เซต (Set) คืออะไร สรุปเนื้อหาเซต ม.4 พร้อมโจทย์และเฉลย

มีใครรู้บ้างมั้ยว่า บทเซตที่เป็นเนื้อหาแรกของคณิตม.4 ถ้าอิงเนื้อหาตามหลักสูตร สสวท. เนี่ย เป็นพื้นฐานให้กับหลายบทในคณิตม.ปลาย เลยน้า ซึ่งพี่แนะนำว่าน้อง ๆ ม.4 ควรจะต้องเก็บพื้นฐานเรื่องนี้ให้แม่น เพื่อที่จะต่อยอดในบทอื่นได้ แต่ถ้าใครลองอ่านจากเนื้อหาในบทเรียนแล้วยังไม่เข้าใจ ก็ไม่ต้องกังวลไป

เพราะวันนี้พี่สรุปเนื้อหาพื้นฐานพร้อมตัวอย่างโจทย์และคลิปติวเพื่อให้น้อง ๆ ได้เข้าใจเนื้อหามากขึ้น ที่สำคัญ คือ ท้ายบทความพี่มีแจกเช็กลิสต์จุดระวังพลาดสำหรับเรื่องเซตให้ด้วยน้าาา ถ้าใครพร้อมแล้ว ไปดูกันเลยย > <

สนใจหัวข้อไหน ... กดอ่านเลย

เซต ม.4

เซต (Set) คืออะไร ?

เซต คือ กลุ่มของสิ่งต่าง ๆ ที่สนใจ โดยเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดจะสามารถบอกได้แน่นอน ว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม มักใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวใหญ่ในการกล่าวถึงเซต เช่น กลุ่มของประเทศในเอเชีย

ตัวอย่างเซต เช่น เซตของประเทศในเอเชียตะวันออกเฉียงใต้
ตัวอย่างของสิ่งที่ไม่ใช่เซต เช่น เซตของคนหน้าตาดี (เพราะไม่สามารถบอกได้แน่ชัดว่าแต่ละคนอยู่หรือไม่อยู่ในกลุ่มนี้)

สมาชิก คือ สิ่งที่อยู่ในเซต โดยใช้สัญลักษณ์ ∈ แทนคำว่า “เป็นสมาชิก” หรือ “อยู่ใน” เช่น ถ้า 7 เป็นสมาชิกของเซต $A$ จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 7 ∈ $A$

วิธีการเขียนเซตรูปแบบต่าง ๆ

การเขียนเซต เราจะสามารถเขียนได้ 2 รูปแบบ ได้แก่

แบบแจกแจงสมาชิก เขียนสมาชิกทุกตัวของเซต โดยใช้ { } ครอบสมาชิกของเซตทั้งหมด และใช้สัญลักษณ์ , เพื่อแยกสมาชิกแต่ละตัว เช่น {ม่วง, คราม, น้ำเงิน, เขียว, เหลือง, แสด, แดง}
แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก ใช้ตัวแปรแทนสมาชิกแล้วบรรยายสมบัติหรือเงื่อนไข เช่น { $x$ | $x$ คือสีที่เป็น
องค์ประกอบของสีรุ้ง}

เซตมีกี่ชนิด ?

เซตจะถูกแบ่งเป็น 2 ชนิด คือ เซตจำกัดและเซตอนันต์ โดยจะมีความแตกต่างกัน ดังนี้

เซตจำกัด

เซตที่มีจำนวนสมาชิกเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก (บอกจำนวนได้) เช่น $A$ = {1, 2, 3, 4} ก็คือ เซต $A$ มีสมาชิกทั้งหมด 4 ตัว นั้นก็คือบอกจำนวนได้ จึงเป็นเซตจำกัด

เซตอนันต์

เซตอนันต์ จะตรงข้ามกับ เซตจำกัด หรือเรียกว่า เป็นเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน เราจะไม่สามารถระบุจำนวนของสมาชิกได้ เช่น $Q$ = {1, 2, 3, …} จะเห็นว่า เซต $Q$ เราไม่สามารถระบุได้ว่า สมาชิกตัวสุดท้ายคืออะไร และมีจำนวนสมาชิกทั้งหมดเท่าไหร่ นั่นทำให้ เซต $Q$ เป็นเซตอนันต์นั่นเอง

