เซต (Set) คืออะไร สรุปเนื้อหาเซต ม.4 พร้อมโจทย์และเฉลย

สรุปเนื้อหาคณิต เซต ม.4 พร้อมแจกฟรีเช็กลิสต์

สวัสดีน้องๆ ทุกคนน้าา วันนี้พี่ๆ SMP จะมาแจกสรุปเนื้อหา “เซต” ใน คณิต ม.4 และยังเป็นบทเรียนแรกที่น้องต้องเจอสำหรับคณิตม.ปลาย (อิงตามหลักสูตร สสวท.) อีกด้วย โดยจะพูดถึงความรู้พื้นฐานที่น้องๆ ควรรู้ เช่น ความหมายของเซต แผนภาพเวนน์ และมีตัวอย่างโจทย์ปัญหาให้น้องๆ ได้ดูกัน ที่สำคัญ คือ พี่มีแจกเช็กลิสต์จุดระวังพลาดสำหรับเรื่องเซตให้ด้วยน้าาา ถ้าใครพร้อมแล้ว ไปอ่านบทความกันเลยย > <

เซต คือ กลุ่มของสิ่งต่างๆ ที่สนใจ โดยเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดจะสามารถบอกได้แน่นอน ว่าสิ่งใดอยู่กลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม มักใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวใหญ่ในการกล่าวถึงเซต เช่น กลุ่มของประเทศในเอเชีย

  • ตัวอย่างเซต เช่น  เซตของประเทศในเอเชียตะวันออกเฉียงใต้
  • ตัวอย่างของสิ่งที่ไม่ใช่เซต เช่น เซตของคนหน้าตาดี (เพราะไม่สามารถบอกได้แน่ชัดว่าแต่ละคนอยู่หรือไม่อยู่ในกลุ่มนี้)

สมาชิก คือ สิ่งที่อยู่ในเซต โดยใช้สัญลักษณ์ ∈ แทนการเป็นสมาชิกของเซต

  • ตัวอย่าง ถ้า 7 เป็นสมาชิกของเซต A จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 7 ∈ A

วิธีการเขียนเซตรูปแบบต่างๆ

การเขียนเซต เราจะสามารถเขียนได้ 2 รูปแบบ ได้แก่

  1. แบบแจกแจงสมาชิก เขียนสมาชิกทุกตัวของเซต โดยใช้ { } ครอบสมาชิกของเซตทั้งหมด และใช้, เพื่อแยกสมาชิกแต่ละตัว เช่น {ม่วง, คราม, น้ำเงิน, เขียว, เหลือง, แสด, แดง}
  2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก ใช้ตัวแปรแทนสมาชิกแล้วบรรยายสมบัติหรือเงื่อนไข เช่น {x | x คือสีที่เป็นองค์ประกอบของสีรุ้ง}

เซต (Set) มีกี่ชนิด ?

เซตจะถูกแบ่งเป็น 2 ชนิด คือ เซตจำกัดและเซตอนันต์ โดยจะมีความแตกต่างกันตามวิธีการแยกแยะดังนี้

เซตจำกัด

เซตที่มีจำนวนสมาชิกเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก (บอกจำนวนได้) เช่น A = {1, 2, 3, 4} ก็คือ เซต A มีสมาชิกทั้งหมด 4 ตัว นั้นก็คือบอกจำนวนได้ จึงเป็นเซตจำกัด

เซตอนันต์

เซตอนันต์ จะตรงข้ามกับ เซตจำกัด หรือเรียกว่า เป็นเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน เราจะไม่สามารถระบุจำนวนของสมาชิกได้ เช่น Q = {1, 2, 3, …} จะเห็นว่า เซต Q เราไม่สามารถระบุได้ว่า สมาชิกตัวสุดท้ายคืออะไร และสุดท้ายมีจำนวนสมาชิกเท่าไหร่ นั่นทำให้ เซต Q เป็นเซตอนันต์นั่นเอง

จำนวนสมาชิกของเซต

ใช้สัญลักษณ์ n(A) แทนสมาชิกของเซตจำกัด A 

  • ตัวอย่าง ให้ A = {1, b, ขนมปัง} จะได้ว่า n(A) = 3
  • หากในเซตมีสมาชิกซ้ำกัน จะนับสมาชิกที่ซ้ำรวมเป็นตัวเดียว

เซตว่าง คืออะไร หน้าตาเป็นอย่างไร ?

