เซต คือ กลุ่มของสิ่งต่างๆ (Element) ที่เราสนใจ โดยเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดจะสามารถบอกได้แน่นอน ว่าสิ่งใดอยู่กลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม
สวัสดีน้องๆ ทุกคนน้าา วันนี้พี่ๆ SMP จะมาแจกสรุปเนื้อหา “เซต” ที่เป็นบทเรียนแรกที่น้องต้องเจอในคณิตม.ปลาย (อิงตามหลักสูตร สสวท.) โดยจะพูดถึงความรู้พื้นฐานที่น้องๆ ควรรู้ เช่น ความหมายของเซต แผนภาพเวนน์ และมีตัวอย่างโจทย์ปัญหาให้น้องๆ ได้ดูกัน ที่สำคัญ คือ พี่มีแจกเช็กลิสต์จุดระวังพลาดสำหรับเรื่องเซตให้ด้วยน้าาา ถ้าใครพร้อมแล้ว ไปอ่านบทความกันเลยย > <
เซต คือ กลุ่มของสิ่งต่างๆ ที่สนใจ โดยเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดจะสามารถบอกได้แน่นอน ว่าสิ่งใดอยู่กลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม มักใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวใหญ่ในการกล่าวถึงเซต เช่น กลุ่มของประเทศในเอชเชีย
- ตัวอย่างเซต เช่น เซตของประเทศในเอเชียตะวันออกเฉียงใต้
- ตัวอย่างของสิ่งที่ไม่ใช่เซต เช่น เซตของคนหน้าตาดี (เพราะไม่สามารถบอกได้แน่ชัดว่าแต่ละคนอยู่หรือไม่อยู่ในกลุ่มนี้)
สมาชิก คือ สิ่งที่อยู่ในเซต โดยใช้สัญลักษณ์ ∈ แทนการเป็นสมาชิกของเซต
- ตัวอย่าง ถ้า 7 เป็นสมาชิกของเซต A จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 7 ∈ A
วิธีการเขียนเซตรูปแบบต่างๆ
การเขียนเซต เราจะสามารถเขียนได้ 2 รูปแบบ ได้แก่
- แบบแจกแจงสมาชิก เขียนสมาชิกทุกตัวของเซต โดยใช้ { } ครอบสมาชิกของเซตทั้งหมด และใช้ , เพื่อแยกสมาชิกแต่ละตัว เช่น {ม่วง, คราม, น้ำเงิน, เขียว, เหลือง, แสด, แดง}
- แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก ใช้ตัวแปรแทนสมาชิกแล้วบรรยายสมบัติหรือเงื่อนไข เช่น {x | x คือสีที่เป็นองค์ประกอบของสีรุ้ง}
เซต (Set) มีกี่ชนิด
เซตจะถูกแบ่งเป็น 2 ชนิด คือ เซตจำกัดและเซตอนันต์ โดยจะมีความแตกต่างกันตามวิธีการแยกแยะดังนี้
เซตจำกัด
เซตที่มีจำนวนสมาชิกเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก (บอกจำนวนได้) เช่น A = {1, 2, 3, 4} ก็คือ เซต A มีสมาชิกทั้งหมด 4 ตัว นั้นก็คือบอกจำนวนได้ จึงเป็นเซตจำกัด
เซตอนันต์
เซตอนันต์ จะตรงข้ามกับ เซตจำกัด หรือเรียกว่า เป็นเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน เราจะไม่สามารถระบุจำนวนของสมาชิกได้ เช่น Q = {1, 2, 3, …} จะเห็นว่า เซต Q เราไม่สามารถระบุได้ว่า สมาชิกตัวสุดท้ายคืออะไร และสุดท้ายมีจำนวนสมาชิกเท่าไหร่ นั่นทำให้ เซต Q เป็นเซตอนันต์นั่นเอง
จำนวนสมาชิกของเซต
ใช้สัญลักษณ์ n(A) แทนสมาชิกของเซตจำกัด A
- ตัวอย่าง ให้ A = {1, b, ขนมปัง} จะได้ว่า n(A) = 3
- หากในเซตมีสมาชิกซ้ำกัน จะนับสมาชิกที่ซ้ำรวมเป็นตัวเดียว
