สรุปเนื้อหาคณิต ม.5 เรื่องเมทริกซ์

ช่วงเวลาของการสอบกลางภาคกลับมาอีกครั้ง เด็กๆ เตรียมสอบเป็นยังไงกันบ้าง ? วันนี้พี่ๆ ทีมงาน SMP ได้สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์มาให้น้องๆ อีกเช่นเคย คือ เมทริกซ์ ม.5 และที่สำคัญคือมีโจทย์และวิธีทำให้น้องๆ ได้ลองฝึกทำโจทย์ที่น่าสนใจก่อนลุยสอบที่โรงเรียนกัน !!

จากในชีวิตประจำวันหรือในประสบการณ์ความรู้เดิมที่น้องๆ เคยเรียนมาก็น่าจะเคยเห็นตารางกันมาบ้างแล้ว ซึ่งการใช้ตารางก็คือวิธีหนึ่งในการนำเสนอข้อมูลและจัดการข้อมูล ในทางคณิตศาสตร์ เราจะนำข้อมูลที่อยู่ในรูปตารางมาเขียนให้อยู่ภายใต้วงเล็บ (   ) หรือ [   ] ก็ได้ แต่ว่าในบทเรียนที่น้องๆ จะได้เรียนในบทนี้เราจะใช้วงเล็บแบบเหลี่ยม [   ] และเรียกว่า  “เมทริกซ์”

เมทริกซ์ คือ ?

จากตารางข้างต้นถ้าเราลองนำมาเขียนให้เป็นเมทริกซ์ ก็เพียงแค่นำข้อมูลมาใส่ไว้ในกรอบ [ ] ก็จะได้

\begin{bmatrix}1 &2  &1 \\ 2 &1  &1 \\ 0 &3  &1 \\ 0 &2  &1 \\ 0 &3  &1 \\ 3 &3  &0 \\ 1 &5  &1 \end{bmatrix}

เราก็พอจะเห็นกันคร่าวๆ แล้วใช่ไหม ว่าเมทริกซ์มีรูปร่างหน้าตาเป็นอย่างไรบ้าง เราไปทำความรู้จักเมทริกซ์เพิ่มเติมในหัวข้อถัดไปกันเถอะ

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเมทริกซ์

แถวและหลักของเมทริกซ์

บทนิยามต่อไปนี้จะกล่าวถึงส่วนประกอบต่างๆ ของเมทริกซ์นะ โดยคำศัพท์ทั้งหลายมักจะใช้ไปตลอดทั้งบทนี้เลย ไม่ว่าจะเป็น “แถว” “หลัก” หรือคำศัพท์อื่นๆ อย่าง “สมาชิก” “ขนาด” “มิติ” เพื่อให้เราเข้าใจได้ตรงกันและเรียกชื่อส่วนต่างๆ ได้ถูกต้อง ลองไปดูบทนิยามด้านล่างนี้ด้วยกันเลยย

บทนิยามเมทริกซ์

(ต่อจากบทนิยาม)ชุดของสมาชิกที่เขียนในแนวนอน เรียกว่า แถว (row) ของเมทริกซ์ ซึ่งมีทั้งหมด m แถว 

ชุดของสมาชิกที่เขียนในแนวตั้ง เรียกว่า หลัก (column) ของเมทริกซ์ ซึ่งมีทั้งหมด n หลัก

เรียก a_{ij} ว่าเป็น สมาชิก (entry) ในแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ์

ถ้าเมทริกซ์มี m แถว n หลัก จะเรียก m\times n ว่า ขนาด (size) หรือ มิติ (dimension) ของเมทริกซ์

ตัวอย่างที่ 1 

กำหนดให้ A=\begin{bmatrix} 1 &2  &0 \\ -2 &4  &-1 \end{bmatrix} จงหา

1. a_{12}

วิธีทำ จาก a_{12}   คือสมาชิกในแถวที่ 1 หลักที่ 2

จะได้ว่า a_{12}=2

2. a_{13}

วิธีทำ จาก a_{13} คือสมาชิกในแถวที่ 1 หลักที่ 3

จะได้ว่า a_{13}=0

3. a_{22}

วิธีทำ จาก a_{22} คือสมาชิกในแถวที่ 2 หลักที่ 2

จะได้ว่า a_{22}=4

การเท่ากันของเมทริกซ์

ในหัวข้อการเท่ากันของเมทริกซ์นี้ก็เริ่มเข้ามาสู่หัวข้อที่เราจะต้องคิดคำนวณกันนิดนึงแล้วนะ เมทริกซ์สองเมทริกซ์จะเท่ากันได้ต้องมีลักษณะตามนิยามต่อไปนี้เลย

