มีน้อง ๆ คนไหนรู้จักหรือเคยได้ยินเกี่ยวกับ แคลคูลัส บ้างงง พี่เชื่อว่าน้อง ๆ ที่กำลังเรียนอยู่ในระดับชั้น ม.6 น่าจะพอรู้กันมาบ้างแล้ว เพราะเรื่องนี้เป็นหนึ่งในบทเรียนของคณิตศาสตร์ ม.6 ที่น้อง ๆ จะได้เรียนกันตั้งแต่เทอม 1 นี่เองง
ซึ่งความพิเศษของบทนี้คือเป็นการเรียนแคลคูลัสเบื้องต้นเพื่อเอาไปต่อยอดกับบทเรียนแคลคูลัสในระดับมหาลัยฯ ได้เลย
ดังนั้นน้อง ๆ คนไหนที่มีแพลนจะเรียนคณะที่ใช้แคลคูลัสเป็นพื้นฐาน รวมถึงน้อง ๆ ที่อยากเตรียมพร้อมและเก็บเกรด 4
ที่โรงเรียน ห้ามพลาดกับสรุปเนื้อหาที่พี่เอามาฝากวันนี้เลย เพราะท้ายบทความพี่มีแจกข้อสอบแคลคูลัสให้ไปฝึกทำพร้อมคลิปติวฟรีเสริมความเข้าใจด้วย ใครพร้อมแล้วก็เลื่อนลงไปดูกันนน
ลิมิตและความต่อเนื่อง
ลิมิตของฟังก์ชัน
บทนิยาม
ถ้าค่าของฟังก์ชัน katex is not defined เข้าใกล้จำนวนจริง katex is not defined เมื่อ katex is not defined เข้าใกล้ katex is not defined แล้วจะเรียก katex is not defined ว่าลิมิตของฟังก์ชัน katex is not defined ที่ katex is not defined โดยใช้สัญลักษณ์ katex is not defined
จากรูปจะเห็นได้ว่า ตำแหน่ง katex is not defined สามารถเข้าใกล้ได้ทั้งสองด้าน คือซ้ายและขวา
• เมื่อ katex is not defined เข้าใกล้ katex is not defined ทางด้านซ้าย เขียนแทนด้วย katex is not defined
ลิมิตซ้ายของ katex is not defined ที่ katex is not defined เขียนแทนด้วย katex is not defined
• เมื่อ katex is not defined เข้าใกล้ katex is not defined ทางด้านขวา เขียนแทนด้วย katex is not defined
ลิมิตขวาของ katex is not defined ที่ katex is not defined เขียนแทนด้วย katex is not defined
ในกรณีที่ katex is not defined เราจะสามารถสรุปได้ว่า katex is not defined
และในกรณีที่ katex is not defined จะได้ว่า
katex is not defined ไม่มีลิมิตที่ katex is not defined หรือ katex is not defined ไม่มีค่านั่นเอง
ยิ่งไปกว่านั้น katex is not defined ไม่จำเป็นว่า katex is not defined เสมอไป
เราจะเห็นว่าการวาดกราฟเป็นวิธีพื้นฐานที่สามารถใช้หาลิมิตของฟังก์ชันได้
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน
ถ้า katex is not defined และ katex is not defined โดยที่ katex is not defined เป็นจำนวนจริงแล้ว
• katex is not defined เมื่อ katex is not defined เป็นค่าคงตัวใด ๆ
• katex is not defined เมื่อ katex is not defined
• katex is not defined เมื่อ katex is not defined เป็นค่าคงตัวใด ๆ
• katex is not defined
• katex is not defined
• katex is not defined
• katex is not defined เมื่อ katex is not defined
• katex is not defined เมื่อ katex is not defined
• katex is not defined เมื่อ katex is not defined สำหรับ katex is not defined ที่เข้าใกล้ katex is not defined และ katex is not defined
เทคนิคการหาลิมิต
ในการหาลิมิตของฟังก์ชัน katex is not defined เมื่อ katex is not defined เข้าใกล้ katex is not defined กราฟของฟังก์ชันบางอย่างอาจจะมีความซับซ้อนมากจนเกินไป จึงทำให้วาดได้ยาก ดังนั้นนอกจากการวิเคราะห์โดยใช้การวาดกราฟของฟังก์ชัน katex is not defined แล้วยังมีอีกวิธีคือการแทนค่า katex is not defined ลงในฟังก์ชัน katex is not defined หรือหาค่าของ katex is not defined นั่นเอง บางครั้งการหาลิมิตของฟังก์ชันด้วยวิธีดังกล่าวอาจมีปัญหาได้ เช่น ได้ค่าที่ตัวส่วนเป็น katex is not defined หรือเกิด katex is not defined น้อง ๆ สามารถใช้เทคนิคดังต่อไปนี้ในการแก้ปัญหาข้างต้นได้
- วิธีที่ 1 ใช้การแยกตัวประกอบ
ตัวอย่างที่ 1 จงหา katex is not defined
แนวคิด ลองใช้วิธีการแทนค่า จะได้ katex is not defined แสดงว่า มีพจน์ที่ทำให้เกิด katex is not defined ทั้งเศษและส่วน
เมื่อลองแยกตัวประกอบ จะได้ว่า