เซตว่าง คืออะไร หน้าตาเป็นอย่างไร
คือ เซต ที่ไม่มีสมาชิก โดยใช้สัญลักษณ์ { } หรือ ∅ แทนเซตว่าง เช่น เซตของจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่า 0
เอกภพสัมพัทธ์
ในการเขียนเซตจะต้องกำหนดเขตที่บ่งบอกถึงขอบเขตของสิ่งที่จะพิจารณา เรียกเซตกำหนดเขตนี้ว่า เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) ซึ่งมักเขียนแทนด้วย 𝒰
สำหรับเอกภพสัมพัทธ์ที่พบบ่อย เช่น
ℕ คือ เซต ของจำนวนนับ หรือ จำนวนเต็มบวก
ℤ คือ เซตของจำนวนเต็ม
ℝ คือ เซตของจำนวนจริง
เซตที่เท่ากัน
A = B หมายความว่า เซต A และเซต B มีสมาชิกทุกตัวในเซตทั้งสองเหมือนกัน
สับเซต
เซต A เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A ⊂ B
- ตัวอย่าง ให้ A = {1, a}
จะได้ว่า สับเซตทั้งหมดของ A คือ ∅, {1}, {a}, {1, a}
โดยมีสมบัติของสับเซตที่น่าสนใจคือ
- ∅ เป็นสับเซตของทุกเซต
- A เป็นสับเซตของ A
- ถ้าเซต A มีสมาชิก n ตัว จะได้ว่า A มีสับเซตทั้งหมด 2n ตัว
เพาเวอร์เซต
เรียกเซตของสับเซตทั้งหมดของ A ว่า เพาเวอร์เซต (Power Set) ของ A เขียนแทนด้วย P(A)
- ตัวอย่าง ให้ A = {1, a}
- จะได้ว่า P(A) = {∅, {1}, {a}, {1, a}}
แผนภาพเวนน์
แผนภาพเวนน์เป็นการแสดงเซตเป็นภาพ ซึ่งช่วยให้เห็นภาพความสัมพันธ์ระหว่างเซต และใช้การแก้ปัญหาเรื่องเซตได้ง่ายขึ้น
ตัวอย่าง ให้ 𝒰 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 5, 6}, B = {2, 4, 6} สามารถเขียนเป็นแผนภาพเวนน์ ดังรูป
การดำเนินการระหว่างเซต
การดำเนินการของเซต
- อินเตอร์เซกชัน : A ∩ B = {x | x ∈ A และ x ∈ B} อยู่ทั้งในเซต A และเซต B
- ยูเนียน : A ∪ B = {x | x ∈ A และ x ∈ B} อยู่ในเซต A หรือ เซต B หรือทั้งคู่ก็ได้
- คอมพลีเมนต์ : A′ = {x | x ∈ 𝒰 และ x ∉ A} ไม่อยู่ในเซต A (แต่ยังอยู่ใน 𝒰 นะ)
- ผลต่างระหว่างเซต : A – B = {x | x ∈ A และ x ∉ B} อยู่ในเซต A แต่ไม่อยู่ในเซต B
ตัวอย่าง
ให้ 𝒰 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 5, 6}, B = {2, 4, 6} จะได้ว่า
- A ∩ B = {6}
- A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6}
- A – B = {1, 5}
- B – A = {2, 4}
- A′ = {2, 3, 4}
- B′ = {1, 3, 5}
สมบัติของการดำเนินการระหว่าง เซต
การแก้ปัญหาโดยใช้เซต
มักใช้แผนภาพเวนน์มาใช้ร่วมกับสูตรจำนวนสมาชิก
สูตรจำนวนสมาชิกของเซต
- สำหรับ 2 เซต (แผนภาพเซต 2 วง)
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
- สำหรับ 3 เซต (แผนภาพเซต 3 วง)
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
การแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้เซต
ตัวอย่าง จากการสำรวจนักเรียนจำนวน 40 คนเกี่ยวกับการเลี้ยงสัตว์ 3 ชนิด ได้แก่ แมว สุนัข และนก ได้ผลสำรวจดังนี้
- 15 คน เลี้ยงแมว
