 

จะได้ -(x-1) = 2x-3 

    -x+1 = 2x-3 

         1+3 = 2x+x 

                    4 = 3x 

                     x =\frac{4}{3} ซึ่งขัดแย้งเงื่อนไข x<1

นั่นคือ \frac{4}{3}  ไม่ใช่คำตอบของสมการ 

ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ  \left | x-1\right |=2x-3  คือ  \left \{ 2 \right \}

จากตัวอย่างนี้น้องๆ จะเห็นว่า หลังจากที่เราได้คำตอบมาแล้ว ก็ยังไม่สามารถตอบได้ทันที เราต้องนำเงื่อนไขที่กำหนดไว้มาพิจารณาร่วมด้วยและในตัวอย่างถัดไปเราจะมาดูสมการค่าสัมบูรณ์ ที่ทั้งสองข้างอยู่ในรูปค่าสัมบูรณ์กันบ้าง

ตัวอย่างที่ 17 จงหาเซตคำตอบของสมการ \left | x-1 \right |=\left | 2x+1 \right |  

แนวคิด เราจะใช้วิธียกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการมาช่วยแก้กันดีกว่า

วิธีทำ

จาก \left | x-1 \right | =  \left | 2x+1 \right |

                                               ยกกำลังสองทั้งสองข้าง \left | x-1 \right |^2 =\left | 2x+1 \right |^2

                                                               (x-1)^2-(2x+1)^2 = 0

                    [(x-1)-(2x+1)][(x-1)+(2x+1)]=0

                                                                              (-x-2)(3x)=0

จะได้ -x-2=0      หรือ 3x=0

                        x=-2 หรือ   x=0

ตรวจคำตอบ

แทน x=0 ลงในสมการ  \left | x-1 \right | =  \left | 2x+1 \right |  

จะได้ \left | 0-1 \right |=\left | 2(0)+1\right |

                \left | -1\right | =\left | 1\right | 

                        1 =  1 เป็นจริง

แทน x=-2 ลงในสมการ  \left | x-1 \right | =  \left | 2x+1 \right |  จะได้

\left | -2-1 \right |=\left | 2(-2)+1\right | 

           \left |-3\right |=\left |-3\right |

                  3 =  3 เป็นจริง

ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ \left | x-1 \right |=  \left | 2x+1 \right |  คือ \left\{-2,0\right \}

อสมการค่าสัมบูรณ์ของพหุนามตัวแปรเดียว

เราได้ลองแก้สมการค่าสัมบูรณ์ไปเป็นที่เรียบร้อยแล้ว จะเห็นได้ว่า วิธีการแก้สมการค่าสัมบูรณ์นั่นมีความแตกต่างจากการแก้สมการที่เราเคยเจอมา ที่นี้เราก็จะมาดูกันว่า การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์มีความแตกต่างกับการแก้อสมการทั่วไป อย่างไรบ้าง

การแก้อสมการในรูปค่าสัมบูรณ์

ทฤษฎีบท
ให้ a เป็นจำนวนจริงบวก

  1. \left | x\right |< a ก็ต่อเมื่อ -a<x<a
  2. \left | x\right |\leq a ก็ต่อเมื่อ -a\leq x\leq a
  3. \left | x\right |>a ก็ต่อเมื่อ x<-a หรือ x>a
  4. \left | x\right |\geq a ก็ต่อเมื่อ x\leq -a หรือ x\geq a

เพื่อเพิ่มความเข้าใจในทฤษฎีบท เราลองมาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 18 

จงหาเซตคำตอบของอสมการ \left | 2x+3 \right |<9 

วิธีทำ

 จากทฤษฎีบทจะได้ว่า   

-9 < 2x+3  < 9 

-9-3 < 2x+3-3 < 9-3

 -12 < 2x  < 6 

 -6   < x  < 3

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการ  คือ  \left \{ x | -6< x< 3 \right \} หรือ (-6,3) 

นอกจากอสมการที่มีจำนวนเต็มแล้ว เราจะมาดูอสมการที่มีพหุนามว่ามีวิธีแก้โจทย์อย่างไร

ตัวอย่างที่ 19

จงหาเซตคำตอบของอสมการ \left | x+1 \right |>x-3 

แนวคิด เราจะพิจารณาในกรณีที่ x+1\geq 0 และ x+1<0 

วิธีทำ

กรณีที่ 1

x+1\geq 0 นั่นคือ x\geq -1 

จะได้ x+1 > x-3 

          1 > -3 

แสดงว่า x สามารถเป็นจำนวนจริงใดก็ได้ หรือ x\in \mathbb{R}\quad

ดังนั้น ค่า x ที่สอดคล้อง คือ  x\geq -1 และ x\in \mathbb{R}\quad 

นั่นคือ  x\geq -1 หรือ\left [ -1,\infty  \right ) 

กรณีที่ 2

x+1<0  นั่นคือ  x<-1  

จะได้ -(x+1) > x-3

               -x-1 > x-3 

                     -2x > -2 

                            x < 1 

ดังนั้น ค่า x ที่สอดคล้อง คือ x<-1 และ x<1

นั่นคือ  x< -1 หรือ \left ( -\infty ,-1 \right )

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการ คือ \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left [ -1,\infty  \right ) หรือ \mathbb{R}

