เซต คืออะไร สรุปเนื้อหาเซต (Set) พร้อมตัวอย่างข้อสอบคณิต ม.4

เซต คืออะไร สรุปเนื้อหาเซต (Set) พร้อมตัวอย่างข้อสอบคณิต ม.4

เซต คือ กลุ่มของสิ่งต่างๆ (Element) ที่เราสนใจ โดยเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดจะสามารถบอกได้แน่นอน ว่าสิ่งใดอยู่กลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม

สวัสดีน้องๆ ทุกคนน้าา วันนี้พี่ๆ SMP จะมาแจกสรุปเนื้อหา “เซต” ที่เป็นบทเรียนแรกที่น้องต้องเจอในคณิตม.ปลาย (อิงตามหลักสูตร สสวท.) โดยจะพูดถึงความรู้พื้นฐานที่น้องๆ ควรรู้ เช่น ความหมายของเซต แผนภาพเวนน์ และมีตัวอย่างโจทย์ปัญหาให้น้องๆ ได้ดูกัน ที่สำคัญ คือ พี่มีแจกเช็กลิสต์จุดระวังพลาดสำหรับเรื่องเซตให้ด้วยน้าาา ถ้าใครพร้อมแล้ว ไปอ่านบทความกันเลยย > <

เซต คือ กลุ่มของสิ่งต่างๆ ที่สนใจ โดยเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดจะสามารถบอกได้แน่นอน ว่าสิ่งใดอยู่กลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม มักใช้อักษรภาษาอังกฤษตัวใหญ่ในการกล่าวถึงเซต เช่น กลุ่มของประเทศในเอชเชีย

  • ตัวอย่างเซต เช่น  เซตของประเทศในเอเชียตะวันออกเฉียงใต้
  • ตัวอย่างของสิ่งที่ไม่ใช่เซต เช่น เซตของคนหน้าตาดี (เพราะไม่สามารถบอกได้แน่ชัดว่าแต่ละคนอยู่หรือไม่อยู่ในกลุ่มนี้)

สมาชิก คือ สิ่งที่อยู่ในเซต โดยใช้สัญลักษณ์ ∈ แทนการเป็นสมาชิกของเซต

  • ตัวอย่าง ถ้า 7 เป็นสมาชิกของเซต A จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 7 ∈ A

วิธีการเขียนเซตรูปแบบต่างๆ

การเขียนเซต เราจะสามารถเขียนได้ 2 รูปแบบ ได้แก่

  1. แบบแจกแจงสมาชิก เขียนสมาชิกทุกตัวของเซต โดยใช้ { } ครอบสมาชิกของเซตทั้งหมด และใช้ , เพื่อแยกสมาชิกแต่ละตัว เช่น {ม่วง, คราม, น้ำเงิน, เขียว, เหลือง, แสด, แดง}
  2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก ใช้ตัวแปรแทนสมาชิกแล้วบรรยายสมบัติหรือเงื่อนไข เช่น {x | x คือสีที่เป็นองค์ประกอบของสีรุ้ง}

เซต (Set) มีกี่ชนิด

เซตจะถูกแบ่งเป็น 2 ชนิด คือ เซตจำกัดและเซตอนันต์ โดยจะมีความแตกต่างกันตามวิธีการแยกแยะดังนี้

เซตจำกัด

เซตที่มีจำนวนสมาชิกเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก (บอกจำนวนได้) เช่น A = {1, 2, 3, 4} ก็คือ เซต A มีสมาชิกทั้งหมด 4 ตัว นั้นก็คือบอกจำนวนได้ จึงเป็นเซตจำกัด

เซตอนันต์

เซตอนันต์ จะตรงข้ามกับ เซตจำกัด หรือเรียกว่า เป็นเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน เราจะไม่สามารถระบุจำนวนของสมาชิกได้ เช่น Q = {1, 2, 3, …} จะเห็นว่า เซต Q เราไม่สามารถระบุได้ว่า สมาชิกตัวสุดท้ายคืออะไร และสุดท้ายมีจำนวนสมาชิกเท่าไหร่ นั่นทำให้ เซต Q เป็นเซตอนันต์นั่นเอง

จำนวนสมาชิกของเซต

ใช้สัญลักษณ์ n(A) แทนสมาชิกของเซตจำกัด A 

  • ตัวอย่าง ให้ A = {1, b, ขนมปัง} จะได้ว่า n(A) = 3
  • หากในเซตมีสมาชิกซ้ำกัน จะนับสมาชิกที่ซ้ำรวมเป็นตัวเดียว