จำนวนสมาชิกของเซต

ใช้สัญลักษณ์ $n(A)$ แทนจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด $A$

ถ้า $A$ = {1, $b$ , ขนมปัง} จะได้ว่า $n(A)$ = 3 หากในเซตมีสมาชิกซ้ำกัน จะนับสมาชิกที่ซ้ำรวมเป็นตัวเดียว

เซตว่าง

คือ เซต ที่ไม่มีสมาชิก โดยใช้สัญลักษณ์ { } หรือ $\varnothing$ แทนเซตว่าง เช่น เซตของจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่า 0

เอกภพสัมพัทธ์

ในการเขียนเซตจะต้องกำหนดเขตที่บ่งบอกถึงขอบเขตของสิ่งที่จะพิจารณา เรียกเซตกำหนดเขตนี้ว่า เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) ซึ่งมักเขียนแทนด้วย $U$

สำหรับเอกภพสัมพัทธ์ที่พบบ่อย เช่น

ℕ คือ เซต ของจำนวนนับ หรือ จำนวนเต็มบวก

ℤ คือ เซตของจำนวนเต็ม

ℝ คือ เซตของจำนวนจริง

เซตที่เท่ากัน

เซต $A$ = $B$ หมายความว่า เซต $A$ และเซต $B$ มีสมาชิกทุกตัวในเซตทั้งสองเหมือนกัน

สับเซต

เซต $A$ เป็นสับเซตของ $B$ ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต $A$ เป็นสมาชิกของ $B$ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $A$ ⊂ $B$

ตัวอย่างที่ 1

ให้ $A$ = {1, $a$ } จะได้ว่า สับเซตทั้งหมดของ $A$ คือ $\varnothing$ , {1}, { $a$ }, {1, $a$ }

โดยมีสมบัติของสับเซตที่น่าสนใจคือ

$\varnothing$ เป็นสับเซตของทุกเซต
$A$ เป็นสับเซตของ $A$
ถ้าเซต $A$ มีสมาชิก $n$ ตัว จะได้ว่า $A$ มีสับเซตทั้งหมด 2 $^n$ ตัว

เพาเวอร์เซต

เรียกเซตของสับเซตทั้งหมดของเซต $A$ ว่า เพาเวอร์เซต (Power Set) ของเซต $A$ เขียนแทนด้วย $P(A)$

ตัวอย่างที่ 2

ให้ $A$ = {1, $a$ } จะได้ว่า $P(A)$ = { $\varnothing$ , {1}, { $a$ }, {1, $a$ }}

แผนภาพเวนน์

แผนภาพเวนน์เป็นการแสดงเซตเป็นภาพ ซึ่งช่วยให้เห็นภาพความสัมพันธ์ระหว่างเซต และใช้การแก้ปัญหาเรื่องเซต
ได้ง่ายขึ้น

ตัวอย่างที่ 3

ให้ 𝒰 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, $A$ = {1, 5, 6}, $B$ = {2, 4, 6} สามารถเขียนเป็นแผนภาพเวนน์ ดังรูป

การดำเนินการของเซต

อินเตอร์เซกชัน : $A\cap B=\{ x|x\in A$ และ $x\in B \}$ อยู่ทั้งในเซต $A$ และเซต $B$

ยูเนียน : $A\cup B =\{ x|x\in A$ และ $x\in B \}$ อยู่ในเซต $A$ หรือ เซต $B$ หรือทั้งคู่ก็ได้

คอมพลีเมนต์ : $A$ ′ $=\{ x|x\in U$ และ $x\notin A \}$ ไม่อยู่ในเซต $A$ (แต่ยังอยู่ใน $U$ นะ)

ผลต่างระหว่างเซต : $A-B= \{ x|x\in A$ และ $x\notin B \}$ อยู่ในเซต $A$ แต่ไม่อยู่ในเซต $B$

ตัวอย่างที่ 4

ให้ $U$ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, $A$ = {1, 5, 6}, $B$ = {2, 4, 6} จะได้ว่า