  บทนิยาม 

  ให้ A= [a_{ij}]_{m\times n} และ B=[b_{ij}]_{p\times q}

   A เท่ากับ B ก็ต่อเมื่อ m=p, n=q และ  a_{ij}=b_{ij}  สำหรับทุก  i\in \left \{1, 2, 3, …, m  \right \}  และ  j\in \left \{1, 2, 3, …, n  \right \} 

  เขียนแทน A เท่ากับ B ด้วย A=B

จากบทนิยามข้างต้นถ้าพี่จะสรุปให้น้องเข้าใจได้ง่ายๆ ก็คือ

เมทริกซ์จะเท่ากันได้ต้องมีขนาดเท่ากัน และในสมาชิกตำแหน่งเดียวกัน ต้องมีค่าเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 2 

กำหนดให้  \begin{bmatrix}1 &x \\ 0 &3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &2 \\ y-1 &3 \end{bmatrix}  จงหาค่าของ x  และ y

แนวคิด จากการเท่ากันของเมทริกซ์ สมาชิกในตำแหน่งเดียวกันต้องมีค่าเท่ากัน ให้น้องๆ นำสมาชิกในตำแหน่งเดียวกันมาเชื่อมด้วยเครื่องหมายเท่ากับ และแก้สมการหาค่าของ x และ y

วิธีทำ จากบทนิยาม 

จะได้ว่า x=2 

และ y-1=0 นั่นคือ y=1

ดังนั้น x=2 และ y=1

เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (transpose of a matrix)

น้องๆ บางคนอาจจะเคยได้ยินหรือคุ้นชินกับเมทริกซ์สลับเปลี่ยนในอีกชื่อหนึ่งของมันที่เป็นภาษาอังกฤษคือ transpose of a matrix ซึ่ง transpose (ทรานสโพส) หมายถึงการเปลี่ยนตำแหน่ง ซึ่งก็มีความหมายที่ตรงตัวเลย ในหัวข้อนี้เราจะมาสลับตำแหน่งของสมาชิกในเมทริกซ์กัน แต่จะสลับไปอยู่ตำแหน่งไหนต้องมาดูนิยามของเมทริกซ์สลับเปลี่ยนกันก่อนว่าตำแหน่งของสมาชิกในเมทริกซ์จะเปลี่ยนไปอย่างไรบ้าง

  บทนิยาม

  ให้ A=[a_{ij}]_{m\times n}   และ B=[b_{ij}]_{n\times m}   โดยที่ b_{ij}=a_{ji}   

  สำหรับทุก i\in \left \{1, 2, 3, …, n  \right \}   และ j\in \left \{1, 2, 3, …, m  \right \}   

  แล้วจะเรียก B ว่า เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (transpose of a matrix) ของ A เขียนแทนด้วย A^t

จากบทนิยามในกรอบข้างต้นถ้าพี่จะสรุปให้เข้าใจกันแบบง่ายๆ ก็จะได้ว่า

เมทริกซ์สลับเปลี่ยน คือ การเรียงสมาชิกใหม่ โดยนำแถวไปเป็นหลัก นำหลักไปเป็นแถว

ตัวอย่างที่ 3

ให้ A=\begin{bmatrix}1 &2 \\ 0 &-1 \\ -1 &0 \end{bmatrix} จงหา A^t

วิธีทำ จะได้ว่า A^t =\begin{bmatrix}1 &0  &-1 \\ 2 &-1  &0 \end{bmatrix}

สมบัติเมทริกซ์

พีชคณิตของเมทริกซ์

การบวกและลบเมทริกซ์

ในหัวข้อนี้เราจะเริ่มเข้าสู่ส่วนที่จะได้คิดคำนวณแบบเต็มตัวมากขึ้น โดยพี่จะเริ่มพาน้องๆ มาดูการดำเนินการแบบง่ายๆ กันก่อนนั่นคือการบวกและลบเมทริกซ์ซึ่งจะเป็นตามนิยามต่อไปนี้

   บทนิยาม

  ให้ A=[a_{ij}]_{m\times n}   และ   B=[b_{ij}]_{m\times n}   เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน

  ผลบวกของเมทริกซ์ A กับเมทริกซ์ B คือ   [c_{ij}]_{m\times n}   เมื่อ c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}

  สำหรับทุก i\in \left \{1, 2, 3, …, m  \right \}   และ   j\in \left \{1, 2, 3, …, n  \right \} เขียนแทน A บวก B ด้วย A+B