เซตว่าง คืออะไร หน้าตาเป็นอย่างไร

คือ เซต ที่ไม่มีสมาชิก โดยใช้สัญลักษณ์ { } หรือ ∅ แทนเซตว่าง เช่น เซตของจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่า 0

เอกภพสัมพัทธ์

ในการเขียนเซตจะต้องกำหนดเขตที่บ่งบอกถึงขอบเขตของสิ่งที่จะพิจารณา เรียกเซตกำหนดเขตนี้ว่า เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) ซึ่งมักเขียนแทนด้วย 𝒰 

สำหรับเอกภพสัมพัทธ์ที่พบบ่อย เช่น

ℕ คือ เซต ของจำนวนนับ หรือ จำนวนเต็มบวก

ℤ คือ เซตของจำนวนเต็ม

ℝ คือ เซตของจำนวนจริง

เซตที่เท่ากัน

A = B หมายความว่า เซต A และเซต B มีสมาชิกทุกตัวในเซตทั้งสองเหมือนกัน

สับเซต

เซต A เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A ⊂ B 

  • ตัวอย่าง ให้ A = {1, a}
    จะได้ว่า สับเซตทั้งหมดของ A คือ ∅, {1}, {a}, {1, a}

โดยมีสมบัติของสับเซตที่น่าสนใจคือ

  • ∅ เป็นสับเซตของทุกเซต
  • A เป็นสับเซตของ A
  • ถ้าเซต A มีสมาชิก n ตัว จะได้ว่า A มีสับเซตทั้งหมด 2n ตัว

เพาเวอร์เซต

เรียกเซตของสับเซตทั้งหมดของ A ว่า เพาเวอร์เซต (Power Set) ของ A เขียนแทนด้วย P(A)

  • ตัวอย่าง ให้ A = {1, a}
  • จะได้ว่า P(A) = {∅, {1}, {a}, {1, a}}
เพาเวอร์ เซต (Power Set) ของ A เขียนแทนด้วย P(A)

แผนภาพเวนน์

แผนภาพเวนน์เป็นการแสดงเซตเป็นภาพ ซึ่งช่วยให้เห็นภาพความสัมพันธ์ระหว่างเซต และใช้การแก้ปัญหาเรื่องเซตได้ง่ายขึ้น

ตัวอย่าง  ให้ 𝒰 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 5, 6}, B = {2, 4, 6} สามารถเขียนเป็นแผนภาพเวนน์ ดังรูป

ตัวอย่างแผนภาพเวนน์ เนื้อหาเซค ม.4

การดำเนินการระหว่างเซต

การดำเนินการของเซต

  • อินเตอร์เซกชัน : A ∩ B = {x | x ∈ A และ x ∈ B} อยู่ทั้งในเซต A และเซต B
การอินเตอร์เซกชันของเซต
  • ยูเนียน : A ∪ B = {x | x ∈ A และ x ∈ B} อยู่ในเซต A หรือ เซต B หรือทั้งคู่ก็ได้
การยูเนียน หรือ รวมเซต
  • คอมพลีเมนต์ : A′ = {x | x ∈ 𝒰 และ x ∉ A} ไม่อยู่ในเซต A (แต่ยังอยู่ใน 𝒰 นะ) 
คอมพลีเมนต์ เซต คืออะไร
  • ผลต่างระหว่างเซต : A – B = {x | x ∈ A และ x ∉ B} อยู่ในเซต A แต่ไม่อยู่ในเซต B
ตัวอย่างผลต่างระหว่างเซตเซต

ตัวอย่าง 

ให้ 𝒰 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 5, 6}, B = {2, 4, 6} จะได้ว่า

  1. A ∩ B = {6}
  2. A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 6}
  3. A – B = {1, 5}
  4. B – A = {2, 4}
  5. A′ = {2, 3, 4}
  6. B′ = {1, 3, 5}

สมบัติของการดำเนินการระหว่าง เซต

สมบัติการดำเนินการระหว่างเซต

การแก้ปัญหาโดยใช้เซต

มักใช้แผนภาพเวนน์มาใช้ร่วมกับสูตรจำนวนสมาชิก

สูตรจำนวนสมาชิกของเซต

  • สำหรับ 2 เซต (แผนภาพเซต 2 วง)