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
- วิธีที่ 2 คูณด้วยคอนจูเกต
ตัวอย่างที่ 2 จงหา katex is not defined
แนวคิด ลองใช้วิธีแทนค่า จะได้ katex is not defined ในลักษณะแบบนี้ การแยกตัวประกอบอาจยากเกินไป
ใช้การคูณด้วยคอนจูเกตช่วย จะได้ว่า
katex is not defined
ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
katex is not defined เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ katex is not defined ก็ต่อเมื่อ
• katex is not defined หาค่าได้ (katex is not defined ต้องอยู่ในโดเมนของ katex is not defined )
• katex is not defined มีค่า
• katex is not defined
เราจะได้ว่า katex is not defined เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ katex is not defined ก็ต่อเมื่อ katex is not defined
ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้
katex is not defined
จงพิจารณาว่าฟังก์ชัน katex is not defined เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ katex is not defined หรือไม่
วิธีทำ เมื่อพิจารณาที่ katex is not defined จะต้องใช้ katex is not defined
จะได้ว่า katex is not defined
พิจารณา katex is not defined จะได้ว่า katex is not defined
พิจารณา katex is not defined จะได้ว่า katex is not defined
ดังนั้น katex is not defined
เพราะฉะนั้นฟังก์ชัน katex is not defined เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ katex is not defined
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
อัตราการเปลี่ยนแปลง
จากกราฟ จะเห็นว่า เมื่อ katex is not defined จะได้ค่าของฟังก์ชันคือ katex is not defined และเมื่อ katex is not defined จะได้ค่าของฟังก์ชันคือ katex is not defined จะได้ว่าเมื่อ katex is not defined เปลี่ยนจาก katex is not defined เป็น katex is not defined ค่าของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไป katex is not defined
ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ katex is not defined เทียบกับ katex is not defined เมื่อค่าของ katex is not defined เปลี่ยนจาก katex is not defined เป็น katex is not defined
จะเท่ากับ katex is not defined
น้อง ๆ ลองสังเกตจากกราฟ เมื่อค่า katex is not defined ยิ่งเข้าใกล้ katex is not defined ค่าของ katex is not defined และค่าของ katex is not defined จะมีความใกล้เคียงกันมากขึ้น
ดังนั้น เราจึงสามารถหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ katex is not defined เทียบกับ katex is not defined ขณะที่
katex is not defined ได้จาก katex is not defined นั่นเอง
บทนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
จากอัตราการเปลี่ยนแปลงของ katex is not defined เทียบกับ katex is not defined ขณะที่ katex is not defined คือ katex is not defined ถ้าลิมิตนี้หาค่าได้ เราจะเรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน katex is not defined ที่ katex is not defined ตามบทนิยามต่อไปนี้
ให้ katex is not defined เป็นฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน katex is not defined ที่ katex is not defined เขียนแทนด้วย katex is not defined คือ
katex is not defined
นอกจากสัญลักษณ์ katex is not defined ถ้า katex is not defined แล้ว อนุพันธ์ของฟังก์ชัน katex is not defined ที่ katex is not defined ยังสามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ katex is not defined
การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร
สูตรการหาอนุพันธ์พื้นฐาน
กำหนดให้ katex is not defined และ katex is not defined เป็นจำนวนจริงใด ๆ
ถ้า katex is not defined แล้ว katex is not defined
