สรุปเนื้อหา ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ม.3

ถ้าพูดถึงสมการ น้อง ๆ อาจจะคุ้นเคยกับการแก้สมการที่แทนค่าตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งเพื่อให้ได้คำตอบ แต่รู้ไหมว่าในเนื้อหาคณิต ม.3 นี้ ยังมีสมการอีกรูปแบบหนึ่งที่น้อง ๆ จะได้เรียนด้วย นั่นก็คือ ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ซึ่งเป็นการหาคำตอบของสมการสองชุด ที่มีตัวแปรถึงสองตัวนั่นเอง

แต่ไม่ต้องกังวลไปน้าาา เดี๋ยวพี่จะพาทุกคนไปทำความเข้าใจเนื้อหาบทนี้แบบเข้าใจง่ายที่สุด พาทำโจทย์พร้อมเฉลยละเอียด นอกจากนี้ยังมีคลิปติวฟรีท้ายบทความ และแบบฝึกหัดให้ดาวน์โหลดไปลองฝึกทำด้วย ถ้าน้อง ๆ พร้อมกันแล้วตามพี่ไปอ่านกันเลยยยย

ระบบสมการเชิงเส้น คือ ชุดสมการที่มีเลขชี้กำลังเป็น 1 ตั้งแต่ 2 สมการขึ้นไป ที่ทุกสมการมีตัวแปรชุดเดียวกัน 

โดยความรู้ในบทนี้จะใช้เป็นพื้นฐานสำหรับคณิตม.ปลายอีกหลายบทเลย เช่น บทเมทริกซ์ ที่นำการแก้ระบบสมการเชิงเส้นมาประยุกต์ใช้ ซึ่งมีจำนวนสมการตั้งแต่ 2 สมการ หรือมีตัวแปรตั้งแต่ 2 ตัวแปรขึ้นไป

สรุปภาพรวม ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ม.3

ความหมายของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (system of linear equations with two variables)
คือ ชุดสมการเชิงเส้นสองสมการสองตัวแปรที่พิจารณาคำตอบร่วมกัน

ให้ a, b, c, d, e และ f เป็นจำนวนจริง ที่ a, b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และ c, d ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
ระบบที่ประกอบด้วยสมการ ax+by=e
         cx+dy=f
เรียกว่า ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่มี x และ y เป็นตัวแปร โดยที่ a และ c เป็นสัมประสิทธิ์ของ x b และ d เป็นสัมประสิทธิ์ของ y

คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

  คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ คู่อันดับ (x, y) ที่ค่า x และค่า y ทำให้สมการเป็นจริงทั้งสองสมการ

น้อง ๆ จำกันได้ไหมว่าคู่อันดับ (x, y) จะสอดคล้องกับสมการ หรือเรียกว่าเป็นคำตอบของสมการก็ต่อเมื่อ มีการแทนค่า x และ y ลงไปในสมการนั้นแล้วทำให้สมการเป็นจริง

คราวนี้คู่อันดับ (x, y) จะเป็นคู่อันดับที่สอดคล้องกับระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร Ax+By+C=0 ก็ต่อเมื่อแทนค่า x และค่า y ของแต่ละคู่อันดับนั้นในสมการแล้วทำให้ได้สมการที่เป็นจริง ซึ่งจะเรียกคู่อันดับที่สอดคล้องเหล่านั้นว่า คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร และกราฟแสดงคำตอบของสมการ Ax+By+C=0 จะเป็นเส้นตรง เราเรียกเส้นตรงนี้ว่า เส้นตรง Ax+By+C=0

ดังนั้น คำตอบของระบบสมการที่กรอบข้างบนพูดถึง คือ จุดตัด (x, y) ของกราฟของเส้นตรงที่เกิดจากสมการเส้นตรง
ทั้งสองนั่นเอง

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟและหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรต่อไปนี้

3x-y=3
2x+y=2

แนวคิด หาจุดตัดแกน X และ Y ของ 3x-y=3 และ 2x+y=2 เพื่อวาดกราฟ และพิจารณาจุดที่กราฟตัดกัน
ซึ่งจุดนั้นจะเป็นคำตอบของระบบสมการนี้

