ช่วงเวลาของการสอบกลางภาคกลับมาอีกครั้ง เด็กๆ เตรียมสอบเป็นยังไงกันบ้าง ? วันนี้พี่ๆ ทีมงาน SMP ได้สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์มาให้น้องๆ อีกเช่นเคย คือ เมทริกซ์ ม.5 และที่สำคัญคือมีโจทย์และวิธีทำให้น้องๆ ได้ลองฝึกทำโจทย์ที่น่าสนใจก่อนลุยสอบที่โรงเรียนกัน !!
จากในชีวิตประจำวันหรือในประสบการณ์ความรู้เดิมที่น้องๆ เคยเรียนมาก็น่าจะเคยเห็นตารางกันมาบ้างแล้ว ซึ่งการใช้ตารางก็คือวิธีหนึ่งในการนำเสนอข้อมูลและจัดการข้อมูล ในทางคณิตศาสตร์ เราจะนำข้อมูลที่อยู่ในรูปตารางมาเขียนให้อยู่ภายใต้วงเล็บ ( ) หรือ [ ] ก็ได้ แต่ว่าในบทเรียนที่น้องๆ จะได้เรียนในบทนี้เราจะใช้วงเล็บแบบเหลี่ยม [ ] และเรียกว่า “เมทริกซ์”
จากตารางข้างต้นถ้าเราลองนำมาเขียนให้เป็นเมทริกซ์ ก็เพียงแค่นำข้อมูลมาใส่ไว้ในกรอบ [ ] ก็จะได้
\begin{bmatrix}1 &2 &1 \\ 2 &1 &1 \\ 0 &3 &1 \\ 0 &2 &1 \\ 0 &3 &1 \\ 3 &3 &0 \\ 1 &5 &1 \end{bmatrix}
เราก็พอจะเห็นกันคร่าวๆ แล้วใช่ไหม ว่าเมทริกซ์มีรูปร่างหน้าตาเป็นอย่างไรบ้าง เราไปทำความรู้จักเมทริกซ์เพิ่มเติมในหัวข้อถัดไปกันเถอะ
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเมทริกซ์
แถวและหลักของเมทริกซ์
บทนิยามต่อไปนี้จะกล่าวถึงส่วนประกอบต่างๆ ของเมทริกซ์นะ โดยคำศัพท์ทั้งหลายมักจะใช้ไปตลอดทั้งบทนี้เลย ไม่ว่าจะเป็น “แถว” “หลัก” หรือคำศัพท์อื่นๆ อย่าง “สมาชิก” “ขนาด” “มิติ” เพื่อให้เราเข้าใจได้ตรงกันและเรียกชื่อส่วนต่างๆ ได้ถูกต้อง ลองไปดูบทนิยามด้านล่างนี้ด้วยกันเลยย
(ต่อจากบทนิยาม)ชุดของสมาชิกที่เขียนในแนวนอน เรียกว่า แถว (row) ของเมทริกซ์ ซึ่งมีทั้งหมด m แถว
ชุดของสมาชิกที่เขียนในแนวตั้ง เรียกว่า หลัก (column) ของเมทริกซ์ ซึ่งมีทั้งหมด n หลัก
เรียก a_{ij} ว่าเป็น สมาชิก (entry) ในแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ์
ถ้าเมทริกซ์มี m แถว n หลัก จะเรียก m\times n ว่า ขนาด (size) หรือ มิติ (dimension) ของเมทริกซ์
ตัวอย่างที่ 1
กำหนดให้ A=\begin{bmatrix} 1 &2 &0 \\ -2 &4 &-1 \end{bmatrix} จงหา
1. a_{12}
วิธีทำ จาก a_{12} คือสมาชิกในแถวที่ 1 หลักที่ 2
จะได้ว่า a_{12}=2
2. a_{13}
วิธีทำ จาก a_{13} คือสมาชิกในแถวที่ 1 หลักที่ 3
จะได้ว่า a_{13}=0
3. a_{22}
วิธีทำ จาก a_{22} คือสมาชิกในแถวที่ 2 หลักที่ 2
จะได้ว่า a_{22}=4
การเท่ากันของเมทริกซ์
ในหัวข้อการเท่ากันของเมทริกซ์นี้ก็เริ่มเข้ามาสู่หัวข้อที่เราจะต้องคิดคำนวณกันนิดนึงแล้วนะ เมทริกซ์สองเมทริกซ์จะเท่ากันได้ต้องมีลักษณะตามนิยามต่อไปนี้เลย
บทนิยาม
ให้ A= [a_{ij}]_{m\times n} และ B=[b_{ij}]_{p\times q}
A เท่ากับ B ก็ต่อเมื่อ m=p, n=q และ a_{ij}=b_{ij} สำหรับทุก i\in \left \{1, 2, 3, …, m \right \} และ j\in \left \{1, 2, 3, …, n \right \}