$A\cap B$ = {6}
$A\cup B$ = {1, 2, 4, 5, 6}
$A$ – $B$ = {1, 5}
$B$ – $A$ = {2, 4}
$A$ ′ = {2, 3, 4}
$B$ ′ = {1, 3, 5}

สมบัติของการดำเนินการของเซต

การแก้ปัญหาโดยใช้เซต

มักใช้แผนภาพเวนน์มาใช้ร่วมกับสูตรจำนวนสมาชิก

สูตรจำนวนสมาชิกของเซต

สำหรับ 2 เซต (แผนภาพเซต 2 วง)
$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$

สำหรับ 3 เซต (แผนภาพเซต 3 วง
$n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)$

การแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้เซต

ตัวอย่างที่ 5 จากการสำรวจนักเรียนจำนวน 40 คน เกี่ยวกับการเลี้ยงสัตว์ 3 ชนิด ได้แก่ แมว สุนัข และนก
ได้ผลสำรวจดังนี้

15 คน เลี้ยงแมว
17 คน เลี้ยงสุนัข
12 คน เลี้ยงนก
7 คน เลี้ยงแมวและสุนัข
4 คน เลี้ยงแมวและนก
5 คน เลี้ยงสุนัขและนก
และ 3 คนที่เลี้ยงสัตว์ครบทั้ง 3 ชนิด

จากข้อมูลดังกล่าว จงตอบคำถามต่อไปนี้

มีนักเรียนกี่คนที่เลี้ยงสัตว์เหล่านี้อย่างน้อย 1 ชนิด
มีนักเรียนกี่คนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้เลย

วิธีทำ ในข้อนี้ เราจะนำเซตมาใช้แก้ปัญหา โดยเราจะกำหนดให้

$A$ แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงแมว $n(A)$ = 15

$B$ แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงสุนัข $n(B)$ = 17

$C$ แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงนก $n(C)$ = 12

จากการกำหนดเซตข้างต้น ทำให้กลุ่มอื่น ๆ ในโจทย์ แทนด้วยเซตที่เกิดจากการดำเนินการระหว่างเซต ดังนี้

$A\cap B$ แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงแมวและสุนัข $n(A\cap B)=7$

$A\cap C$ แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงแมวและนก $n(A\cap C)=4$

$B\cap C$ แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงสุนัขและนก $n(B\cap C)=5$

และ $A\cap B\cap C$ แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงสัตว์ทั้ง 3 ชนิด $n(A\cap B\cap C)=3$

1.) กลุ่มของคนที่เลี้ยงสัตว์เหล่านี้อย่างน้อย 1 ชนิด (เลี้ยงแมว หรือสุนัข หรือนก โดยจะเลี้ยงหลายชนิดก็ได้)

แทนด้วยเซต $A\cup B\cup C$

จากสูตร 3 เซต $n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)$

จะได้ว่า $n(A\cup B\cup C)=15+17+12-7-4-5+3=31$

นั่นคือ มีนักเรียนที่เลี้ยงสัตว์เหล่านี้อย่างน้อย 1 ชนิด จำนวน 31 คน

ตอบ 31 คน

2.) กลุ่มของคนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้เลย แทนด้วยเซต $(A\cup B\cup C)$ ′

แต่เพื่อความง่าย สามารถมองได้ว่า

กลุ่มของคนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้เลย ตรงข้ามกับ กลุ่มของคนที่เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้อย่างน้อย 1 ชนิด

เนื่องจาก มีนักเรียนทั้งหมด 40 คน เป็นนักเรียนที่เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้อย่างน้อย 1 ชนิด เป็นจำนวน 31 คน

ดังนั้น จะมีนักเรียนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้เลย จำนวน 40 – 31 = 9 คน

ตอบ 9 คน

หากสร้างแผนภาพเวนน์เพื่อแสดงจำนวนของนักเรียนแต่ละกลุ่มย่อย จะได้ผลลัพธ์เป็นดังนี้

เป็นยังไงบ้างกับจากตัวอย่างโจทย์ที่พี่ยกมาให้น้อง ๆ ทั้งเนื้อหาและตัวอย่างโจทย์ คิดว่าน่าจะช่วยให้ทุกคนเข้าใจได้ในระดับหนึ่งเลยถูกมั้ยย แต่ถ้าใครอยากเก่งขึ้น พี่ก็แนะนำให้น้อง ๆ ลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัด เซต ม.4 จากคลังข้อสอบมาฝึกทำเพิ่มจะดีกว่าน้าา เพราะการฝึกทำโจทย์จะช่วยทบทวนความเข้าใจของตัวเองด้วยนั่นเองง