วิธีทำ จากสมการ 3x-y=3 เมื่อแทน x=0 จะได้ y=-3
ดังนั้น จุดตัดแกน Y คือ (0, -3)
และเมื่อแทน y=0 จะได้ x=1
ดังนั้น จุดตัดแกน X คือ (1, 0)

ในทำนองเดียวกัน จากสมการ 2x+y=2 เมื่อแทน x=0 จะได้ y=2
ดังนั้น จุดตัดแกน Y คือ (0, 2)
และเมื่อแทน y=0 จะได้ x=1
ดังนั้น จุดตัดแกน X คือ (1, 0)

คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ม.3

ตอบ ดังนั้นคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ (1, 0)

คำตอบของระบบสมการที่น้อง ๆ เห็นจากตัวอย่างก่อนหน้ามีคำตอบเดียว แต่จริง ๆ แล้วคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร มี 3 รูปแบบ ดังนี้

  • ระบบสมการที่มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว กราฟของสมการจะตัดกันเพียงจุดเดียว
  • ระบบสมการที่มีคำตอบมากมายไม่จำกัด กราฟของสมการจะทับกัน
    โดยสมการทั้งสองมีสัมประสิทธิ์ที่เท่ากัน และค่าคงตัวเท่ากัน
  • ระบบสมการที่ไม่มีคำตอบ กราฟของสมการจะขนานกัน (ไม่ตัดกัน)
    โดยสมการทั้งสองมีสัมประสิทธิ์ที่เท่ากัน แต่ค่าคงตัวไม่เท่ากัน

ให้น้อง ๆ สังเกตรูปแบบคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรแต่ละรูปแบบผ่านกราฟต่อไปนี้

รูปแบบคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ม.3 ทั้งหมด พร้อมกราฟและสมการ
  • สมการที่ 1 และ 5 : กราฟของสมการทับกัน
    สมการที่ 5 เมื่อจัดรูปสมการจะได้ y-x=2 เช่นเดียวกับสมการที่ 1
    ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบมากมายไม่จำกัด

  • สมการที่ 2 และ 3 : กราฟของสมการขนานกัน
    สมการที่ 3 เมื่อจัดรูปสมการจะได้ y+3x=-3 ซึ่งมีสัมประสิทธิ์ที่เท่ากันกับสมการที่ 2
    แต่ค่าคงตัวไม่เท่ากัน
    ดังนั้น ระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบ

  • สมการที่ 1 หรือ 5 กับสมการที่ 2 : กราฟของสมการตัดกัน 1 จุด
    ดังนั้น ระบบสมการนี้มี 1 คำตอบ
    โดยจุดตัด คือ (1, 3)
    จะได้ว่าคำตอบของระบบสมการ คือ (1, 3)

  • สมการที่ 1 หรือ 5 กับสมการที่ 3 : กราฟของสมการตัดกัน 1 จุด
    ดังนั้น ระบบสมการนี้มี 1 คำตอบ
    โดยจุดตัด คือ (-1.25, 0.75)
    จะได้ว่าคำตอบของระบบสมการ คือ (-1.25, 0.75)

  • สมการที่ 1 หรือ 5 กับสมการที่ 4 : กราฟของสมการตัดกัน 1 จุด
    ดังนั้น ระบบสมการนี้มี 1 คำตอบ
    โดยจุดตัด คือ (-5, -3)
    จะได้ว่าคำตอบของระบบสมการ คือ (-5, -3)

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

น้อง ๆ บางคนอาจจะเคยรู้มาว่า “การแก้สมการ” เป็นการหาคำตอบทั้งหมดของสมการ ซึ่งวิธีที่ใช้ในหัวข้อที่แล้ว คือ
การหาคำตอบจากกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร แต่อาจมีปัญหาเรื่องการอ่านพิกัดที่เป็นคำตอบของสมการ เพราะเมื่อวาดกราฟเองด้วยมือ ไม่ได้ใช้คอมพิวเตอร์ช่วย อาจจะวาดแล้วกราฟเบี้ยว หรือสเกลบนแกน X หรือแกน Y ไม่ได้มีระยะห่างที่ถูกต้องเป๊ะ ๆ อาจทำให้เกิดความคลาดเคลื่อนจากค่าที่แท้จริงได้