คือ เซต ที่ไม่มีสมาชิก โดยใช้สัญลักษณ์ { } หรือ ∅ แทนเซตว่าง เช่น เซตของจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่า 0

เอกภพสัมพัทธ์

ในการเขียนเซตจะต้องกำหนดเขตที่บ่งบอกถึงขอบเขตของสิ่งที่จะพิจารณา เรียกเซตกำหนดเขตนี้ว่า เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) ซึ่งมักเขียนแทนด้วย 𝒰 

สำหรับเอกภพสัมพัทธ์ที่พบบ่อย เช่น

ℕ คือ เซต ของจำนวนนับ หรือ จำนวนเต็มบวก

ℤ คือ เซตของจำนวนเต็ม

ℝ คือ เซตของจำนวนจริง

เซตที่เท่ากัน

A = B หมายความว่า เซต A และเซต B มีสมาชิกทุกตัวในเซตทั้งสองเหมือนกัน

สับเซต

เซต A เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A ⊂ B 

  • ตัวอย่าง ให้ A = {1, a}
    จะได้ว่า สับเซตทั้งหมดของ A คือ ∅, {1}, {a}, {1, a}

โดยมีสมบัติของสับเซตที่น่าสนใจคือ

  • ∅ เป็นสับเซตของทุกเซต
  • A เป็นสับเซตของ A
  • ถ้าเซต A มีสมาชิก n ตัว จะได้ว่า A มีสับเซตทั้งหมด 2n ตัว

เพาเวอร์เซต

เรียกเซตของสับเซตทั้งหมดของ A ว่า เพาเวอร์เซต (Power Set) ของ A เขียนแทนด้วย P(A)

  • ตัวอย่าง ให้ A = {1, a}
  • จะได้ว่า P(A) = {∅, {1}, {a}, {1, a}}
สมบัติของเพาเวอร์เซต ม.4

แผนภาพเวนน์

แผนภาพเวนน์เป็นการแสดงเซตเป็นภาพ ซึ่งช่วยให้เห็นภาพความสัมพันธ์ระหว่างเซต และใช้การแก้ปัญหาเรื่องเซตได้ง่ายขึ้น

ตัวอย่าง  ให้ 𝒰 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 5, 6}, B = {2, 4, 6} สามารถเขียนเป็นแผนภาพเวนน์ ดังรูป

แผนภาพเวนน์ การแสดงเซตเป็นภาพ

การดำเนินการระหว่างเซต

การดำเนินการของเซต

  • อินเตอร์เซกชัน : A ∩ B = {x | x ∈ A และ x ∈ B} อยู่ทั้งในเซต A และเซต B
อินเตอร์เซกชัน เรื่อง เซต ม.4
  • ยูเนียน : A ∪ B = {x | x ∈ A และ x ∈ B} อยู่ในเซต A หรือ เซต B หรือทั้งคู่ก็ได้
ยูเนียน เรื่อง เซต ม.4
  • คอมพลีเมนต์ : A′ = {x | x ∈ 𝒰 และ x ∉ A} ไม่อยู่ในเซต A (แต่ยังอยู่ใน 𝒰 นะ) 
คอมพลีเมนต์ เรื่อง เซต ม.4
  • ผลต่างระหว่างเซต : A – B = {x | x ∈ A และ x ∉ B} อยู่ในเซต A แต่ไม่อยู่ในเซต B
ผลต่างระหว่างเซต

ตัวอย่าง 

ให้ 𝒰 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 5, 6}, B = {2, 4, 6} จะได้ว่า

  1. A ∩ B = {6}
  2. A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6}
  3. A – B = {1, 5}
  4. B – A = {2, 4}
  5. A′ = {2, 3, 4}
  6. B′ = {1, 3, 5}

เก็บเนื้อหาคณิต ม.4 พร้อมรับเกรดปังๆ เปิดเทอมนี้ !

น้องม.4 คนไหนที่กำลังมองหาคอร์สติวเสริมเกรด แนะนำคอร์สของ SmartMathPro เลย เพราะเริ่มสอนตั้งแต่พื้นฐาน อิงเนื้อหาตามหลักสูตร สสวท. พร้อมตะลุยโจทย์อีกมากมายให้ซ้อมมือก่อนสอบจริงที่โรงเรียน

สมัครคอร์ส คลิกเลย

สมบัติของการดำเนินการระหว่าง เซต

สมบัติของการดำเนินการระหว่างเซต เรื่องเซต ม.4

การแก้ปัญหาโดยใช้เซต

มักใช้แผนภาพเวนน์มาใช้ร่วมกับสูตรจำนวนสมาชิก

สูตรจำนวนสมาชิกของเซต

  • สำหรับ 2 เซต (แผนภาพเซต 2 วง)

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

  • สำหรับ 3 เซต (แผนภาพเซต 3 วง)

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

การแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้เซต

ตัวอย่าง  จากการสำรวจนักเรียนจำนวน 40 คนเกี่ยวกับการเลี้ยงสัตว์ 3 ชนิด ได้แก่ แมว สุนัข และนก ได้ผลสำรวจดังนี้