ดูคลิปติวเรื่อง "เซต"

รวมคลิปติว เซต ม.4

เซต (ปูพื้นฐาน)

เซต (สรุปเนื้อหา)

ติดตามคลิปติวฟรีอื่น ๆ จากพี่ปั้น ได้ทาง YouTube Channel : SmartMathPro

อ่านมาจนถึงตรงนี้ บางคนอาจจะเริ่มรู้สึกแล้วใช่ไหมว่า เนื้อหาคณิต ม.4 เรื่องเซตก็ไม่ได้ยากอย่างที่คิดเลยย ซึ่งน้อง ๆ จะเก่งเรื่องนี้ขึ้นได้อีกน้า ถ้าทบทวนเนื้อหาและฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ แต่ถ้าใครยังกังวล กลัวว่าถ้าทบทวนเองแล้วจะไม่เข้าใจ จนทำให้เรียนบทอื่นต่อไม่ได้ พี่ก็มีคอร์สเสริมเกรดคณิต ม.ปลายมาแนะนำด้วยย เป็นคอร์สของพี่เอง > < ในคอร์สนอกจากจะสอนเนื้อหา อิงตามหลักสูตร สสวท. แบบละเอียดมาก แล้วยังพาตะลุยโจทย์ / ข้อสอบ เริ่มจากง่ายไปจนถึงระดับข้อสอบแข่งขันเลย ใครที่พื้นฐานยังไม่แน่นก็เรียนได้สบายมากก แถมถ้าแพ็กไม่ตรงกับที่โรงเรียนสอน ก็สามารถเลือกคอร์สเองได้ พร้อมส่วนลดสูงสุดถึง 35% ใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติมก็ คลิก ได้เลย

สุดท้ายพี่ก็อยากบอกกับทุกคนว่า ในช่วงแรก ๆ ถ้าใครเจอเนื้อหาที่ไม่เข้าใจ ก็ไม่อยากให้กังวลมากเกินไปน้าา แนะนำว่าเน้นทำความเข้าใจพื้นฐานของบทนั้นให้แม่นก่อน เพราะถ้าทุกคนมีพื้นฐานที่แข็งแรง ก็จะช่วยก็จะช่วยต่อยอดในบทอื่น ๆ ได้เองอย่างที่พี่บอกไว้ตอนแรกเลย หรือจะดาวน์โหลดเอกสารรวม 10 จุดระวังเรื่อง เซต เอาไว้ทบทวนก็ได้น้า จะได้เข้าใจยิ่งขึ้น แล้วก็ค่อยฝึก ๆ ไป พี่เชื่อว่าทุกคนทำได้แน่นอนน พี่เป็นกำลังใจให้ทุกคนเลยย

บทความ แนะนำ

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ม.4 ม.5 ม.6 ต้องเรียนอะไรบ้าง

คณิตศาสตร์ ม.ปลาย (ม.4 ม.5 ม.6) หลักสูตรใหม่ เรียนเรื่องอะไรบ้าง ?

สรุปคณิตศาสตร์ ม.4 พื้นฐานและเพิ่มเติมต้องเรียนอะไรบ้าง

คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1 และเทอม 2 เรียนอะไรบ้าง ? สรุปครบทั้งคณิตพื้นฐานและเพิ่มเติม

ตรรกศาสตร์ ม.4 สรุปครบทุกเนื้อหาพร้อมโจทย์ตรรกศาสตร์และวิธีทำ – SmartMathPro

สรุปเนื้อหาจำนวนจริง ม.4 เรียนเรื่องอะไรบ้าง

จำนวนจริง ม.4 สรุปครบม้วนเดียวจบ พร้อมแจกโจทย์จำนวนจริงและวิธีทำ

สรุปความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ม.4 แจกโจทย์ฟรี

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ม.4 สรุปเนื้อหาพร้อมแจกโจทย์ให้ฝึกทำ !