เขียนแทน A เท่ากับ B ด้วย A=B
จากบทนิยามข้างต้นถ้าพี่จะสรุปให้น้องเข้าใจได้ง่ายๆ ก็คือ
เมทริกซ์จะเท่ากันได้ต้องมีขนาดเท่ากัน และในสมาชิกตำแหน่งเดียวกัน ต้องมีค่าเท่ากัน
ตัวอย่างที่ 2
กำหนดให้ \begin{bmatrix}1 &x \\ 0 &3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &2 \\ y-1 &3 \end{bmatrix} จงหาค่าของ x และ y
แนวคิด จากการเท่ากันของเมทริกซ์ สมาชิกในตำแหน่งเดียวกันต้องมีค่าเท่ากัน ให้น้องๆ นำสมาชิกในตำแหน่งเดียวกันมาเชื่อมด้วยเครื่องหมายเท่ากับ และแก้สมการหาค่าของ x และ y
วิธีทำ จากบทนิยาม
จะได้ว่า x=2
และ y-1=0 นั่นคือ y=1
ดังนั้น x=2 และ y=1
เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (transpose of a matrix)
น้องๆ บางคนอาจจะเคยได้ยินหรือคุ้นชินกับเมทริกซ์สลับเปลี่ยนในอีกชื่อหนึ่งของมันที่เป็นภาษาอังกฤษคือ transpose of a matrix ซึ่ง transpose (ทรานสโพส) หมายถึงการเปลี่ยนตำแหน่ง ซึ่งก็มีความหมายที่ตรงตัวเลย ในหัวข้อนี้เราจะมาสลับตำแหน่งของสมาชิกในเมทริกซ์กัน แต่จะสลับไปอยู่ตำแหน่งไหนต้องมาดูนิยามของเมทริกซ์สลับเปลี่ยนกันก่อนว่าตำแหน่งของสมาชิกในเมทริกซ์จะเปลี่ยนไปอย่างไรบ้าง
บทนิยาม
ให้ A=[a_{ij}]_{m\times n} และ B=[b_{ij}]_{n\times m} โดยที่ b_{ij}=a_{ji}
สำหรับทุก i\in \left \{1, 2, 3, …, n \right \} และ j\in \left \{1, 2, 3, …, m \right \}
แล้วจะเรียก B ว่า เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (transpose of a matrix) ของ A เขียนแทนด้วย A^t
จากบทนิยามในกรอบข้างต้นถ้าพี่จะสรุปให้เข้าใจกันแบบง่ายๆ ก็จะได้ว่า
เมทริกซ์สลับเปลี่ยน คือ การเรียงสมาชิกใหม่ โดยนำแถวไปเป็นหลัก นำหลักไปเป็นแถว
ตัวอย่างที่ 3
ให้ A=\begin{bmatrix}1 &2 \\ 0 &-1 \\ -1 &0 \end{bmatrix} จงหา A^t
วิธีทำ จะได้ว่า A^t =\begin{bmatrix}1 &0 &-1 \\ 2 &-1 &0 \end{bmatrix}
พีชคณิตของเมทริกซ์
การบวกและลบเมทริกซ์
ในหัวข้อนี้เราจะเริ่มเข้าสู่ส่วนที่จะได้คิดคำนวณแบบเต็มตัวมากขึ้น โดยพี่จะเริ่มพาน้องๆ มาดูการดำเนินการแบบง่ายๆ กันก่อนนั่นคือการบวกและลบเมทริกซ์ซึ่งจะเป็นตามนิยามต่อไปนี้
บทนิยาม
ให้ A=[a_{ij}]_{m\times n} และ B=[b_{ij}]_{m\times n} เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน
ผลบวกของเมทริกซ์ A กับเมทริกซ์ B คือ [c_{ij}]_{m\times n} เมื่อ c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}
สำหรับทุก i\in \left \{1, 2, 3, …, m \right \} และ j\in \left \{1, 2, 3, …, n \right \} เขียนแทน A บวก B ด้วย A+B
นั่นคือ [a_{ij}]_{m\times n}+[b_{ij}]_{m\times n}=[a_{ij}+b_{ij}]_{m\times n}
จากนิยามข้างต้นสามารถอธิบายแบบง่ายๆ ภาษาชาวบ้านหนึ่ง ได้ว่า เมทริกซ์ขนาดเท่ากันในตำแหน่งเดียวกัน สามารถนำมาบวกหรือลบกันได้ นั่นก็แปลว่าเมทริกซ์ที่มีขนาดไม่เท่ากันจะนำมาบวกกันไม่ได้นะ
การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริง
การคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงก็ยังไม่ยากนะ ขั้นตอนการทำไม่ซับซ้อนเลย ก่อนอื่นไปพิจารณาบทนิยามต่อไปนี้กัน
บทนิยาม
ให้ A=[a_{ij}]_{m\times n} และ c เป็นจำนวนจริง
ผลคูณของ c กับเมทริกซ์ A คือ เมทริกซ์ [b_{ij}]_{m\times n} เมื่อ b_{ij}=ca_{ij} สำหรับทุก
i\in \left \{1, 2, 3, …, m \right \} และ j\in \left \{1, 2, 3, …, n \right \}
เขียนแทนผลคูณของ c กับเมทริกซ์ A ด้วย cA นั่นคือ c[a_{ij}]_{m\times n}=[ca_{ij}]_{m\times n}
จากบทนิยามข้างบนนี้ เราสามารถทำความเข้าใจการคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงได้แบบสั้นๆ ดังนี้
ให้นำจำนวนจริงนั้น คูณสมาชิกทุกตัวในเมทริกซ์
การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
น้องๆ คนไหนที่เคยเรียนบทเมทริกซ์แล้ว แล้วได้มาย้อนอ่านบทความนี้ก็จะรู้ว่าส่วนใหญ่เราจะมองว่าการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์มันทำความเข้าใจได้ยาก แต่น้องๆ คนไหนที่เพิ่งมาทำความรู้จักกับบทเมทริกซ์ด้วยกันตรงนี้ก็อย่าเพิ่งตกใจไปนะ การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์มันซับซ้อนกว่าหัวข้อที่ผ่านมาก็จริง แต่เราทำได้แน่นอนน แค่ต้องเพิ่มความรอบคอบในการคิดคำนวณเท่านั้นเองนะ การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์จะเป็นอย่างไร มาเริ่มดูที่บทนิยามกันก่อนเลย
บทนิยาม
ให้ A=[a_{ij}]_{m\times n} และ B=[b_{ij}]_{p\times q}
ผลคูณของเมทริกซ์ A และ B เขียนแทนด้วย AB จะนิยามได้ ก็ต่อเมื่อ n=p และเมทริกซ์ผลคูณ AB จะมีขนาด m\times q ซึ่งมีสมาชิกในแถวที่ i และหลักที่ j เป็น
a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}
สำหรับทุก i\in \left \{1, 2, 3, …, m \right \} และ j\in \left \{1, 2, 3, …, q \right \}
เพื่อให้เราทำความเข้าใจตามบทนิยามกันง่ายขึ้น ลองมาแบ่งวิธีการ คูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์จากนิยามข้างต้นแบบเป็นขั้นตอน 2 ขั้นตอนดังต่อไปนี้กัน
สังเกตได้ว่า ถ้าเราต้องการหาผลคูณของสมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 1 และหลักที่ 1 นั่นคือ c_{11} จะต้องนำสมาชิกในแถวที่ 1 ของเมทริกซ์ A มาดำเนินการกับสมาชิกในหลักที่ 1 ของเมทริกซ์ B
ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราอยากหาผลคูณของสมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 1 นั่นคือ c_{21} จะต้องนำสมาชิกในแถวที่ 2 ของเมทริกซ์ A มาดำเนินการกับสมาชิกในหลักที่ 1 ของเมทริกซ์ B
จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่าเมื่อเรานำเมทริกซ์ A ไปคูณกับเมทริกซ์ B จะได้เมทริกซ์ที่เป็นคำตอบออกมาเป็นเมทริกซ์ที่หน้าตาเหมือนเมทริกซ์ A เลย นั่นก็เพราะว่าเมทริกซ์ B ในตัวอย่างก่อนหน้านั้นเป็น “เมทริกซ์เอกลักษณ์” ไม่ว่าเราจะนำเมทริกซ์ใดมาคูณกับมันก็จะได้เมทริกซ์เดิมเสมอเลย
เมทริกซ์เอกลักษณ์
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์
มาพิจารณาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จากบทนิยามกันก่อนนะ โดยที่สัญลักษณ์ที่เราจะใช้แทนดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A ก็คือ det(A) หรือ |A|
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีขนาด 2x2
บทนิยาม
ให้ A=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix} จะได้ ดีเทอร์มิแนนต์ของ A คือ ad-bc
จากบทนิยามทั้งหมดที่ผ่านมา บทนิยามของดีเทอร์มิแนนต์ก็ดูจะเข้าใจง่ายที่สุดเลยใช่ไหม เพราะว่าสั้นที่สุดเลย แถมสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ก็ไม่เยอะเท่าบทนิยามอื่น แต่พี่ก็ยังจะมีเทคนิคการจำมาให้น้องๆ ด้วยนะ การหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีมิติ 2\times 2 ก็คือให้เรามองว่ามันคือจำนวนจริงที่เกิดจากการนำสมาชิกที่อยู่ในแนวทแยงมาคูณกันและลบกันดังนี้
ตัวอย่างที่ 8
กำหนดให้ A=\begin{bmatrix}2 &-1 \\ 0 & 3\end{bmatrix} จงหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A
วิธีทำ
\begin{vmatrix}2 &-1 \\ 0 & 3\end{vmatrix}=(2)(3)-(0)(-1)=6
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีขนาด 3x3
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีขนาด 3×3 จะค่อนข้างซับซ้อนขึ้นมามากกว่าการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2×2 นะ น้องๆ บางคนอาจรู้จักวิธีการหาดีเทอร์มิแนนต์ด้วยการ “กระจายตามแถว” แต่ในบทความนี้พี่จะขอกล่าวถึงวิธีต่อไปนี้ ซึ่งทำความเข้าใจได้ง่าย มีเพียง 2 ขั้นตอนในการหาดีเทอร์มิแนนต์เท่านั้น ลองไปดูกันเลย
เมทริกซ์ผกผัน
ในหัวข้อนี้จะมาศึกษาเกี่ยวกับเมทริกซ์ผกผันกัน พี่ขอเท้าความย้อนกลับไปพูดถึงความรู้เดิมของน้องๆ ในบทจำนวนจริง จากตัวผกผันการคูณของ 5 คือ \frac{1}{5} เนื่องจาก 5\cdot \frac{1}{5}=1 ซึ่ง 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ ในทำนองเดียวกัน หัวข้อนี้เราจะหาเมทริกซ์ซึ่งคูณกับเมทริกซ์ A แล้วได้ I_n ซึ่งเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์กัน โดยเมทริกซ์ที่หามาได้เราจะเรียกว่าเมทริกซ์ผกผัน ตามนิยามต่อไปนี้
บทนิยาม
ให้ A เป็นเมทริกซ์ขนาด n\times n ถ้ามีเมทริกซ์ B ขนาด n\times n ซึ่ง
AB=BA=I_n
B คือเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ A และเขียนแทนด้วย A^{-1}