ถ้า katex is not defined แล้ว katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
จากสูตรการหาอนุพันธ์พื้นฐาน จะเห็นว่าการบวกและการลบ เราสามารถหาอนุพันธ์ทีละพจน์ได้ (การบวกและการลบกระจายได้) แต่การคูณและการหารไม่สามารถหาอนุพันธ์ทีละพจน์ได้ (การคูณและการหารกระจายไม่ได้น้า) ซึ่งการหาอนุพันธ์ผลคูณและผลหารมีสูตรเฉพาะ ดังนี้
สูตรการหาอนุพันธ์ผลคูณและผลหาร
• katex is not defined
• katex is not defined โดยที่ katex is not defined
เพื่อให้เข้าใจมากขึ้น เราลองไปดูการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตรผ่านตัวอย่างกัน
ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ katex is not defined จงหา katex is not defined
วิธีทำ katex is not defined′
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันประกอบ katex is not defined ก็สามารถหาอนุพันธ์ได้ โดยเราจะเรียกวิธีการหานี้ว่า กฎลูกโซ่ ซึ่งเราสามารถหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบได้จากสูตรนี้เลย
สูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ
katex is not defined
ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้ katex is not defined จงหา katex is not defined
วิธีทำ กำหนดให้ katex is not defined และ katex is not defined
จากสูตร จะได้ katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined′ katex is not defined′
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
เส้นสัมผัสเส้นโค้ง
ให้เส้นโค้ง katex is not defined และมีจุด katex is not defined อยู่บนเส้นโค้ง
• ความชันของเส้นสัมผัส คือ katex is not defined
• สมการเส้นสัมผัส หาได้จากสูตรสมการเส้นตรง katex is not defined ที่ katex is not defined และผ่านจุด katex is not defined
katex is not defined
ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด
จากรูปข้างต้น สังเกตได้ว่า ถ้าความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งมีค่าเป็นบวก katex is not defined แล้ว katex is not defined เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และถ้าความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งมีค่าเป็นลบ katex is not defined แล้ว katex is not defined เป็นฟังก์ชันลด นั่นเอง
จุดวิกฤต ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน
เราจะเรียก katex is not defined ที่ทำให้ katex is not defined หรือ katex is not defined ไม่มีค่า ว่า ค่าวิกฤต และเรียก katex is not defined ว่า จุดวิกฤต โดยในหลักสูตรม.ปลายนี้ เราจะพิจารณาแต่ katex is not defined
ค่าสุดขีดสัมพัทธ์
วิธีการหาค่าสุดขีดสัมพัทธ์ มีขั้นตอนดังต่อไปนี้
ขั้นตอนที่ 1 หาค่าวิกฤตจากสมการ katex is not defined
ขั้นตอนที่ 2 วาดเส้นจำนวนเพื่อหาค่าสูงสุด–ต่ำสุดสัมพัทธ์
- ถ้าเปลี่ยนจาก + เป็น – แสดงว่าเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
(ฟังก์ชันเพิ่มเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันลด) - ถ้าเปลี่ยนจาก – เป็น + แสดงว่าเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
(ฟังก์ชันลดเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันเพิ่ม)
ขั้นตอนที่ 3 สรุปคำตอบ
ตัวอย่างที่ 6 จงหาจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน katex is not defined
ขั้นตอนที่ 1 หาค่าวิกฤตจากสมการ katex is not defined
จาก katex is not defined
ถ้า katex is not defined จะได้ katex is not defined
ดังนั้น katex is not defined
ขั้นตอนที่ 2 วาดเส้นจำนวนเพื่อหาตำแหน่งของค่าสูงสุด – ต่ำสุดสัมพัทธ์
ขั้นตอนที่ 3 สรุปคำตอบ
katex is not defined
katex is not defined