- 17 คน เลี้ยงสุนัข
- 12 คน เลี้ยงนก
- 7 คน เลี้ยงแมวและสุนัข
- 4 คน เลี้ยงแมวและนก
- 5 คน เลี้ยงสุนัขและนก
- และมีนักเรียน 3 คนที่เลี้ยงสัตว์ครบทั้ง 3 ชนิด
จากข้อมูลดังกล่าว จงตอบคำถามต่อไปนี้
- มีนักเรียนกี่คนที่เลี้ยงสัตว์เหล่านี้อย่างน้อย 1 ชนิด
- มีนักเรียนกี่คนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้เลย
วิธีทำ ในข้อนี้ เราจะนำเซตมาใช้แก้ปัญหา โดยเราจะกำหนดให้
A แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงแมว n(A) = 15
B แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงสุนัข n(B) = 17
C แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงนก n(C) = 12
จากการกำหนดเซตข้างต้น ทำให้กลุ่มอื่นๆ ในโจทย์ แทนด้วยเซตที่เกิดจาก การดำเนินการระหว่างเซต ดังนี้
A ∩ B แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงแมวและสุนัข n(A ∩ B) = 7
A ∩ C แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงแมวและนก n(A ∩ C) = 4
B ∩ C แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงสุนัขและนก n(B ∩ C) = 5
และ A ∩ B ∩ C แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงสัตว์ทั้ง 3 ชนิด n(A ∩ B ∩ C) = 3
1.) กลุ่มของคนที่เลี้ยงสัตว์เหล่านี้อย่างน้อย 1 ชนิด (เลี้ยงแมว หรือสุนัข หรือนก โดยจะเลี้ยงหลายชนิดก็ได้)
แทนด้วยเซต A ∪ B ∪ C
จากสูตร 3 เซต n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
จะได้ว่า n(A ∪ B ∪ C) = 15 + 17 + 12 – 7 – 4 – 5 + 3 = 31
นั่นคือ มีนักเรียนที่เลี้ยงสัตว์เหล่านี้อย่างน้อย 1 ชนิด จำนวน 31 คน
ตอบ 31 คน
2.) กลุ่มของคนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้เลย แทนด้วยเซต (A ∪ B ∪ C)′
แต่เพื่อความง่าย สามารถมองได้ว่า
กลุ่มของคนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้เลย ตรงข้ามกับ กลุ่มของคนที่เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้อย่างน้อย 1 ชนิด
เนื่องจาก มีนักเรียนทั้งหมด 40 คน เป็นนักเรียนที่เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้อย่างน้อย 1 ชนิด เป็นจำนวน 31 คน
ดังนั้น จะมีนักเรียนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้เลย จำนวน 40 – 31 = 9 คน
ตอบ 9 คน
หากสร้างแผนภาพเวนน์เพื่อแสดงจำนวนของนักเรียนแต่ละกลุ่มย่อย จะได้ผลลัพธ์เป็นดังนี้
แจกฟรี !! เอกสาร รวม 10 จุดระวังพลาด เรื่อง เซต
สุดท้ายแต่ยังไม่ท้ายสุดสำหรับเนื้อหาบทเซต ซึ่งเป็นบทความที่เหมาะมากสำหรับน้องๆ ที่กำลังจะขึ้นม.4 และอยากเตรียมตัวล่วงหน้า หรือต้องการทบทวนไปพร้อมกับที่โรงเรียน แต่ถ้าใครอยากจัดเต็มมากกว่านี้ สามารถดาวน์โหลดเอกสารรวม 10 จุดระวังพลาดเรื่องเซตได้น้า รับรองว่าอ่านปุ๊บ ไม่มีพลาดอีกต่อไปแน่นอน !!
