ดูจากชื่อเรื่องแล้ว มีใครคุ้น ๆ บ้างงง ว่าเราเคยเรียนเรื่องที่เกี่ยวกับเรขาคณิตมาแล้วตอน ม.ต้น และในม.ปลายนี้ น้อง ๆ จะกลับมาเรียนเรื่องเรขาคณิตอีกครั้ง แบบลึกขึ้นในชื่อบท “เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย ม.4” แน่นอนว่าพอเป็นคณิตม.ปลาย เนื้อหาอาจจะยากขึ้นมาหน่อย แต่ไม่ต้องกลัวว เพราะพี่เตรียมสรุปเนื้อหามาให้แล้ว ใครอยากเข้าใจเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ม.4 ให้มากขึ้น รีบเลื่อนลงไปดูข้างล่างนี้กันได้เลยน้าา
อย่างที่พี่ได้เล่าไปตอนต้นแล้วว่า น้อง ๆ เคยเรียนการสร้างส่วนของเส้นตรงกันมาแล้ว ซึ่งจะใช้ความรู้ทางเรขาคณิตเป็นส่วนใหญ่ แต่ในหัวข้อนี้น้อง ๆ จะได้นำความรู้เรื่องเรขาคณิตมาต่อยอด โดยจะเชื่อมโยงความรู้ระหว่างพีชคณิตและเรขาคณิตเข้าด้วยกันเพื่อช่วยแก้ไขปัญหาต่าง ๆ
ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด
เช่น จุด P(3,8) กับจุด Q(6,4) จะได้ว่า
d=\sqrt{(3-6)^{2}+(8-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง
เช่น จุด P(-1,6) กับจุด Q(5,4) จะได้ว่าจุดกึ่งกลางระหว่าง (-1,6) และ (5,4) คือ \left ( \frac{-1+5}{2},\frac{6+4}{2} \right )=\left ( 2,5 \right )
ระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุด
เช่น (4, 1) กับเส้นตรง 5x-12y+18=0 จะได้ว่า
d=\frac{\left |4\cdot 5+1(-12)+18 \right |}{\sqrt{5^{2}+(-12)^{2}}}=\frac{\left | 20-12+18 \right |}{\sqrt{169}}=\frac{26}{13}=2
ระยะห่างระหว่างเส้นตรง
เช่น เส้นตรง 6x-8y+4=0 กับ 6x-8y-16=0 จะได้ว่า
d=\frac{\left |4-(-16) \right |}{\sqrt{6^{2}+(-8)^{2}}}=\frac{\left | 4+16 \right |}{\sqrt{100}}=\frac{20}{10}=2
เส้นตรง
เส้นตรง เราสามารถเขียนให้อยู่ในรูปสมการเส้นตรง คือ y=mx+c หรือรูปทั่วไปของสมการเส้นตรง คือ Ax+By+C=0 เมื่อ A, B, C เป็นค่าคงตัว โดยที่ A และ B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน
ความชันของเส้นตรง (m)
เราสามารถรู้ความชันของเส้นตรง ได้จากสมการ y=mx+c หรือจากสูตรต่อไปนี้
ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (x_{1},y_{1}) และ (x_{2},y_{2}) เมื่อ x_{1}\neq x_{2} คือ m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}
เส้นตรงขนานและตั้งฉาก
ให้ m_{1} และ m_{2} เป็นความชันของเส้นตรง l_{1} และ l_{2} ตามลำดับ จะได้ว่า
เส้นตรง l_{1} และ l_{2} ขนานกัน เมื่อ m_{1}=m_{2}
เส้นตรง l_{1} และ l_{2} ตั้งฉากกัน เมื่อ m_{1}m_{2}=-1
เช่น สมมติเส้นตรง 2 เส้นที่ต่างกัน เส้นตรงที่มีความชันเป็น 2 จะขนานกับเส้นตรงที่มีความชันเป็น 2 เนื่องจากค่าของความชันเท่ากัน จะได้ว่าเส้นตรงขนานกัน และเส้นตรงที่มีความชันเป็น 2 จะตั้งฉากกับเส้นตรงที่มีความชันเป็น -\frac{1}{2} เพราะ 2\times \left ( -\frac{1}{2} \right ) =-1
ภาคตัดกรวย ม.4