  • 15 คน เลี้ยงแมว
  • 17 คน เลี้ยงสุนัข
  • 12 คน เลี้ยงนก
  • 7 คน เลี้ยงแมวและสุนัข
  • 4 คน เลี้ยงแมวและนก
  • 5 คน เลี้ยงสุนัขและนก
  • และมีนักเรียน 3 คนที่เลี้ยงสัตว์ครบทั้ง 3 ชนิด

จากข้อมูลดังกล่าว จงตอบคำถามต่อไปนี้

  1. มีนักเรียนกี่คนที่เลี้ยงสัตว์เหล่านี้อย่างน้อย 1 ชนิด
  2. มีนักเรียนกี่คนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้เลย

วิธีทำ  ในข้อนี้ เราจะนำเซตมาใช้แก้ปัญหา โดยเราจะกำหนดให้

A แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงแมว  n(A) = 15

B แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงสุนัข  n(B) = 17

C แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงนก     n(C) = 12

จากการกำหนดเซตข้างต้น ทำให้กลุ่มอื่นๆ ในโจทย์ แทนด้วยเซตที่เกิดจาก การดำเนินการระหว่างเซต ดังนี้

A ∩ B   แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงแมวและสุนัข  n(A ∩ B) = 7

A ∩ C  แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงแมวและนก     n(A ∩ C) = 4

B ∩ C  แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงสุนัขและนก    n(B ∩ C) = 5

และ A ∩ B ∩ C  แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงสัตว์ทั้ง 3 ชนิด n(A ∩ B ∩ C) = 3  

1.) กลุ่มของคนที่เลี้ยงสัตว์เหล่านี้อย่างน้อย 1 ชนิด (เลี้ยงแมว หรือสุนัข หรือนก โดยจะเลี้ยงหลายชนิดก็ได้) 

แทนด้วยเซต A ∪ B ∪ C

จากสูตร 3 เซต n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

จะได้ว่า n(A ∪ B ∪ C) = 15 + 17 + 12 – 7 – 4 – 5 + 3 = 31

นั่นคือ มีนักเรียนที่เลี้ยงสัตว์เหล่านี้อย่างน้อย 1 ชนิด จำนวน 31 คน

ตอบ31 คน

2.) กลุ่มของคนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้เลย แทนด้วยเซต (A ∪ B ∪ C)′

แต่เพื่อความง่าย สามารถมองได้ว่า

กลุ่มของคนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้เลย ตรงข้ามกับ กลุ่มของคนที่เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้อย่างน้อย 1 ชนิด

เนื่องจาก มีนักเรียนทั้งหมด 40 คน เป็นนักเรียนที่เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้อย่างน้อย 1 ชนิด เป็นจำนวน 31 คน

ดังนั้น จะมีนักเรียนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้เลย จำนวน 40 – 31 = 9 คน

ตอบ 9 คน

หากสร้างแผนภาพเวนน์เพื่อแสดงจำนวนของนักเรียนแต่ละกลุ่มย่อย จะได้ผลลัพธ์เป็นดังนี้ 

เซต ม.4 การสร้างแผนภาพเวนน์

ดูคลิปติวเรื่อง "เซต"

ติดตามคลิปติวฟรีอื่นๆ จากพี่ปั้น ได้ทาง YouTube Channel : SmartMathPro

เนื้อหาที่พวกพี่ๆ เตรียมมาให้วันนี้เป็นยังไงบ้างเอ่ย น้องๆ คนไหนที่กำลังจะขึ้นม.ปลาย หรือกำลังเรียนอยู่ชั้นม.ปลาย เวลาเจอเรื่องที่ไม่เข้าใจก็ไม่ต้องกังวลไปหรอกนะ ! เนื้อหาคณิต ม.4 ไม่ได้ยากอย่างที่คิดเลยย ขอแค่ทบทวนบทเรียนหรือจะลองฝึกทำโจทย์ใน moremath ก็ได้ แล้วเดี๋ยวครั้งหน้าพี่จะเอาสรุปเนื้อหาดีๆ มาแบ่งปันทุกคนอีกนะ รอติดตามได้เล้ยย

แจก เอกสารรวม 10 จุดระวังพลาดเรื่อง เซต ฟรี !

มาดาวน์โหลดเอกสาร รวม 10 จุดระวังพลาดเรื่องเซตกันเถอะ

คลิกเลย

คอร์สเรียน แนะนำ

บทความ แนะนำ

สำหรับน้องๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม ได้ที่ Line : @smartmathpronews

รวมถึงข่าวสารต่างๆ อัปเดตอย่างเรียลไทม์

IG : pan_smartmathpro

Twitter : @PanSmartMathPro

Share