สรุปเนื้อหาคณิต "ตรรกศาสตร์" ม.4

อย่างที่หลายคนรู้กันว่า ตรรกศาสตร์ ที่เราเรียนกันในคณิต ม.4 เทอม 1 เป็นเรื่องเกี่ยวกับการใช้เหตุผล, การพิสูจน์เรื่องต่าง ๆ โดยอาศัยหลักทางคณิตศาสตร์เข้ามาช่วย แต่ถ้าใครไม่คุ้น หรือนึกภาพไม่ออกก็ไม่เป็นไร วันนี้พี่เตรียมสรุปเนื้อหามาให้ทุกคนแล้วว มีตั้งแต่ความหมาย เช่น ประพจน์ คือ, สัจนิรันดร์ คือ, การอ้างเหตุผล คือ และเรื่องอื่น ๆ แถมยังมีตัวอย่างโจทย์พร้อมคลิปติวเรื่องตรรกศาสตร์มาให้ด้วยน้า ถ้าใครอ่านจบและฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ ก็สามารถนำไปใช้สอบได้เลยยย

ประพจน์ (statement) คือ ประโยคหรือข้อความที่เป็น จริง” หรือเท็จ” อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น 

เรียก จริง (True: T ) หรือ เท็จ (False: F) ว่า ค่าความจริง (truth value) ของประพจน์

ตัวอย่างที่ 1  ประโยคหรือข้อความต่อไปนี้เป็นประพจน์หรือไม่ ถ้าเป็นประพจน์จงบอกค่าความจริงของประพจน์

  1. พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก
    ตอบ เป็นประพจน์ มีค่าความจริงเป็นจริง (T)
  2. 3 + 2 = 6
    ตอบ เป็นประพจน์ มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)
  3. x เป็นจำนวนนับ
    ตอบ ไม่เป็นประพจน์

ข้อสังเกต
ประพจน์จะเป็นประโยคที่อยู่ในรูปบอกเล่าหรือปฏิเสธก็ได้ และจะต้องมีค่าความจริงเดียวเท่านั้น

การเชื่อมประพจน์

ในชีวิตประจำวันน้อง ๆ จะพบประโยคที่ได้จากการเชื่อมกันมากกว่าหนึ่งประโยค โดยในบทนี้ตัวเชื่อมที่น้อง ๆ จะเจอ ได้แก่ “และ” “หรือ” “ถ้า…แล้ว…” “ก็ต่อเมื่อ” หรือพบประโยคซึ่งเปลี่ยนแปลงมาจากประโยคเดิม โดยเติมคำว่า “ไม่” เข้าไป ซึ่งคำทั้งหมดนี้เราจะเรียกว่า ตัวเชื่อม (connective) ทั้งหมดเลย

ประโยคที่มีตัวเชื่อมจะมีตัวอย่างดังนี้

  • 2 เป็นจำนวนคู่ และ 1 เป็นจำนวนคี่
  • ถ้า 3 เป็นจำนวนตรรกยะ แล้ว \pi เป็นจำนวนอตรรกยะ
  • รูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นมีขนาดของมุมเท่ากันเป็นคู่ ๆ สามคู่

ถ้า p และ q เป็นประพจน์ใด ๆ แล้วการเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ” “หรือ” “ถ้า…แล้ว…” “ก็ต่อเมื่อ” “ไม่” 

จะมีการใช้สัญลักษณ์ 

  • p และ q เขียนแทนด้วย p \land q
  • p หรือ q เขียนแทนด้วย p \vee q
  • ถ้า p แล้ว q เขียนแทนด้วย p \rightarrow q
  • นิเสธของ p เขียนแทนด้วย \sim p

และจะมีค่าความจริง ดังนี้

การเชื่อมประพจน์ในตรรกศาสตร์

การหาค่าความจริงของประพจน์

จากตารางค่าความจริงในหัวข้อก่อนหน้านี้ ที่มีตัวเชื่อมแบบต่าง ๆ ที่เราเคยกล่าวมาแล้ว เมื่อโจทย์กำหนดค่าความจริงของประพจน์หนึ่งมา น้อง ๆ จะใช้ความรู้นี้เพื่อหาค่าความจริงของประพจน์ย่อยได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น จริง และ เท็จ ตามลำดับ จงหาค่าความจริงของ \left ( \sim p\vee q \right )\rightarrow p