ในหัวข้อนี้ เราจะศึกษาภาคตัดกรวยโดยใช้วิธีทางเรขาคณิตวิเคราะห์มาช่วย โดยนำระนาบมาตัดกรวยกลมตรงในลักษณะที่ต่างกัน ซึ่งจะตัดโดยอิงจากแกนที่อยู่ในแนวตั้งตามรูปด้านล่างและสมการเส้นตรงหรือตัวก่อกำเนิด ดังนั้น ภาคตัดกรวยที่น้อง ๆ กำลังจะเรียนนั่นก็คือรูปในระนาบที่เกิดจากการตัดกันของระนาบกับกรวยนั่นเอง
ถ้าเราตัดโดยใช้ระนาบ (แผ่นสีเหลือง) ตามรูป จะได้ว่า
- ระนาบตั้งฉากกับแกนของกรวยข้างเดียว จะได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า วงกลม
- ระนาบไม่ตั้งฉากกับแกนของกรวย แต่ทำมุมกับแกนของกรวยขนาดใหญ่ค่าหนึ่ง ระนาบจะตัดกรวยข้างเดียว ได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า วงรี
- ระนาบขนานตัวก่อกำเนิดของกรวย ระนาบจะตัดกรวยข้างเดียว ได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า พาราโบลา
- ระนาบขนานกับแกนของกรวย ระนาบจะตัดกรวยสองข้าง จะได้ภาคตัดกรวยที่เรียกว่า ไฮเพอร์โบลา
วงกลม
วงกลม คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่ห่างจากจุด ๆ หนึ่งที่ตรึงอยู่กับที่เป็นระยะทางคงตัว จุดที่ตรึงอยู่กับที่นี้เรียกว่า จุดศูนย์กลาง (center) ของวงกลม และส่วนของเส้นตรงที่มีจุดศูนย์กลางและจุดบนวงกลมเป็นจุดปลายเรียกว่า รัศมี (radius) ของวงกลม
ตัวอย่างที่ 1 จงจัดรูปสมการ x^2+y^2+x+2y+1=0 ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน
วิธีทำ
x^2+y^2+x+2y+1=0
(x^2+x)+(y^2+2y)+1=0
\left (x^2+x+\left (\frac{1}{2} \right )^2 \right )+(y^2+2y+1^2)+1-\left (\frac{1}{2} \right )^2-1^2=0
\left ( x+\frac{1}{2} \right )^2+(y+1)^2=\frac{1}{4}
วงรี
วงรี คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ ในเซตนั้นไปยังจุดที่ตรึงอยู่กับที่สองจุดมีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวนี้ต้องมากกว่าระยะห่างระหว่างจุดที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสองจุด เรียกจุดที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสองจุดนี้ว่า โฟกัส (focus) ของวงรี
โดยวงรีที่เราจะศึกษาจะมีสองรูปน้า นั่นก็คือวงรีที่มีแกนเอกอยู่ในแนวนอน (วงรีแนวนอน) และวงรีที่มีแกนเอกในแนวตั้ง (วงรีแนวตั้ง) ซึ่งรูปแบบมาตรฐานของสมการของวงรีก็จะมี 2 แบบเช่นกัน
ตัวอย่างที่ 2 จงจัดรูปสมการ x^2+4y^2-6x+16y+21=0 ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน
วิธีทำ
x^2+4y^2-6x+16y+21=0
(x^2-6x)+4(y^2+4y)=-21
(x^2-6x+9)+4(y^2+4y+4)=-21+9+16
(x-3)^2+4(y+2)^2=4
\frac{(x-3)^2}{4}+\frac{(y+2)^2}{1}=1
\frac{(x-3)^2}{4}+(y+2)^2=1
พาราโบลา
น้อง ๆ อาจเคยรู้จักพาราโบลามาแล้วบ้างจากการเรียนเรื่องกราฟของฟังก์ชันกำลังสองหรือพาราโบลา ในระดับชั้น ม.3 ส่วนบทภาคตัดกรวยนี้ พี่จะพาน้องมารู้จักพาราโบลาเพิ่มเติม จะเป็นยังไงไปอ่านต่อกันเลย