  นั่นคือ [a_{ij}]_{m\times n}+[b_{ij}]_{m\times  n}=[a_{ij}+b_{ij}]_{m\times n}

จากนิยามข้างต้นสามารถอธิบายแบบง่ายๆ ภาษาชาวบ้านหนึ่ง ได้ว่า มทริกซ์ขนาดเท่ากันในตำแหน่งเดียวกัน สามารถนำมาบวกหรือลบกันได้ นั่นก็แปลว่าเมทริกซ์ที่มีขนาดไม่เท่ากันจะนำมาบวกกันไม่ได้นะ

พีชคณิตของเมทริกซ์
การบวกและลบเมทริกซ์

การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง

การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงก็ยังไม่ยากนะ ขั้นตอนการทำไม่ซับซ้อนเลย ก่อนอื่นไปพิจารณาบทนิยามต่อไปนี้กัน

  บทนิยาม

  ให้ A=[a_{ij}]_{m\times n}   และ c เป็นจำนวนจริง

  ผลคูณของ c กับเมทริกซ์ A คือ เมทริกซ์ [b_{ij}]_{m\times n}   เมื่อ b_{ij}=ca_{ij} สำหรับทุก

  i\in \left \{1, 2, 3, …, m  \right \} และ j\in \left \{1, 2, 3, …, n  \right \}

  เขียนแทนผลคูณของ c กับเมทริกซ์ A ด้วย cA นั่นคือ   c[a_{ij}]_{m\times n}=[ca_{ij}]_{m\times n}

จากบทนิยามข้างบนนี้ เราสามารถทำความเข้าใจการคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงได้แบบสั้นๆ ดังนี้

ให้นำจำนวนจริงนั้น คูณสมาชิกทุกตัวในเมทริกซ์

การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง

การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์

น้องๆ คนไหนที่เคยเรียนบทเมทริกซ์แล้ว แล้วได้มาย้อนอ่านบทความนี้ก็จะรู้ว่าส่วนใหญ่เราจะมองว่าการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์มันทำความเข้าใจได้ยาก แต่น้องๆ คนไหนที่เพิ่งมาทำความรู้จักกับบทเมทริกซ์ด้วยกันตรงนี้ก็อย่าเพิ่งตกใจไปนะ การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์มันซับซ้อนกว่าหัวข้อที่ผ่านมาก็จริง แต่เราทำได้แน่นอนน แค่ต้องเพิ่มความรอบคอบในการคิดคำนวณเท่านั้นเองนะ การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์จะเป็นอย่างไร มาเริ่มดูที่บทนิยามกันก่อนเลย

  บทนิยาม

  ให้ A=[a_{ij}]_{m\times n} และ B=[b_{ij}]_{p\times q}

  ผลคูณของเมทริกซ์ A และ B เขียนแทนด้วย AB จะนิยามได้ ก็ต่อเมื่อ n=p และเมทริกซ์ผลคูณ AB จะมีขนาด m\times q ซึ่งมีสมาชิกในแถวที่ i และหลักที่ j เป็น

    a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}

  สำหรับทุก i\in \left \{1, 2, 3, …, m  \right \}   และ j\in \left \{1, 2, 3, …, q  \right \}

เพื่อให้เราทำความเข้าใจตามบทนิยามกันง่ายขึ้น ลองมาแบ่งวิธีการ   คูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์จากนิยามข้างต้นแบบเป็นขั้นตอน 2 ขั้นตอนดังต่อไปนี้กัน

การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ 2

สังเกตได้ว่า ถ้าเราต้องการหาผลคูณของสมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 1 และหลักที่ 1 นั่นคือ c_{11} จะต้องนำสมาชิกในแถวที่ 1 ของเมทริกซ์ A มาดำเนินการกับสมาชิกในหลักที่ 1 ของเมทริกซ์ B

ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราอยากหาผลคูณของสมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 1 นั่นคือ c_{21} จะต้องนำสมาชิกในแถวที่ 2 ของเมทริกซ์ A มาดำเนินการกับสมาชิกในหลักที่ 1 ของเมทริกซ์ B

เมทริกซ์ ตัวอย่าง การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์ ตัวอย่าง

จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่าเมื่อเรานำเมทริกซ์ A ไปคูณกับเมทริกซ์ B จะได้เมทริกซ์ที่เป็นคำตอบออกมาเป็นเมทริกซ์ที่หน้าตาเหมือนเมทริกซ์ A เลย นั่นก็เพราะว่าเมทริกซ์ B ในตัวอย่างก่อนหน้านั้นเป็น “เมทริกซ์เอกลักษณ์”  ไม่ว่าเราจะนำเมทริกซ์ใดมาคูณกับมันก็จะได้เมทริกซ์เดิมเสมอเลย 