วิธีทำ \left ( \sim p\vee q \right )\rightarrow p

\equiv \left ( \sim T\vee F\right )\rightarrow T

\equiv \left (F\vee F\right )\rightarrow T

\equiv F\rightarrow T

\equiv T

การสร้างตารางค่าความจริง

เมื่อโจทย์ไม่ได้กำหนดค่าความจริงของประพจน์ย่อยมาให้ แต่เราต้องการหาความจริงของประพจน์ใหญ่ ๆ ที่มีตัวเชื่อมอยู่ในนั้นด้วยแล้ว เราสามารถใช้ตารางค่าความจริง เพื่อวิเคราะห์ค่าความจริงของประพจน์ว่าเป็นจริงหรือเท็จในแต่ละกรณีได้ โดยเราจะมองว่า p และ q เป็นประพจน์ใด ๆ ซึ่งเราจะต้องสมมติค่าความจริงของ p และ q ทุกกรณี

โดย 

  • ถ้ามีประพจน์เดียวคือ p   จะมีกรณีในตารางค่าความจริงทั้งสิ้น 2 กรณี
  • ถ้ามี 2 ประพจน์คือ p และ q   จะมีกรณีในตารางค่าความจริงทั้งสิ้น 4 กรณี
  • ถ้ามี 3 ประพจน์คือ p, q และ r จะมีกรณีในตารางค่าความจริงทั้งสิ้น 8 กรณี

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงสร้างตารางค่าความจริงของ p\rightarrow(q\vee \sim p)

ตรรกศาสตร์ การสร้างตารางค่าความจริง

โจทย์บางข้อที่มีความซับซ้อนมากขึ้น โจทย์อาจไม่กำหนดค่าความจริงของประพจน์ย่อยมาให้ทุกตัว แต่เราจะต้องหาค่าความจริงของประพจน์ที่ใหญ่ขึ้นก้อนนั้น เช่น โจทย์ต้องการให้หาค่าความจริงของ p \wedge q แต่เราทราบค่าความจริงของประพจน์ย่อย p   เพียงตัวเดียว และไม่ทราบค่าความจริงของประพจน์ย่อย q เลย มีวิธีการทำได้โดยให้น้อง ๆ ลองพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ด้านล่างนี้ แต่ไม่ต้องท่องจำนะ !! ให้ลองทำความเข้าใจ โดยนำความรู้เรื่องตารางค่าความจริงก่อนหน้านี้มาใช้ด้วย ดังนี้

ค่าความจริงของประพจน์ในเรื่องตรรกศาสตร์

รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน

ถ้าน้อง ๆ สร้างตารางค่าความจริงแล้วพบว่ามีประพจน์สองรูปแบบที่มีค่าความจริงตรงกันทุกกรณี เราจะสามารถนำสองประพจน์นั้นไปใช้แทนกันได้เลย เพราะมันเหมือนกันเลย !! โดยเรียกรูปแบบของประพจน์ทั้งสองว่าเป็นรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน 

เช่น p\vee q กับ q\vee p สองประพจน์นี้สมมูลกัน เพราะเมื่อสร้างตารางค่าความจริงแล้วจะมีค่าความจริงเหมือนกันแบบกรณีต่อกรณี ดังนั้นเราจะหยิบเอา p\vee q หรือ q\vee p ตัวไหนไปใช้ก็ได้ มันสามารถใช้แทนกันได้เลย

โดยน้อง ๆ สามารถตรวจสอบว่าประพจน์ทั้งสองสมมูลกันหรือไม่ ทำได้ 2 วิธี คือ

  1. สร้างตารางค่าความจริง
  2. ใช้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน

วิธีที่ 1 สร้างตารางค่าความจริง

ประพจน์ที่สมมูลกันจะมีค่าความจริงเหมือนกันกรณีต่อกรณี

เช่น พิจารณาตารางค่าความจริงของ p\rightarrow q และ \sim p \vee q

สร้างตารางค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน ตรรกศาสตร์

น้อง ๆ จะเห็นว่า จากตารางค่าความจริง ในช่องสุดท้ายค่าความจริงของ p\rightarrow q และ \sim p \vee q ตรงกันทุกกรณี แบบกรณีต่อกรณี