เราจึงไม่นิยมใช้วิธีวาดกราฟเพื่อหาคำตอบของระบบสมการ รวมถึงบางครั้งคำตอบของระบบสมการอาจเป็นตัวเลขที่มีจำนวนเยอะมาก ๆ หรือติดเป็นเศษส่วนก็ได้ ซึ่งการมองจากจุดตัดกราฟอาจไม่ได้คำตอบที่ถูกต้องแม่นยำ

เพื่อความถูกต้องของการหาคำตอบของระบบสมการ เราจะใช้สมบัติของการเท่ากัน เช่น สมบัติสมมาตร สมบัติการถ่ายทอด สมบัติของการเท่ากันเกี่ยวกับการบวก และสมบัติของการเท่ากันเกี่ยวกับการคูณ มาช่วยในการหาคำตอบ ซึ่งวิธีการทำจะมีหลัก ๆ ทั้งหมด 2 วิธี คือ

  • การแก้ระบบสมการด้วยวิธีกำจัดตัวแปร
  • การแก้ระบบสมการด้วยวิธีแทนค่าตัวแปร

การแก้ระบบสมการด้วยวิธีกำจัดตัวแปร

วิธีนี้จะต้องแก้ระบบสมการโดยพิจารณาจากสัมประสิทธิ์ของแต่ละตัวแปรว่าค่าของสัมประสิทธิ์นั้นเท่ากัน ตรงข้ามกัน หรือต่างกัน ซึ่งจะมีวิธีการกำจัดตัวแปรดังตัวอย่างต่อไปนี้

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ม.3 ด้วยวิธีกำจัดตัวแปร โดยพิจารณาจากสัมประสิทธิ์ของแต่ละตัวแปร

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ x และ y เป็นจำนวนจริงใด ๆ จงหาคำตอบของระบบสมการนี้

2x+y=-1
x-y=4

แนวคิด สัมประสิทธิ์ของ y เป็น 1 และ -1 ซึ่งตรงข้ามกัน ดังนั้นสามารถกำจัดตัวแปร y ได้โดยได้โดยการนำสมการมาบวกกัน

วิธีทำ
2x+y=-1 ______ (1)
x-y=4 ______ (2)
(1)+(2) ;
(2x+y)+(x-y)=(-1)+4
3x=3
x=1
แทน x ด้วย 1 ในสมการ (2)
จะได้
1-y=4
-y=3
y=-3
ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบ คือ (1, -3)

การแก้ระบบสมการด้วยวิธีแทนค่า

วิธีนี้จะจัดรูปสมการใหม่ โดยให้ตัวแปรอยู่ในรูปของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง แล้วแทนตัวแปรที่ได้ลงในอีกสมการ เพื่อให้ได้สมการใหม่ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว จากนั้นแก้สมการ เพื่อให้ได้ค่าของตัวแปรต่อไป ซึ่งการแก้ระบบสมการด้วยวิธีแทนค่ามีขั้นตอนดังนี้

ขั้นตอนที่ 1 : กำหนดชื่อของสมการ
ขั้นตอนที่ 2 : จัดรูป
ขั้นตอนที่ 3 : แทนค่าตัวแปร
ขั้นตอนที่ 4 : หาค่าของตัวแปรที่เหลือ

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ x และ y เป็นจำนวนจริงใด ๆ จงหาคำตอบของระบบสมการนี้

-2x+y=5
6x-2y=-8

วิธีทำ
ขั้นตอนที่ 1 : กำหนดชื่อของสมการ
-2x+y=5 ______ (1)
6x-2y=-8 ______ (2)

ขั้นตอนที่ 2 : จัดรูป (เขียนตัวแปร y ให้อยู่ในรูปของตัวแปร x)
จาก (1) จะได้
y=2x+5 ______ (3)

ขั้นตอนที่ 3 : แทนค่าตัวแปร (เป็นการทำเพื่อให้ได้สมการที่มี x เป็นตัวแปรเพียงตัวเดียว)
จาก (3)
แทน y ด้วย 2x+5 ในสมการ (2) จะได้
6x-2(2x+5)=-8
6x-4x-10=-8
2x=2
x=1

ขั้นตอนที่ 4 : หาค่าของตัวแปรที่เหลือ
แทน x ด้วย 1 ในสมการ (1) จะได้
-2(1)+y=5
-2+y=5
y=7

ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบ คือ (1, 7)