เมทริกซ์เอกลักษณ์

เมทริกซ์เอกลักษณ์
สมบัติของการคูณของเมทริกซ์

อยากเก่งเมทริกซ์ ห้ามพลาดคอร์สนี้

ใครอยากเก่งเมทริกซ์ขึ้น ต้องลงคอร์สนี้เลย เพราะปูพื้นฐานแบบละเอียด และอัปเดตเนื้อหาตามหลักสูตร สสวท. ปีล่าสุด พร้อมตะลุยโจทย์และแบบฝึกหัดมากมาย ลงคอร์สเลยตอนนี้ คณิตเกรด 4 ไม่ไกลเกินเอื้อม !!

สมัครคอร์ส คลิก

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์

มาพิจารณาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จากบทนิยามกันก่อนนะ โดยที่สัญลักษณ์ที่เราจะใช้แทนดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A ก็คือ det(A) หรือ |A|

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีขนาด 2x2

  บทนิยาม

  ให้ A=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix} จะได้ ดีเทอร์มิแนนต์ของ A คือ ad-bc

จากบทนิยามทั้งหมดที่ผ่านมา บทนิยามของดีเทอร์มิแนนต์ก็ดูจะเข้าใจง่ายที่สุดเลยใช่ไหม เพราะว่าสั้นที่สุดเลย แถมสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ก็ไม่เยอะเท่าบทนิยามอื่น แต่พี่ก็ยังจะมีเทคนิคการจำมาให้น้องๆ ด้วยนะ การหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีมิติ 2\times 2 ก็คือให้เรามองว่ามันคือจำนวนจริงที่เกิดจากการนำสมาชิกที่อยู่ในแนวทแยงมาคูณกันและลบกันดังนี้

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีขนาด 2x2

ตัวอย่างที่ 8

กำหนดให้ A=\begin{bmatrix}2 &-1 \\ 0 & 3\end{bmatrix} จงหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A 

วิธีทำ

\begin{vmatrix}2 &-1 \\ 0 & 3\end{vmatrix}=(2)(3)-(0)(-1)=6

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีขนาด 3x3

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีขนาด 3×3 จะค่อนข้างซับซ้อนขึ้นมามากกว่าการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2×2 นะ น้องๆ บางคนอาจรู้จักวิธีการหาดีเทอร์มิแนนต์ด้วยการ “กระจายตามแถว” แต่ในบทความนี้พี่จะขอกล่าวถึงวิธีต่อไปนี้ ซึ่งทำความเข้าใจได้ง่าย มีเพียง 2 ขั้นตอนในการหาดีเทอร์มิแนนต์เท่านั้น ลองไปดูกันเลย

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีขนาด 3x3
เมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีขนาด 3x3
สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

เมทริกซ์ผกผัน

ในหัวข้อนี้จะมาศึกษาเกี่ยวกับเมทริกซ์ผกผันกัน พี่ขอเท้าความย้อนกลับไปพูดถึงความรู้เดิมของน้องๆ ในบทจำนวนจริง จากตัวผกผันการคูณของ 5 คือ \frac{1}{5} เนื่องจาก 5\cdot \frac{1}{5}=1 ซึ่ง 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ ในทำนองเดียวกัน หัวข้อนี้เราจะหาเมทริกซ์ซึ่งคูณกับเมทริกซ์ A แล้วได้ I_n ซึ่งเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์กัน โดยเมทริกซ์ที่หามาได้เราจะเรียกว่าเมทริกซ์ผกผัน ตามนิยามต่อไปนี้

  บทนิยาม

  ให้ A เป็นเมทริกซ์ขนาด n\times n ถ้ามีเมทริกซ์ B ขนาด n\times n ซึ่ง

  AB=BA=I_n

  B คือเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ A และเขียนแทนด้วย A^{-1}

ถ้าเมทริกซ์หนึ่งจะมีเมทริกซ์ผกผันก็จะมีได้เพียงเมทริกซ์เดียวเท่านั้นนะ และเราจะนิยามเฉพาะเมทริกซ์ผกผันเมื่อเป็น      เมทริกซ์จัตุรัส  โดยที่เราจะมีสูตรการหาเมทริกซ์ผกผันเป็นดังนี้