เราจึงสรุปได้ว่า p\rightarrow q และ \sim p \vee q เป็นรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน

วิธีที่ 2 ใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน

หากประพจน์ก้อนหนึ่งใหญ่มาก ๆ การสร้างตารางก็จะต้องใช้เวลามากตามไปด้วย และต้องใช้ความรอบคอบอย่างมากในการใส่ค่าความจริงลงไปในแต่ละช่องของตาราง เพราะถ้าใส่ค่าความจริงผิดแม้แต่ช่องเดียว ก็อาจทำให้คำตอบของเราออกมาผิดได้เลยทันที ดังนั้นพี่จึงแนะนำให้น้อง ๆ ใช้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันด้านล่างนี้ไปใช้ในการจัดรูป เพื่อดูว่าเราสามารถจัดรูปให้ประพจน์สองก้อนนั้นมีหน้าตาเหมือนกันได้หรือไม่ ซึ่งถ้าสามารถจัดรูปให้เหมือนกันได้ แสดงว่าประพจน์สองประพจน์นั้นสมมูลกัน

รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันในตรรกศาสตร์

ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ p   และ  q เป็นประพจน์
จงพิจารณาว่าประพจน์ \sim \left(p\rightarrow q\right)\vee \sim \left(p\rightarrow r\right) และ p\land(\sim q\vee \sim r) สมมูลกันหรือไม่ 

วิธีทำ

\sim (p\rightarrow q)\vee \sim (p\rightarrow r)

\equiv \sim \left ( \sim p\vee q\right)\vee \sim \left (\sim p\vee r\right)

\equiv (p\land \sim q)\vee (p\land \sim r)

\equiv p\land (\sim q\vee \sim r)

ดังนั้น \sim \left(p\rightarrow\ q\right)\vee\ \sim \left(p\rightarrow\ r\right)\equiv\ p\land(\sim q\vee\sim r)

น้อง ๆ จะเห็นว่าถ้าเราสามารถจัดรูปสองประพจน์ให้มีหน้าตาเหมือนกันได้ โดยใช้รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน นั่นคือประพจน์สองประพจน์นั้นสมมูลกัน

สัจนิรันดร์

สัจนิรันดร์ คือ รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี

เรานิยมตรวจสอบว่ารูปแบบประพจน์นั้นเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ด้วย 2 วิธีต่อไปนี้

  1. สร้างตารางค่าความจริง
  2. หาข้อขัดแย้ง

วิธีที่ 1 สร้างตารางค่าความจริง

เราจะใช้วิธีการสร้างตารางค่าความจริงเหมือนที่น้อง ๆ เคยทำมาในหัวหน้าก่อนหน้านี้เลยนะ เพื่อพิจารณาว่าค่าความจริงที่ได้ในช่องขวาสุดเป็นจริงทั้งหมดหรือไม่ ถ้าเป็นจริงทั้งหมดเลยไม่ว่าประพจน์ย่อย p, q จะมีค่าความจริงเป็นอะไร ก็จะได้ว่าประพจน์นั้นเป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่างที่ 5 จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ (p\vee q)\rightarrow(q\vee p) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

การตรวจสอบสัจนิรันดร์ในตรรกศาสตร์

ดังนั้น (p\vee q)\rightarrow(q\vee p)  เป็นสัจนิรันดร์

เช่นเดียวกับการสร้างตารางค่าความจริงในหัวข้ออื่น ๆ มันมีข้อจำกัดที่ว่าเราอาจต้องใช้เวลามาก และต้องใช้ความรอบคอบ พี่ก็จะแนะนำให้น้อง ๆ ลองฝึกใช้การหาข้อขัดแย้งซึ่งเป็นวิธีถัดไปดูน้าา