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

  • สำหรับ 3 เซต (แผนภาพเซต 3 วง)

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

การแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้เซต

ตัวอย่าง  จากการสำรวจนักเรียนจำนวน 40 คนเกี่ยวกับการเลี้ยงสัตว์ 3 ชนิด ได้แก่ แมว สุนัข และนก ได้ผลสำรวจดังนี้

  • 15 คน เลี้ยงแมว
  • 17 คน เลี้ยงสุนัข
  • 12 คน เลี้ยงนก
  • 7 คน เลี้ยงแมวและสุนัข
  • 4 คน เลี้ยงแมวและนก
  • 5 คน เลี้ยงสุนัขและนก
  • และมีนักเรียน 3 คนที่เลี้ยงสัตว์ครบทั้ง 3 ชนิด

จากข้อมูลดังกล่าว จงตอบคำถามต่อไปนี้

  1. มีนักเรียนกี่คนที่เลี้ยงสัตว์เหล่านี้อย่างน้อย 1 ชนิด
  2. มีนักเรียนกี่คนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้เลย

วิธีทำ  ในข้อนี้ เราจะนำเซตมาใช้แก้ปัญหา โดยเราจะกำหนดให้

A แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงแมว  n(A) = 15

B แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงสุนัข  n(B) = 17

C แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงนก     n(C) = 12

จากการกำหนดเซตข้างต้น ทำให้กลุ่มอื่นๆ ในโจทย์ แทนด้วยเซตที่เกิดจาก การดำเนินการระหว่างเซต ดังนี้

A ∩ B   แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงแมวและสุนัข  n(A ∩ B) = 7

A ∩ C  แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงแมวและนก     n(A ∩ C) = 4

B ∩ C  แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงสุนัขและนก    n(B ∩ C) = 5

และ A ∩ B ∩ C  แทนเซตของนักเรียนที่เลี้ยงสัตว์ทั้ง 3 ชนิด n(A ∩ B ∩ C) = 3  

1.) กลุ่มของคนที่เลี้ยงสัตว์เหล่านี้อย่างน้อย 1 ชนิด (เลี้ยงแมว หรือสุนัข หรือนก โดยจะเลี้ยงหลายชนิดก็ได้) 

แทนด้วยเซต A ∪ B ∪ C

จากสูตร 3 เซต n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

จะได้ว่า n(A ∪ B ∪ C) = 15 + 17 + 12 – 7 – 4 – 5 + 3 = 31

นั่นคือ มีนักเรียนที่เลี้ยงสัตว์เหล่านี้อย่างน้อย 1 ชนิด จำนวน 31 คน

ตอบ 31 คน

2.) กลุ่มของคนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้เลย แทนด้วยเซต (A ∪ B ∪ C)′

แต่เพื่อความง่าย สามารถมองได้ว่า

กลุ่มของคนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้เลย ตรงข้ามกับ กลุ่มของคนที่เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้อย่างน้อย 1 ชนิด

เนื่องจาก มีนักเรียนทั้งหมด 40 คน เป็นนักเรียนที่เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้อย่างน้อย 1 ชนิด เป็นจำนวน 31 คน

ดังนั้น จะมีนักเรียนที่ไม่ได้เลี้ยงสัตว์สามชนิดนี้เลย จำนวน 40 – 31 = 9 คน

ตอบ 9 คน

หากสร้างแผนภาพเวนน์เพื่อแสดงจำนวนของนักเรียนแต่ละกลุ่มย่อย จะได้ผลลัพธ์เป็นดังนี้ 

ตัวอย่างโจทย์ข้อสอบเซต ม.4

แจกฟรี !! เอกสาร รวม 10 จุดระวังพลาด เรื่อง เซต

สุดท้ายแต่ยังไม่ท้ายสุดสำหรับเนื้อหาบทเซต ซึ่งเป็นบทความที่เหมาะมากสำหรับน้องๆ ที่กำลังจะขึ้นม.4 และอยากเตรียมตัวล่วงหน้า หรือต้องการทบทวนไปพร้อมกับที่โรงเรียน แต่ถ้าใครอยากจัดเต็มมากกว่านี้ สามารถดาวน์โหลดเอกสารรวม 10 จุดระวังพลาดเรื่องเซตได้น้า รับรองว่าอ่านปุ๊บ ไม่มีพลาดอีกต่อไปแน่นอน !!

บทความที่ แนะนำ ให้อ่านต่อ