พาราโบลา คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งห่างจากจุดที่ตรึงอยู่กับที่จุดหนึ่งและเส้นตรงที่ตรึงอยู่กับที่เส้นหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน จุดที่ตรึงอยู่กับที่นี้ เรียกว่า โฟกัสของพาราโบลา และเส้นที่ตรึงอยู่กับที่นี้เรียกว่า เส้นบังคับ หรือ ไดเรกตริกซ์ ของพาราโบลา
พาราโบลาสามารถวาดได้ 4 แบบตามรูปแบบมาตรฐานของสมการพาราโบลา ซึ่งก็คือ
- พาราโบลาหงายขึ้น
จะมีสมการรูปแบบมาตรฐานคือ (x-h)^{2}=4c(y-k) - พาราโบลาคว่ำลง
จะมีสมการรูปแบบมาตรฐานคือ (x-h)^{2}=-4c(y-k) - พาราโบลาเปิดขวา
จะมีสมการรูปแบบมาตรฐานคือ (y-k)^{2}=4c(x-h) - พาราโบลาเปิดซ้าย
จะมีสมการรูปแบบมาตรฐานคือ (y-k)^{2}=-4c(x-h)
ตัวอย่างที่ 3 จงจัดรูปสมการพาราโบลา y^{2}-6y+8x+17=0 ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน
วิธีทำ
จัดสมการพาราโบลาที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานดังนี้
y^{2}-6y+9+8x+8=0
y^{2}-6y+9=-8x-8
(y-3)^{2}=-8(x+1)
(y-3)^{2}=-4(2)(x+1)
จากสมการรูปแบบมาตรฐาน เราจะได้ว่า k=3,h = -1,c = 2
พาราโบลานี้เป็นพาราโบลาเปิดซ้ายมีจุดยอดอยู่ที่ (-1,3) , โฟกัสอยู่ที่ (-3,3) และเส้นไดเรกตริกซ์คือ x = 1 นั่นเอง
ไฮเพอร์โบลา
บทนิยามไฮเพอร์โบลาจะคล้ายกับบทนิยามของวงรี ต่างกันแค่วงรีใช้ผลบวกของระยะทางจากโฟกัสทั้งสองแต่ว่าไฮเพอร์โบลาจะใช้ผลต่างนั่นเอง
ไฮเพอร์โบลา คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยังจุดที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสองจุดมีค่าคงตัว (2a) โดยค่าคงตัวนี้ต้องน้อยกว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่ที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสองจุด เรียกจุดที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสองจุดนี้ว่า โฟกัสของไฮเพอร์โบลา
ไฮเพอร์โบลาสามารถวาดได้ 2 แบบตามรูปแบบมาตรฐานของสมการพาราโบลา ซึ่งก็คือ
- ไฮเพอร์โบลาแกนตามขวางอยู่ในแนวนอน
จะมีสมการรูปแบบมาตรฐานคือ \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 - ไฮเพอร์โบลาแกนตามขวางอยู่ในแนวตั้ง
จะมีสมการรูปแบบมาตรฐานคือ \frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1
ตัวอย่างที่ 4 จงจัดรูปสมการไฮเพอร์โบลา 16x^{2}-9y^{2}+160x+72y+112=0 ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน
วิธีทำ
จัดสมการพาราโบลาที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานดังนี้
16x^{2}+160x-9y^{2}+72y+112=0
16(x^{2}+10x)-9(y^{2}-8y)+112=0
16(x^{2}+10x)+16(25)-16(25)-9(y^{2}-8y)-9(16)+9(16)+112=0
16(x^{2}+10x+25)-16(25)-9(y^{2}-8y+16)+9(16)+112=0
16(x+5)^{2}-9(y-4)^{2}-400+144+112=0
16(x+5)^{2}-9(y-4)^{2}=144
\frac{16(x+5)^{2}}{144}-\frac{9(y-4)^{2}}{144}=1
\frac{(x+5)^{2}}{9}-\frac{(y-4)^{2}}{16}=1
\frac{(x+5)^{2}}{3^{2}}-\frac{(y-4)^{2}}{4^{2}}=1
จากสมการรูปแบบมาตรฐาน เราจะได้ว่า h=-5,k=4,a=3,b=4,c=5