วิธีที่ 2 หาข้อขัดแย้ง

วิธีการหาข้อขัดแย้ง เป็นวิธีการที่สมมติให้รูปแบบของประพจน์ที่ต้องการหามีค่าความจริงเป็นเท็จ ถ้าไม่เกิดข้อขัดแย้ง จะสรุปว่ารูปแบบของประพจน์ไม่เป็นสัจนิรันดร์ เพราะสามารถเป็นเท็จตามที่เรากำหนดตอนแรก แต่หากพบข้อขัดแย้งระหว่างที่พยายามทำให้ประพจน์มีค่าเป็นเท็จ แสดงว่ารูปแบบของประพจน์นั้นไม่สามารถเป็นเท็จได้ แปลว่าต้องเป็นจริงเสมอ จึงสรุปได้ว่ารูปแบบของประพจน์เป็นสัจนิรันดร์ นั่นเอง

ตัวอย่างที่ 6  กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่ารูปแบบของประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

1) \left(p\land \sim q\right)\rightarrow (p\vee q)

ตัวอย่างโจทย์ตรรกศาสตร์ รูปแบบของประพจน์เป็นสัจนิรันดร์

เนื่องจากเกิดข้อขัดแย้ง

ดังนั้น \left(p\land \sim q\right)\rightarrow (p\vee q)   เป็นสัจนิรันดร์ 

2) p\rightarrow\left[(q\rightarrow p)\rightarrow q\right]

ตัวอย่างโจทย์ตรรกศาสตร์ รูปแบบของประพจน์ที่ไม่เป็นสัจนิรันดร์

เนื่องจากไม่เกิดข้อขัดแย้ง

ดังนั้น p\rightarrow\left[(q\rightarrow p)\rightarrow q\right] ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ก่อนจะขึ้นหัวข้อถัดไป พี่จะขอสรุปเกี่ยวกับการใช้การหาข้อขัดแย้งเพื่อตรวจสอบสัจนิรันดร์ให้เข้าใจง่าย ๆ ไว้ข้างล่างนี้ แต่จะขอความร่วมมือน้อง ๆ ว่า ขณะที่อ่านอยู่ ถ้ามีตรงไหนมีคำว่า “ไม่” ให้ส่ายหน้าแรง ๆ ตรงนั้นตอนอ่านด้วยนะ เป็นอรรถรส

มีข้อขัดแย้ง คือ เป็นสัจนิรันดร์

ไม่มีข้อขัดแย้ง คือ ไม่เป็นสัจนิรันดร์

การอ้างเหตุผล

ประกอบด้วย เหตุ \left(p_1,p_2,p_3,\ldots,p_n\right) และ ผล C

การอ้างเหตุผล จะเชื่อมเหตุแต่ละตัวด้วย “และ” และเชื่อมจากเหตุไปผลด้วย “ถ้า…แล้ว…”

ได้เป็นรูปแบบของประพจน์ในรูป \left(p_1\land p_2\land p_3\land\cdots\land p_n\right)\rightarrow C

การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล (Valid) ก็ต่อเมื่อ รูปแบบของประพจน์เป็นสัจนิรันดร์

และไม่สมเหตุสมผล (Invalid) ก็ต่อเมื่อ รูปแบบของประพจน์ไม่เป็นสัจนิรันดร์

กล่าวคือ ในหัวข้อนี้เราจะตรวจสอบแบบเดียวกับที่ตรวจสอบสัจนิรันดร์เลย เพียงแค่เพิ่มขั้นตอนที่ 1 ตามตัวอย่างด้านล่างนี้มาเท่านั้นเองนะ

ตัวอย่างที่ 7  กำหนดให้ p และ  q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่

เหตุ 1. p

2. p\rightarrow q
3. (q\vee r)\rightarrow s

ผล  s

วิธีทำ 

ขั้นที่ 1 

ใช้เครื่องหมาย \land
เชื่อมเหตุเข้าด้วยกัน และใช้ \rightarrow  เชื่อมส่วนที่เป็นเหตุและผล 

จะได้รูปแบบของประพจน์ คือ p\land(p\rightarrow q)\land\left[(q\vee r)\rightarrow s\right]\rightarrow s

ขั้นที่ 2

ตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่ได้ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

โดย สมมติให้ p\land(p\rightarrow q)\land\left[(q\vee r)\rightarrow s\right]\rightarrow s  เป็นเท็จ