ดูคลิปติว ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ม.3

ติดตามคลิปติวฟรีอื่น ๆ จากพี่ปั้น ได้ทาง YouTube Channel : SmartMathPro

เป็นยังไงกันบ้างกับเนื้อหา ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ม.3 ที่พี่สรุปมาให้อ่านกันในวันนี้ บอกเลยว่าถ้าน้อง ๆ เข้าใจเรื่องนี้ ก็จะสามารถนำไปใช้ต่อยอดกับคณิต ม.ปลายได้อีกด้วย ดังนั้นถ้าอ่านบทความนี้จบแล้วพี่ก็แนะนำให้ลองทำ
แบบฝึกหัดระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ม.3 เพิ่มเติมด้วยน้า จะได้ช่วยวัดความเข้าใจของเราด้วยว่ายังมีจุดไหนที่เรา
ไม่เข้าใจอยู่หรือเปล่า

ซึ่งสำหรับน้อง ๆ ที่กำลังเผชิญปัญหาดังกล่าวอยู่ และต้องการคนช่วยไกด์เนื้อหาระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร รวมถึงเนื้อหาคณิต ม.3 บทอื่น ๆ ให้เข้าใจมากขึ้น พี่ขอแนะนำคอร์สติวคณิต ม.3 จาก SmartMathPro เลยย คอร์สนี้มีทั้งเนื้อหาของทั้งเทอม 1 และเทอม 2 ครบทุกบท ซึ่งพี่จะปูพื้นฐานให้แบบละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. พร้อมพาตะลุยโจทย์และแบบฝึกหัดจำนวนมาก โดยเริ่มจากง่ายไปจนถึงระดับข้อสอบแข่งขันจากสนามต่าง ๆ แถมยังมี Quiz ทบทวนความเข้าใจแต่ละบทให้ด้วยน้า ดังนั้นใครที่พื้นฐานไม่แน่นก็เรียนได้ ไม่ต้องกังวลเลยว่าจะเรียนไม่ทัน !!

แต่ถ้าโรงเรียนของน้อง ๆ สอนไม่ตรงตามคอร์สที่มี ก็สามารถเลือกเรียนแบบแยกบทได้เลยย เริ่มต้นเพียง 360 บาทเท่านั้น ใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติม คลิก ได้เลย

บทความ แนะนำ

บทความ แนะนำ

สรุปเนื้อหาคณิตม.3 เรื่องความคล้าย
สรุปคณิตศาสตร์ “ความคล้าย ม.3” พร้อมแจกโจทย์ปัญหาและเฉลยฟรี !!
สรุปเนื้อหาคณิตม.3 เรื่องสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
สรุป สมการกำลังสองตัวแปรเดียว ม.3 พร้อมแจกโจทย์ฟรี !!
สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.3 เรื่อง พาราโบลา (กราฟฟังก์ชันกำลังสอง)
สรุป พาราโบลา (ฟังก์ชันกำลังสอง) ม.3 พร้อมแจกสูตรและโจทย์ฟรี
สรุปเนื้อหาคณิต ม.3 เรื่อง สถิติ (แผนภาพกล่อง)
สถิติ ม.3 (แผนภาพกล่อง) สรุปเนื้อหา พร้อมแจกโจทย์และเฉลยฟรี!
สรุปเนื้อหาคณิตม.3 เรื่องวงกลม
สรุป วงกลม ม.3 ทฤษฎีบทวงกลม พร้อมแจกแบบฝึกหัดฟรี !
สรุปเนื้อตรีโกณมิติ ม.3 พร้อมโจทย์และวิธีการทำ
ตรีโกณมิติ ม.3 สรุปเนื้อหาพร้อมโจทย์แบบจัดเต็ม จบในที่เดียว !
สรุปเนื้อหา ความน่าจะเป็น ม.3
สรุป ความน่าจะเป็น ม.3 พร้อมแจกโจทย์และเฉลยฟรี!!

สำหรับน้อง ๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม รวมถึงติดตามข่าวสารต่าง ๆ ที่อัปเดตอย่างเรียลไทม์ ได้ที่

Line : @smartmathpronews 

FB : Pan SmartMathPro ติวคณิต By พี่ปั้น 

IG : pan_smartmathpro

Twitter : @PanSmartMathPro 

Tiktok : @pan_smartmathpro

Share