จะเห็นได้ชัดเจนเลยว่า การตรวจคำตอบเป็นสิ่งสำคัญ หลังจากที่เราได้คำตอบมาแล้ว ก็ยังไม่สามารถตอบได้ทันที เราต้องนำเงื่อนไขที่กำหนดไว้มาพิจารณาร่วมด้วยเพื่อเป็นการตรวจสอบความถูกต้องนั่นเอง ในตัวอย่างถัดไปเราจะมาดูอสมการค่าสัมบูรณ์ ที่ทั้งสองข้างของสมการอยู่ในรูปค่าสัมบูรณ์กันว่าทำอย่างไร 

ตัวอย่างที่ 20

จงหาเซตคำตอบของอสมการ \left | x \right |> \left | x-1 \right | 

แนวคิด เราจะใช้วิธียกกำลังสองทั้งสองข้างของอสมการ เพื่อปลดเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ออกนั่นเอง

วิธีทำ

เนื่องจาก \left | x \right |>0 และ \left | x-1 \right |>0

จะได้ \left | x \right |^2>\left | x-1 \right |^2 

x^2>(x-1)^2 

x^2>x^2-2x+1  

2x>1

x>\frac{1}{2}

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการ คือ\left ( \frac{1}{2} ,\infty \right ) 

หลังจากได้อ่านสรุปเนื้อหาและฝึกทำแบบฝึกหัดกันไปบางส่วน หลายคนคงจะเข้าใจเนื้อหาบทจำนวนจริงเพิ่มขึ้นแล้ว
ใช่ไหมม แต่ถ้าใครยังไม่เข้าใจก็เป็นไรน้าา พี่อยากให้น้อง ๆ ค่อย ๆ ทำความเข้าใจเนื้อหาและฝึกทำโจทย์กันบ่อย ๆ ควบคู่ไปด้วยกันน้า จะได้ทำโจทย์คล่องมือมากขึ้น แถมเป็นการทบทวนเนื้อหาไปในตัวด้วย ซึ่งถ้าใครกำลังมองหาโจทย์หรือ
แบบฝึกหัดที่อยากฝึกทำเพิ่มเติม พี่ก็มีให้ดาวน์โหลดข้อสอบจำนวนจริง ม.4 ด้วยน้าา แวะไปดูกันได้เลยย

ส่วนน้อง ๆ ที่คิดว่าการฝึกทำโจทย์อาจจะไม่ช่วยให้เข้าใจมากขึ้นเท่าไร เพราะยังไม่แม่นเนื้อหา หรืออาจมีพื้นฐานจากบทเรียนก่อน ๆ หน้านี้ไม่แข็งแรง พี่แนะนำให้ทวนเนื้อหาให้แม่นก่อนน้า แล้วค่อยมาทำโจทย์เพื่อทบทวนความเข้าใจของตัวเอง

แต่ถ้าใครรู้สึกว่าทบทวนเองคงไม่ไหว อยากตัวช่วยเพิ่มเติมพี่ก็มีคอร์สมาแนะนำด้วยยยย เป็นคอร์สเสริมเกรดคณิตม.ปลาย ที่น้อง ๆ สามารถเลือกจัดแพ็กเองได้ โดยในคอร์ส พี่จะปูพื้นฐาน สอนเนื้อหาละเอียด อิงตามหลักสูตร สสวท. ปีล่าสุด และพาตะลุยโจทย์ไต่ระดับตั้งแต่ข้อง่าย ๆ ไปจนถึงข้อสอบแข่งขันเลย แถมตอนนี้มีโปรโมชันลดสูงสุด 35% อยู่ด้วย ใครสนใจ คลิก ไปดูรายละเอียดก่อนได้น้าา

ดูคลิปติวเรื่อง "จำนวนจริง ม.4"

ติดตามคลิปติวฟรีอื่น ๆ จากพี่ปั้น ได้ทาง YouTube Channel : SmartMathPro

บทความ แนะนำ

บทความ แนะนำ

สรุปเนื้อหาคณิต เซต ม.4 พร้อมแจกฟรีเช็กลิสต์
เซต (Set) คืออะไร สรุปเนื้อหาเซต ม.4 พร้อมโจทย์และเฉลย
สรุปเนื้อหาคณิต "ตรรกศาสตร์" ม.4
ตรรกศาสตร์ ม.4 สรุปครบทุกเนื้อหาพร้อมโจทย์ตรรกศาสตร์และวิธีทำ - SmartMathPro
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5
คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 เทอม 2 เรียนอะไร? สรุปครบทั้งพื้นฐานและเพิ่มเติม
สรุปเนื้อหาคณิต ม.6 เรียนอะไรบ้าง
คณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1 เทอม 2 คณิตพื้นฐานและเพิ่มเติม เรียนอะไรบ้าง?
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ม.4 ม.5 ม.6 ต้องเรียนอะไรบ้าง
คณิตศาสตร์ ม.ปลาย (ม.4 ม.5 ม.6) หลักสูตรใหม่ เรียนเรื่องอะไรบ้าง ?

สำหรับน้อง ๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม ได้ที่ 

Line : @smartmathpronews  รวมถึงข่าวสารต่าง ๆ อัปเดตอย่างเรียลไทม์

FB : Pan SmartMathPro ติวคณิต By พี่ปั้น 

IG : pan_smartmathpro

Twitter : @PanSmartMathPro 

Tiktok : @pan_smartmathpro

Share