ถ้าเมทริกซ์หนึ่งจะมีเมทริกซ์ผกผันก็จะมีได้เพียงเมทริกซ์เดียวเท่านั้นนะ และเราจะนิยามเฉพาะเมทริกซ์ผกผันเมื่อเป็น เมทริกซ์จัตุรัส โดยที่เราจะมีสูตรการหาเมทริกซ์ผกผันเป็นดังนี้
แล้วทุกเมทริกซ์จะมีเมทริกซ์ผกผันทั้งหมดเลยไหมนะ? คำตอบก็คือไม่ใช่น้าาาา สังเกตจากสูตรข้างต้นนี้ จะเห็นว่าการหาเมทริกซ์ผกผันของ A จะต้องถูกหารด้วย det(A) นั่นหมายความว่าถ้า det(A)=0 เมทริกซ์ A นั้นก็จะไม่มีเมทริกซ์ผกผันนั่นเอง ดังนั้นเวลาเราหาเมทริกซ์ผกผัน อาจจะแอบ (แต่ไม่ต้องแอบมากก็ได้ เขียนออกมาได้เลย) ทดหา det(A) เอาไว้ก่อนได้นะ เพราะถ้า det(A)=0 เราจะได้ไม่ต้องทำต่อ แล้วตอบไปได้เลยว่าเมทริกซ์นี้ไม่มีเมทริกซ์ผกผัน
ระบบสมการเชิงเส้น
ในระดับชั้น ม.ต้น น้องๆ เคยแก้ระบบสมการเพื่อหาคำตอบมาแล้วซึ่งทำได้หลายวิธี การใช้เมทริกซ์ก็เป็นอีกวิธีหนึ่งที่จะช่วยให้เราแก้หาคำตอบของระบบสมการได้ ไม่ว่าจะปัญหาระบบสมการที่ง่ายๆ หรือซับซ้อนเราก็สามารถนำความรู้เรื่องเมทริกซ์มาช่วยแก้ปัญหาได้นะ
โดยที่วิธีการใช้เมทริกซ์จะหาคำตอบของระบบสมการที่มีกี่สมการ กี่ตัวแปรก็ได้ แต่ในบทนี้จะเน้นเฉพาะระบบสมการเชิงเส้นที่มี 2 สมการ 2 ตัวแปร และระบบสมการเชิงเส้นที่มี 3 สมการ 3 ตัวแปรเท่านั้น
พี่จะพาน้องๆ มาพิจารณาการแก้สมการเมทริกซ์ 2 วิธีดังต่อไปนี้เลย
วิธีที่ 1 ใช้ตัวผกผันของเมทริกซ์ (วิธีย้ายข้าง)
วิธีที่ 2 ใช้เมทริกซ์แต่งเติม
ขั้นตอนที่ 1 เขียนระบบสมการให้อยู่ในรูปเมทริกซ์แต่งเติม
จาก AX=B เขียนให้อยู่ในรูป [A|B]
ขั้นตอนที่ 2 ดำเนินการตามแถวโดยแปลงด้านซ้ายให้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ซึ่งการดำเนินการตามแถวทำได้ 3 แบบ ดังนี้
- R_i\leftrightarrow R_j
สลับแถวที่ i กับแถวที่ j ของเมทริกซ์ - cR_i
คูณสมาชิกในแถวที่ i ด้วยค่าคงตัว c ซึ่ง c\neq 0 - cR_i+R_j
คูณสมาชิกในแถวที่ i ด้วยค่าคงตัว c ซึ่ง c\neq 0 แล้วนำไปบวกกับสมาชิกในแถวที่ j เมื่อ i\neq j (แทนผลลัพธ์นี้ในแถว j)
ไม่ว่าน้องๆ จะชอบเรียนแบบอ่านสรุปเนื้อหา หรือ เรียนจากคลิปติวฟรีในยูทูป พี่ๆ ทีมงาน SMP ก็จัดเต็มให้ทั้ง 2 แบบ ยิ่งไปกว่านั้นยังมีแบบฝึกหัดเสริมเพิ่มสกิลจาก Moremath (เป็นเว็บไซต์รวมแหล่งข้อสอบ, โจทย์ และแบบฝึกหัดของพี่ปั้นเอง > <) ให้น้องๆ ได้ไปลองฝึกเพิ่มเติมกันอีกด้วย รับรองเลยว่าเทอมนี้เตรียมรับเกรด 4 คณิตกันได้เลย แล้วเจอกันบทความสรุปเนื้อหาเรื่องต่อไปน้าา
คลังข้อสอบ Moremath
สำหรับน้องๆ คนไหน ที่อยากจะฝึกทำโจทย์
พี่ๆ ทีมงาน SMP ก็ได้รวบรวมคลังข้อสอบมาให้น้องๆ ได้ลองเข้าไปทำกันแบบฟรีๆ ที่นี่ !!
คลิกเลยคอร์สเรียน แนะนำ
บทความ แนะนำ
สำหรับน้องๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม ได้ที่ Line : @smartmathpronews
รวมถึงข่าวสารต่างๆ อัปเดตอย่างเรียลไทม์
IG : pan_smartmathpro
Twitter : @PanSmartMathPro