สูตรการหาเมทริกซ์ผกผัน

แล้วทุกเมทริกซ์จะมีเมทริกซ์ผกผันทั้งหมดเลยไหมนะ? คำตอบก็คือไม่ใช่น้าาาา สังเกตจากสูตรข้างต้นนี้ จะเห็นว่าการหาเมทริกซ์ผกผันของ A จะต้องถูกหารด้วย det(A) นั่นหมายความว่าถ้า det(A)=0 เมทริกซ์ A นั้นก็จะไม่มีเมทริกซ์ผกผันนั่นเอง ดังนั้นเวลาเราหาเมทริกซ์ผกผัน อาจจะแอบ (แต่ไม่ต้องแอบมากก็ได้ เขียนออกมาได้เลย) ทดหา det(A) เอาไว้ก่อนได้นะ เพราะถ้า det(A)=0 เราจะได้ไม่ต้องทำต่อ แล้วตอบไปได้เลยว่าเมทริกซ์นี้ไม่มีเมทริกซ์ผกผัน

ตัวอย่างการหาเมทริกซ์ผกผัน
ตัวอย่างการหาเมทริกซ์ผกผัน B

ระบบสมการเชิงเส้น

ในระดับชั้น ม.ต้น น้องๆ เคยแก้ระบบสมการเพื่อหาคำตอบมาแล้วซึ่งทำได้หลายวิธี การใช้เมทริกซ์ก็เป็นอีกวิธีหนึ่งที่จะช่วยให้เราแก้หาคำตอบของระบบสมการได้ ไม่ว่าจะปัญหาระบบสมการที่ง่ายๆ หรือซับซ้อนเราก็สามารถนำความรู้เรื่องเมทริกซ์มาช่วยแก้ปัญหาได้นะ 

โดยที่วิธีการใช้เมทริกซ์จะหาคำตอบของระบบสมการที่มีกี่สมการ กี่ตัวแปรก็ได้ แต่ในบทนี้จะเน้นเฉพาะระบบสมการเชิงเส้นที่มี 2 สมการ 2 ตัวแปร และระบบสมการเชิงเส้นที่มี 3 สมการ 3 ตัวแปรเท่านั้น

พี่จะพาน้องๆ มาพิจารณาการแก้สมการเมทริกซ์ 2 วิธีดังต่อไปนี้เลย

วิธีที่ 1 ใช้ตัวผกผันของเมทริกซ์ (วิธีย้ายข้าง)

แก้สมการเมทริกซ์
แก้ระบบสมการเมทริกซ์

วิธีที่ 2 ใช้เมทริกซ์แต่งเติม

ขั้นตอนที่ 1 เขียนระบบสมการให้อยู่ในรูปเมทริกซ์แต่งเติม

จาก AX=B เขียนให้อยู่ในรูป [A|B]

ขั้นตอนที่ 2 ดำเนินการตามแถวโดยแปลงด้านซ้ายให้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ซึ่งการดำเนินการตามแถวทำได้ 3 แบบ ดังนี้

  • R_i\leftrightarrow R_j
    สลับแถวที่ i กับแถวที่ j ของเมทริกซ์
  • cR_i
    คูณสมาชิกในแถวที่ i ด้วยค่าคงตัว c ซึ่ง c\neq 0
  • cR_i+R_j
    คูณสมาชิกในแถวที่ i ด้วยค่าคงตัว c ซึ่ง c\neq 0 แล้วนำไปบวกกับสมาชิกในแถวที่ j เมื่อ i\neq j (แทนผลลัพธ์นี้ในแถว j)
เมทริกซ์ ระบบสมการเชิงเส้น

ไม่ว่าน้อง ๆ จะชอบเรียนแบบอ่านสรุปเนื้อหา หรือ เรียนจากคลิปติวฟรีในยูทูป พี่ก็จัดเต็มให้ทั้ง 2 แบบ ยิ่งไปกว่านั้นยังมีโจทย์และแบบฝึกหัดเสริมเพิ่มสกิลจากคลังข้อสอบให้น้อง ๆ ได้ไปดาวน์โหลดมาฝึกทำกันเพิ่มเติมอีกด้วยยย รับรองว่าถ้าน้อง ๆ ฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ ก็จะเซียนเนื้อหาบทเมทริกซ์จนเก็บคะแนนบทนี้ได้แบบไม่ยากเลยย > <

คอร์สเรียน แนะนำ

บทความ แนะนำ

สำหรับน้องๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม ได้ที่ Line : @smartmathpronews

รวมถึงข่าวสารต่างๆ อัปเดตอย่างเรียลไทม์

IG : pan_smartmathpro

Twitter : @PanSmartMathPro

Share