ดังนั้น จุดสูงสุดสัมพัทธ์ของ katex is not defined คือ katex is not defined และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของ katex is not defined คือ katex is not defined
ค่าสุดขีดสัมบูรณ์
วิธีการหาค่าสุดขีดสัมบูรณ์มีขั้นตอนดังต่อไปนี้
ขั้นตอนที่ 1 หาค่าวิกฤตจากสมการ katex is not defined
ขั้นตอนที่ 2 เช็กช่วงว่า ค่า katex is not defined ที่ได้จากขั้นตอนที่ 1 อยู่ในช่วง katex is not defined หรือไม่ โดยเลือกเฉพาะค่าที่อยู่ในช่วง
ขั้นตอนที่ 3 นำขอบของช่วงนั่นก็คือ katex is not defined และ katex is not defined รวมไปถึงค่า katex is not defined ที่ได้จากขั้นตอนที่ 2 มาแทนค่าในฟังก์ชันเริ่มต้นเพื่อหาค่าสุดขีดสัมบูรณ์
ขั้นตอนที่ 4 สรุปคำตอบ (ค่าที่มากที่สุดเป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าที่น้อยที่สุดเป็นค่าต่ำสุดสัมบูรณ์)
ตัวอย่างที่ 7
จงหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชัน katex is not defined บนช่วงปิด katex is not defined
ขั้นตอนที่ 1 หาค่าวิกฤตจากสมการ katex is not defined
จาก katex is not defined
ถ้า katex is not defined จะได้ katex is not defined
ดังนั้น katex is not defined
ขั้นตอนที่ 2 เช็กช่วง
katex is not defined แสดงว่าจะพิจารณาที่ katex is not definedเท่านั้น
ขั้นตอนที่ 3 นำขอบมาคิดด้วย
ขอบของ katex is not defined คือ katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined (น้อยสุด)
katex is not defined (มากสุด)
ขั้นตอนที่ 4 สรุปคำตอบ
ดังนั้น ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของ katex is not defined คือ katex is not defined ที่ katex is not defined และค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ katex is not defined คือ katex is not defined ที่ katex is not defined
อนุพันธ์อันดับสูง
จากหัวข้อที่แล้วเราได้เรียนรู้เรื่องการหาอนุพันธ์ไปแล้ว และถ้าเรายังสามารถนำฟังก์ชัน katex is not defined มาหาอนุพันธ์ต่อได้อีก เราจะเรียกฟังก์ชันที่เป็นอนุพันธ์ของ katex is not defined ว่าอนุพันธ์อันดับสูงนั่นเอง
บทนิยาม
ให้ katex is not defined เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน katex is not defined ที่ katex is not defined เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะเรียกอนุพันธ์ของฟังก์ชัน katex is not defined′ ที่ katex is not defined ว่าอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของฟังก์ชัน katex is not defined ที่ katex is not defined และเขียนแทนด้วย และเขียนแทนด้วย katex is not defined
เราสามารถใช้สัญลักษณ์อื่น ๆ แทนอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ katex is not defined ที่ katex is not defined ได้อีก เช่น katex is not defined หรือ katex is not defined
ตัวอย่างที่ 8 กำหนดให้ katex is not defined จงหา katex is not defined
วิธีทำ จาก katex is not defined
จะได้ว่า katex is not defined
ดังนั้น katex is not defined
ในทำนองเดียวกัน เราสามารถกล่าวถึงอนุพันธ์อันดับที่ 3 ของ katex is not defined ที่ katex is not defined ว่าเป็นอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ 2 กล่าวถึงอนุพันธ์อันดับที่ 4 ของ katex is not defined ที่ katex is not defined ว่าเป็นอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ 3 และ อนุพันธ์อันดับที่ katex is not defined ของ katex is not defined ที่ katex is not defined ว่าเป็นอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ katex is not defined
ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน
หัวข้อก่อนหน้าเราได้ศึกษาเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันไปแล้ว ต่อไปเราจะศึกษากระบวนการที่กลับกัน นั่นคือการหาปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน เมื่อให้ katex is not defined เป็นฟังก์ชัน เราจะหาฟังก์ชัน katex is not defined ซึ่ง katex is not defined และจะเรียกฟังก์ชัน katex is not defined ว่า ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน katex is not defined
เช่น katex is not defined เป็นปฏิยานุพันธ์ของ katex is not defined
แต่ปฏิยานุพันธ์ของ katex is not defined ไม่ได้มีเพียงฟังก์ชันเดียวนะ ลองสังเกตฟังก์ชันต่อไปนี้ดู
katex is not defined
น้อง ๆ น่าจะพอรู้แล้วว่าฟังก์ชันทั้งสามที่พี่ยกตัวอย่างมาล้วนเป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน katex is not defined ทั้งหมดเลย เพราะkatex is not defined นั่นเอง
บทนิยาม
ให้ katex is not defined เป็นฟังก์ชัน ถ้า katex is not defined เป็นฟังก์ชันซึ่ง katex is not defined สำหรับทุก katex is not defined ที่อยู่ในโดเมนของ katex is not defined
แล้วจะเรียก katex is not defined ว่าเป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ katex is not defined
จากตัวอย่างข้างต้น น้อง ๆ จะเห็นว่า ฟังก์ชันใด ๆ ที่อยู่ในรูป katex is not defined เมื่อ katex is not defined เป็นค่าคงตัว จะเป็นปฏิยานุพันธ์ของ katex is not defined ทั้งหมดเลย
เราจะเขียนรูปทั่วไปของปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน katex is not defined ด้วยสัญลักษณ์ katex is not defined เรียกว่า ปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของฟังก์ชัน katex is not defined เทียบกับตัวแปร katex is not defined
การหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต
สูตรสำหรับหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของบางฟังก์ชัน
กำหนดให้ katex is not defined และ katex is not defined เป็นจำนวนจริง
• katex is not defined
• katex is not defined เมื่อ katex is not defined
• katex is not defined
• katex is not defined
การหาปริพันธ์จำกัดเขต
ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส
กำหนดให้ katex is not defined เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน katex is not defined ถ้าkatex is not defined เป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน katex is not defined แล้ว
katex is not defined
ตัวอย่างที่ 9 จงหา katex is not defined
วิธีทำ
จาก katex is not defined เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง katex is not defined
และปฏิยานุพันธ์ของ katex is not defined
คือ katex is not defined เมื่อ katex is not defined เป็นค่าคงตัว
จะได้ว่า
katex is not defined
พื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
จากหัวข้อก่อนหน้า เราได้ศึกษาเกี่ยวกับปริพันธ์จำกัดเขตไปแล้ว โดยการเขียนปริพันธ์จำกัดเขตในรูป
katex is not defined คือพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง katex is not defined จาก katex is not defined
ถึง katex is not defined เมื่อ katex is not defined สำหรับทุก katex is not defined
ในหัวข้อนี้เราจะศึกษาวิธีการหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง katex is not defined กับแกน katex is not defined โดยแยกพิจารณาบนช่วงที่ katex is not defined (เส้นโค้งที่ปิดล้อมอยู่เหนือแกน katex is not defined) และ
katex is not defined (เส้นโค้งที่ปิดล้อมอยู่ใต้แกน katex is not defined) ดังนี้
เช่น
พื้นที่ใต้กราฟในช่วง 0 ถึง 2 เท่ากับ 5 และ katex is not defined
พื้นที่ใต้กราฟในช่วง 2 ถึง 3 เท่ากับ 2 แต่ katex is not defined
ดังนั้น พื้นที่ใต้กราฟกับค่าอินทิเกรตไม่จำเป็นต้องเท่ากันเสมอไป
Q&A ตอบคำถามเกี่ยวกับแคลคูลัส