ไฮเพอร์โบลานี้เป็นไฮเพอร์โบลาแกนตามขวางอยู่ในแนวนอนที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-5,4) , จุดยอดอยู่ที่ (-8, 4) และ (-2,4) ส่วนโฟกัสอยู่ที่ (-10,4) และ (0,4)
ดูคลิปติวฟรี เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ม.4
คลิปติว เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ม.4 จาก SmartMathPro
ดูคลิปติวฟรีอื่น ๆ ได้ที่ YouTube : SmartMathPro
เป็นยังไงบ้างง สำหรับสรุปเนื้อเรื่อง “เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย” ที่พี่เอามาฝากน้อง ๆ ทุกคนนนน หวังว่าจะช่วยให้น้อง ๆ ม.4 หรือคนที่กำลังเตรียมขึ้น ม.4 ได้เข้าใจเรื่องนี้มากขึ้นน้า ส่วนใครที่กังวลว่าตัวเองอาจจะไม่เข้าใจเนื้อหาในบางบทก็อย่าเพิ่งถอดใจน้าา น้อง ๆ ยังสามารถทบทวนในจุดที่ตัวเองไม่เข้าใจได้ อย่ากดดันตัวเองงง
และถ้าใครรู้สึกว่าอยากได้ตัวช่วย เพราะกลัวว่าอ่านเองแล้วอาจจะไม่เข้าใจมากพอ พี่มีคอร์สคณิต ม.ปลายมาแนะนำด้วย เป็นคอร์สที่พี่สอนเอง โดยพี่จะสอนตั้งแต่ปูพื้นฐาน โดยเนื้อหาอิงตามหลักสูตร สสวท. แถมพี่ยังพาตะลุยโจทย์ตั้งแต่โจทย์ซ้อมมือไปจนถึงข้อสอบแข่งขันเลย นอกจากนี้น้อง ๆ สามารถเลือกแพ็กเองได้ด้วยย (กระซิบว่ามีโปรโมชันลดสูงสุดถึง 35% เลยน้าา) ใครสนใจ คลิก ไปดูรายละเอียดกันเลยย
นอกจากจะทบทวนบทเรียนแล้ว พี่อยากแนะนำให้ทุกคนลองดาวน์โหลดแบบฝึกหัดจากคลังข้อสอบไปฝึกทำด้วยยยเพราะนอกจากจะช่วยทวนเนื้อหา วัดความเข้าใจของตัวเองแล้ว ยังช่วยให้น้อง ๆ ได้ฝึกคิด ฝึกแก้โจทย์หลากหลายแนว ซึ่งจะมีประโยชน์มาก ๆ เลยตอนที่เราไปสอบ ทั้งที่โรงเรียนและสนามสอบอื่นด้วยยย และสุดท้ายนี้พี่ก็ขอเป็นกำลังใจให้น้อง ๆ ทุกคนเลยน้า ใครไม่เข้าใจตรงไหนก็กลับมาอ่านบทความนี้ได้เลยย > <
บทความ แนะนำ
จำนวนจริง ม.4 สรุปครบม้วนเดียวจบ พร้อมแจกโจทย์จำนวนจริงและวิธีทำ
เซต (Set) คืออะไร สรุปเนื้อหาเซต ม.4 พร้อมโจทย์และเฉลย
ตรรกศาสตร์ ม.4 สรุปครบทุกเนื้อหาพร้อมโจทย์ตรรกศาสตร์และวิธีทำ - SmartMathPro
คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1,2 เรียนอะไร? สรุปครบทั้งพื้นฐานและเพิ่มเติม
คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 เทอม 2 เรียนอะไร? สรุปครบทั้งพื้นฐานและเพิ่มเติม
คณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1 เทอม 2 คณิตพื้นฐานและเพิ่มเติม เรียนอะไรบ้าง?
คณิตศาสตร์ ม.ปลาย (ม.4 ม.5 ม.6) หลักสูตรใหม่ เรียนเรื่องอะไรบ้าง ?
บทความ แนะนำ
คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1, ม.4 เทอม 2 คณิตพื้นฐานและเพิ่มเติม เรียนอะไรบ้าง ?
สำหรับน้อง ๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม รวมถึงติดตามข่าวสารต่าง ๆ ที่อัปเดตอย่างเรียลไทม์ ได้ที่
Line : @smartmathpronews
FB : Pan SmartMathPro ติวคณิต By พี่ปั้น
IG : pan_smartmathpro
Twitter : @PanSmartMathPro
Tiktok : @pan_smartmathpro