โจทย์ตรรกศาสตร์ ตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลสมเหตุสมผลหรือไม่ โดยใช้สัจนิรันดร์

จากแผนภาพเกิดข้อขัดแย้ง แสดงว่า รูปแบบของประพจน์

p\land(p\rightarrow q)\land\left[(q\vee r)\rightarrow s\right]\rightarrow s เป็นสัจนิรันดร์

ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล

เหมือนเดิมเลยน้า ก่อนที่จะไปอ่านสรุปในกรอบด้านล่าง ขณะที่อ่านอยู่ ถ้ามีตรงไหนมีคำว่า “ไม่” ให้ส่ายหน้าแรง ๆ ตรงนั้นตอนอ่านด้วยนะ เอาให้ผีในห้องงงว่าอ่านอะไรอยู่

มีข้อขัดแย้ง คือ เป็นสัจนิรันดร์ แสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้น สมเหตุสมผล

ไม่มีข้อขัดแย้ง คือ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ แสดงว่าการอ้างเหตุผลนั้น ไม่สมเหตุสมผล

ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ

ให้น้อง ๆ ลองพิจารณาประโยค “ขาเป็นนักร้อง” ประโยคนี้เราจะยังไม่ทราบว่ามีค่าความจริงเป็นอะไร จนกว่าเราจะแทนชื่อใครสักคนลงไปในคำว่าเขา เช่น แทนชื่อพี่ปั้นลงไปจะได้ว่า “พี่ปั้นเป็นนักร้อง” เราถึงจะได้ว่าประโยคนี้เป็นเท็จนะ เพราะถึงพี่ปั้นจะร้องเพลงเพราะ แต่พี่ปั้นไม่ได้เป็นนักร้อง พี่ปั้นสอนคณิตศาสตร์ !! น้อง ๆ พอจะเข้าใจความหมายของประโยคเปิดกันแล้วใช่ไหม เราไปดูความหมายแบบทางการขึ้นอีกนิดกันดีกว่า

ประโยคเปิด

คือ ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีตัวแปร ซึ่งจะไม่ทราบค่าความจริงจนกว่าจะแทนค่าลงในตัวแปร เช่น 

ประโยคเปิด : x<1

  • แทน “x” ด้วย “0” จะได้ “0<1” ซึ่งเป็นจริง
    นั่นคือเป็นการแทนค่าตัวแปรที่ได้ค่าความจริงเป็นจริง
  • แทน “x” ด้วย “2”จะได้ “2<1” ซึ่งเป็นเท็จ
    นั่นคือเป็นการแทนค่าตัวแปรที่ได้ค่าความจริงเป็นเท็จ

หมายเหตุ โดยส่วนมากจะเขียนแทนประโยคเปิดด้วย P(x), Q(x)

ตัวบ่งปริมาณ

ในทางตรรกศาสตร์ มี 2 ตัว คือ  \forall (for all) และ \exists (for some)

  • \forall x แทน สำหรับ x ทุกตัว
  • \exists x  แทน สำหรับ x บางตัว

เอกภพสัมพัทธ์ ในที่นี้หมายถึงเซตที่บอกขอบเขตของสิ่งที่จะพิจารณาประโยคเปิด เขียนแทนด้วย U  ซึ่งจะระบุสมาชิกเซต หรือเป็นสัญลักษณ์ดังนี้ 

  • \mathbb{R} แทน เซตของจำนวนจริง
  • \mathbb{Q} แทน เซตของจำนวนตรรกยะ
  • \mathbb{Z} แทน เซตของจำนวนเต็ม
  • \mathbb{N} แทน เซตของจำนวนนับ

ประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ

คือ ข้อความที่ประกอบด้วยตัวบ่งปริมาณและประโยคเปิด ซึ่งจะกำหนดเอกภพสัมพัทธ์เอาไว้ด้วย

ข้อความต่อไปนี้อาจเขียนให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ได้

  • สำหรับ x ทุกตัว x+0=x เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจำนวนนับ

\forall x\left[x+0=0\right] เมื่อ U=\mathbb{N}  

หรือ \forall x\in\mathbb{N}\left[x+0=0\right]\  

  • สำหรับ x บางตัว x=-1 เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจำนวนจริง

\exists x\left[x=-1\right] เมื่อ U=\mathbb{R}  

หรือ \exists x\in\mathbb{R}\left[x=-1\right]

ข้อความข้างต้น น้อง ๆ จะเห็นว่า ถ้าเราเติมตัวบ่งปริมาณข้างหน้าประโยคเปิดจะได้เป็นประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ ซึ่งข้อความเหล่านี้เราสามารถหาค่าความจริงของมันได้ด้วย พี่จะลองใช้ประโยคในตัวอย่างก่อนหน้านี้มาลองหาค่าความจริงของมันกัน

  • จาก \forall x\in\mathbb{N}\left[x+0=0\right]\
    มีค่าความจริงเป็นจริง เนื่องจากเมื่อนำจำนวนจริงทุกจำนวน บวกศูนย์ แล้วจะได้ตัวมันเองเสมอ
  • จาก \exists x\in\mathbb{R}\left[x=-1\right]
    มีค่าความจริงเป็นจริง เนื่องจากเมื่อแทน x ด้วย  -1 (ซึ่ง -1 เป็นจำนวนจริง) จะได้ว่า -1=-1 ทำให้ได้สมการเป็นจริง

จากตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่า ถ้าเติมตัวบ่งปริมาณข้างหน้าประโยคเปิดแล้วจะได้ประพจน์ เนื่องจากเราสามารถหาค่าความจริงได้ โดยประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณเหล่านี้จะมีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จเพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น

ค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

การพิจารณาค่าความจริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณนั้น โดยทั่วไปจะพิจารณาแต่ละส่วนของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณดังนี้

  • ส่วนที่ 1 ตัวบ่งปริมาณ
  • ส่วนที่ 2 ประโยคเปิด
  • ส่วนที่ 3 เอกภพสัมพัทธ์

กำหนดให้ P(x) เป็นประโยคเปิด และ U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ จะได้ว่า 

\forall x\left[P(x)\right]

  • มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ
    แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด
  • มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ
    แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ

\exists x\left[P(x)\right]

  • มีค่าความจริงเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ
    แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
  • มีค่าความจริงเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ
    แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชิกแต่ละตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 8 กำหนดเอกภพสัมพัทธ์ U = {-1, 0, 1} จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้

1. \forall x[x\geq-2]

วิธีทำ ให้   P(x)   แทนประโยคเปิด x\geq-2  เนื่องจาก

  P(-1)   แทน -1\geq-2  เป็นจริง

  P(0)   แทน 0\geq-2  เป็นจริง

  P(1)   แทน 1\geq-2 เป็นจริง

ดังนั้น  \forall x[x\geq-2] เป็นจริง เมื่อ U = {-1, 0, 1}

2. \forall x[x\in\mathbb{N}]

วิธีทำ ให้ P(x) แทนประโยคเปิด x\in\mathbb{N} เนื่องจาก P(-1) แทน -1\in\mathbb{N} เป็นเท็จ

ดังนั้น \forall x[x\in\mathbb{N}] เป็นเท็จ เมื่อ U = {-1, 0, 1}

3. \exists x[x>0]

วิธีทำ ให้ P(x) แทนประโยคเปิด x>0 เนื่องจาก P(1) แทน 1>0 เป็นจริง

ดังนั้น \exists x[x>0] เป็นจริง เมื่อ U = {-1, 0, 1}

4. \exists x[x<-2]

วิธีทำ ให้ P(x) แทนประโยคเปิด x <-2 เนื่องจาก

P(-1) แทน -1<-2 เป็นเท็จ

P(0) แทน 0<-2 เป็นเท็จ

P(1) แทน 1<-2 เป็นเท็จ

ดังนั้น \exists x[x<-2] เป็นเท็จ เมื่อ U = {-1, 0, 1

ข้อสังเกต

ถ้าเราอยากตรวจสอบว่า \forall x\left[P(x)\right] เป็นจริงหรือเท็จ ให้น้อง ๆ พยายามหา x หนึ่งตัวที่นำไปแทนใน P(x) แล้วจะทำให้เป็นเท็จจะง่ายกว่า เพราะถ้ามี x เพียงตัวเดียวที่ทำให้เป็นเท็จ \forall x\left[P(x)\right]  จะเป็นเท็จเลยทันที