บทนี้เป็นบทที่หลายคนคิดว่ายาก แต่ถ้าน้อง ๆ มีพื้นฐานความรู้จากบทจำนวนจริง บทความสัมพันธ์และฟังก์ชัน (จริง ๆ แล้วบทแคลคูลัสเหมือนเป็นภาคต่อของบทนี้เลยแหละ) และบทเรขาคณิตวิเคราะห์ จะทำให้เรียนเนื้อหาในบทแคลคูลัสได้ง่ายขึ้น ทำความเข้าใจได้เร็วขึ้นแน่นอน
แคลคูลัสที่น้อง ๆ ม.6 กำลังเรียนอยู่จะเป็นความรู้พื้นฐานที่จะนำไปใช้ต่อยอดในแคลคูลัสระดับมหาวิทยาลัย โดยแคลคูลัสระดับ ม.ปลาย จะเน้นฟังก์ชันพหุนาม แต่ในระดับมหาวิทยาลัยจะเพิ่มส่วนของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันลอการิทึม ฟังก์ชันตรีโกณมิติเข้าไปด้วย และบางคณะอาจมีเนื้อหาในบทเรียน ม.ปลาย อื่น ๆ เพิ่มอีกด้วย เช่น เวกเตอร์ ลำดับและอนุกรม เป็นต้น
คำตอบของคำถามนี้ขึ้นอยู่กับแต่ละบุคคล แต่ละอาชีพว่าจำเป็นต้องนำความรู้แคลคูลัสไปใช้มากหรือน้อยแค่ไหน หรือบางอาชีพอาจไม่ได้ใช้ความรู้แคลคูลัสเลย
แต่สำหรับน้อง ๆ ม.6 แน่นอนว่าต้องเรียนบทแคลคูลัสเพื่อนำไปใช้ในการสอบในห้องเรียน และหลายคนต้องใช้สอบเข้าเพื่อศึกษาต่อในระดับมหาวิทยาลัย
และถ้าน้อง ๆ อยากประกอบอาชีพเกี่ยวกับนักพัฒนาโปรแกรมคอมพิวเตอร์ อาจารย์ นักวิจัยทางด้านวิทยาศาสตร์ และวิศวกร ความรู้เกี่ยวกับแคลคูลัสนี้จะสำคัญอย่างมากสำหรับน้อง ๆ เพราะแคลคูลัสเป็นพื้นฐานของสูตรทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ (โดยเฉพาะฟิสิกส์) หลายสูตรเลยน้าา
ดูคลิปติวฟรี แคลคูลัส ม.6
คลิปติว แคลคูลัส ม.6 จาก SmartMathPro
ติดตามคลิปติวฟรีอื่น ๆ จากพี่ปั้น ได้ทาง YouTube Channel : SmartMathPro
เป็นยังไงบ้างง สำหรับสรุปเนื้อหาเรื่องแคลคูลัส ม.6 ที่พี่เอามาฝาก สำหรับใครที่มีแพลนจะเรียนต่อในคณะสายวิทย์ อาจจะต้องเจอกับเรื่องแคลคูลัสอีกครั้งในระดับมหาลัยฯ ซึ่งพอเป็นระดับที่สูงขึ้น เนื้อหาก็จะยากขึ้นเป็นธรรมดา ดังนั้นพี่เลยอยากแนะนำให้ทบทวนบทนี้ให้ดี ๆ น้า โดยอาจจะทบทวนจากการทำโจทย์เยอะ ๆ ให้ตัวเองคุ้นกับโจทย์ที่หลากหลายแนว แต่ถ้าใครไม่รู้จะไปหาโจทย์จากไหนมาฝึกก็สามารถเข้าไปดาวน์โหลดข้อสอบแคลคูลัส ม.6 กันได้เลยย
ส่วนน้อง ๆ ที่ยังไม่เข้าใจบทนี้ เวลาทำโจทย์อาจจะสับสนได้ พี่แนะนำว่าควรเก็บเนื้อหาให้แม่น ๆ ก่อน โดยอาจจะเริ่มจากกลับไปทบทวนบทที่ควรรู้ก่อนเรียนแคลคูลัสก็ได้น้า
แต่ถ้าใครกังวลว่าถ้าทบทวนเองแล้วก็ยังไม่เข้าใจ อยากได้คนช่วยอธิบายเนื้อหาและทำโจทย์บทแคลคูลัส รวมถึงเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย บทอื่น ๆ พี่ขอแนะนำคอร์สติวคณิตศาสตร์ ม.4 – 6 แบบบุฟเฟต์สำหรับเสริมเกรด จาก SmartMathPro เลยย สมัครครั้งเดียวคุ้มมากกเรียนได้จนจบม.6 พร้อมส่วนลดสูงสุด 35%
โดยในคอร์ส พี่ปูพื้นฐานละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติมก็ คลิก ได้เลย
บทความ แนะนำ
คณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1 เทอม 2 คณิตพื้นฐานและเพิ่มเติม เรียนอะไรบ้าง?
ลำดับและอนุกรม ม.6 สรุปเนื้อหาพร้อมตัวอย่างโจทย์และวิธีทำ
สถิติ ม.6 สรุปเนื้อหาสถิติและข้อมูล พร้อมโจทย์แบบจัดเต็ม ! - SmartMathPro
คณิตศาสตร์ ม.ปลาย (ม.4 ม.5 ม.6) หลักสูตรใหม่ เรียนเรื่องอะไรบ้าง ?
A-Level คณิต 1, A-Level คณิต 2 TCAS67 สอบอะไรบ้าง? อัปเดตล่าสุด
ข้อสอบ A-Level คณิต 1 และคณิต 2 67 ออกอะไรบ้าง ? พร้อมแจกบทน่าเก็บ
A Level คณิตศาสตร์ 1 กับ 2 ต่างกันยังไง? ยื่นคณะไหนได้บ้าง?
บทความ แนะนำ
คณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1 เทอม 2 คณิตพื้นฐานและเพิ่มเติม เรียนอะไรบ้าง?
สำหรับน้อง ๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม รวมถึงติดตามข่าวสารต่าง ๆ ที่อัปเดตอย่างเรียลไทม์ ได้ที่
Line : @smartmathpronews
FB : Pan SmartMathPro ติวคณิต By พี่ปั้น
IG : pan_smartmathpro
X : @PanSmartMathPro
Tiktok : @pan_smartmathpro
Lemon8 : @pan_smartmathpro