และถ้าเราอยากตรวจสอบว่า \exists x\left[P(x)\right]  เป็นจริงหรือเท็จ ให้น้อง ๆ พยายามหา x หนึ่งตัวที่นำไปแทนใน P(x) แล้วจะทำให้เป็นจริงจะง่ายกว่า เพราะถ้ามี x เพียงตัวเดียวที่ทำให้เป็นจริง \exists x\left[P(x)\right]  จะเป็นจริงเลยทันที

น้อง ๆ บางคนอาจสับสนว่าแล้วถ้าตัวบ่งปริมาณนั้นมีตัวเชื่อมอยู่ด้านนอก หรือมีตัวเชื่อมอยู่ด้านในประโยคเปิด พี่จะบอกว่ามันแตกต่างกันนะ วิธีการหาค่าความจริงก็แตกต่างกัน ตามตัวอย่างด้านล่างนี้เลย

ตัวอย่างที่ 9 กำหนดเอกภพสัมพัทธ์ U = {-1, 0, 1} จงหาค่าความจริงของประพจน์ต่อไปนี้

1. \exists x\left[x=0\right]\land\exists x\left[x<-1\right]

แนวคิด ให้น้อง ๆ พิจารณาค่าความจริงของ  \exists x\left[x=0\right]\ และ \exists x\left[x<-1\right]  แยกกัน แล้วนำค่าความจริงที่ได้มาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อม   \land

วิธีทำ ให้ P(x) และ Q(x) แทนประโยคเปิด x =0 และ x <-1 ตามลำดับ

  • จะได้ว่า \exists x\left[x=0\right]  มีค่าความจริงเป็นจริง
    เนื่องจาก P(0) แทน 0=0 ซึ่งเป็นจริง
    นั่นคือ \exists x\left[x=0\right]\equiv T
  • จะได้ว่า \exists x\left[x<-1\right] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เนื่องจาก
    Q(-1) แทน -1 <-1 ซึ่งเป็นเท็จ
    Q(0) แทน 0<-1 ซึ่งเป็นเท็จ และ
    Q(1) แทน 1<-1 ซึ่งเป็นเท็จ
    นั่นคือ \exists x\left[x<-1\right]\equiv F

จะได้ว่า \exists x\left[x=0\right]\land\exists x\left[x<-1\right] \equiv T\land F\equiv F

ดังนั้น \exists x\left[x=0\right]\land\exists x\left[x<-1\right] มีค่าความจริงเป็นเท็จ

2. \exists x\left[(x=0)\land(x<-1)\right]

แนวคิด ให้น้อง ๆ พิจารณาค่าความจริงโดยแทนค่า x จาก U ลงใน (x=0)\land(x<-1)  เป็นก้อนเดียวกันไปเลย

วิธีทำ ให้ P(x) แทนประโยคเปิด (x=0)\land(x<-1)

เนื่องจาก 

P(-1) แทน (-1=0)\land(-1<-1)\equiv F\land F\equiv F  ซึ่งเป็นเท็จ

P(0) แทน (0=0)\land(0<-1) \equiv T\ \land F\ \equiv F  ซึ่งเป็นเท็จ

P(1) แทน (1=0)\land(1<-1) \equiv F\ \land F\ \equiv F  ซึ่งเป็นเท็จ

ดังนั้น \exists x\left[(x=0)\land(x<-1)\right] มีค่าความจริงเป็นเท็จ

สมมูลและนิเสธของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ

สมมูล

  • \forall x\left[P(x)\right]\equiv\forall x\left[Q(x)\right] ก็ต่อเมื่อ P(x)\equiv Q(x)
  • \exists x\left[P(x)\right]\equiv\exists x\left[Q(x)\right] ก็ต่อเมื่อ P(x)\equiv Q(x)

นิเสธ

  • \sim \forall x\left[P\left(x\right)\right]\equiv\exists x\left[\sim P\left(x\right)\right]
  • \sim \exists x\left[P\left(x\right)\right]\equiv\forall x\left[\sim P\left(x\right)\right]

ถ้าน้อง ๆ จะกระจายนิเสธเข้าไป จะต้องกระจายไปที่ตัวบ่งปริมาณ แล้วอย่าลืมกระจายเข้าไปใน P(x) ด้วยน้าา

ตัวอย่างที่ 10 จงพิจารณาว่าประโยคในข้อต่อไปนี้สมมูลกันหรือไม่

  1. \forall x\left[P(x)\vee Q(x)\right] กับ \forall x\left[Q(x)\vee P(x)\right]  
    สมมูลกัน เนื่องจาก P(x)\vee Q(x)\equiv Q(x)\vee P(x)
  2. \exists x\left[P\left(x\right)\rightarrow Q(x)\right] กับ \exists x\left[Q\left(x\right)\rightarrow P(x)\right]
    ไม่สมมูลกัน เนื่องจาก  P\left(x\right)\rightarrow Q(x)\not\equiv Q(x)\rightarrow P(x)

ดูคลิปติวฟรี ตรรกศาสตร์ ม.4

ดูคลิปติวฟรีอื่น ๆ ได้ที่ YouTube : SmartMathPro

เป็นยังไงกันบ้างงง สำหรับเรื่อง “ตรรกศาสตร์ ม.4” ที่พี่เอามาฝากกันในวันนี้ ได้ความรู้กันไปแบบจุก ๆ เลยใช่มั้ยย พี่ขอเสริมอีกนิดน้า ถ้าน้อง ๆ อยากเข้าใจเนื้อหาของบทนี้มากขึ้น พี่ก็แนะนำให้ฝึกทำโจทย์กันเยอะ ๆ เพราะจะได้ทบทวนเนื้อหาและความเข้าใจของตัวเองไปในตัวด้วยย ซึ่งพี่ก็มีโจทย์และแบบฝึกหัดในคลังข้อสอบให้ทุกคนได้ไปดาวน์โหลดมาฝึกทำเพียบบ แวะเข้าไปดูกันได้น้าา

แต่ถ้าใครอ่านแล้วยังไม่เข้าใจก็ไม่เป็นไรน้าาาา พี่แนะนำว่าให้ทบทวนและฝึกทำโจทย์เป็นประจำ จะได้เจอโจทย์หลาย ๆ แบบ ทีนี้พอเริ่มจับทางได้แล้วน้อง ๆ ก็จะเก่งขึ้นเอง !! ส่วนใครที่รู้สึกว่าอ่านเองอาจจะไม่ไหว และต้องการตัวช่วยให้เข้าใจเนื้อหามากขึ้น มาลองดูคอร์สของพี่ได้เลยยย พี่มีคอร์สคณิต ม.4 ที่สอนปูพื้นฐาน อิงตามหลักสูตรใหม่ สสวท. พร้อมตะลุยโจทย์จัดเต็ม ตั้งแต่โจทย์ซ้อมมือไปถึงข้อสอบแข่งขัน และแอบกระซิบว่าช่วงนี้มีโปรโมชันลดสูงสุด 25% อยู่ด้วยย ใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติม คลิก

คอร์สเรียน แนะนำ

บทความ แนะนำ

บทความ แนะนำ

สรุปความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ม.4 แจกโจทย์ฟรี
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ม.4 สรุปเนื้อหาพร้อมแจกโจทย์ให้ฝึกทำ !
สรุปเนื้อหาคณิต เซต ม.4 พร้อมแจกฟรีเช็กลิสต์
เซต (Set) คืออะไร สรุปเนื้อหาเซต ม.4 พร้อมโจทย์และเฉลย
สรุปคณิตศาสตร์ ม.4 พื้นฐานและเพิ่มเติมต้องเรียนอะไรบ้าง
คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1, ม.4 เทอม 2 คณิตพื้นฐานและเพิ่มเติม เรียนอะไรบ้าง ?

สำหรับน้อง ๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม ได้ที่ Line : @smartmathpronews

รวมถึงข่าวสารต่าง ๆ อัปเดตอย่างเรียลไทม์

FB : Pan SmartMathPro ติวคณิต By พี่ปั้น 

IG : pan_smartmathpro

Twitter : @PanSmartMathPro 

Tiktok : @pan_smartmathpro

Share