chisanuchaคณิต ม.ปลาย, เนื้อหาวิชาการ
สรุปเนื้อหาสถิติ ม.6 เรียนเรื่องอะไรบ้าง

มีใครอยากได้สรุปเนื้อหาคณิตม.ปลาย กันบ้างไหมน้า วันนี้พี่มีบทความใหม่อย่างเรื่องสถิติ มาฝากทุกคนกันด้วย !!
แต่น้อง ๆ บางคนที่เห็นชื่อเรื่องแล้วอาจจะสงสัยว่าเรื่องนี้มันใหม่ตรงไหน ก็เคยเรียนในคณิต ม.ต้นไปแล้วนี่หน่า

จริง ๆ แล้วเรื่องสถิติเป็นเรื่องที่กระจายตัวอยู่ทั้งในคณิต ม.ต้น และคณิต ม.ปลาย ซึ่งเนื้อหาที่พี่เอาสรุปมาฝากทุกคนจะเป็นในส่วนของ สถิติ ม.6 หรือ สถิติศาสตร์และข้อมูล ไปดูกันดีกว่าเนื้อหาเรื่องสถิติในคณิต ม.6 จะแตกต่างหรือ
มีส่วนไหนที่เหมือนกับคณิตม.ต้นบ้างงงงง

ความหมายของสถิติศาสตร์และข้อมูล

การที่จะคิดหรือตัดสินใจบางอย่าง สิ่งที่จำเป็นที่สุดคือ ข้อมูล ตั้งแต่ปริมาณน้อยจนปริมาณขนาดใหญ่ ข้อมูลทั้งหลายต่างก็มีประโยชน์ ผู้คนจึงหาวิธีจัดการข้อมูลเหล่านี้เพื่อนำไปใช้ได้ง่ายขึ้น โดยกระบวนการหรือความรู้ต่าง ๆ จึงมารวมกัน เป็นศาสตร์ที่เรานิยมเรียกกันว่า สถิติศาสตร์

คำสำคัญทางสถิติ

ประชากร (population)

กลุ่มของหน่วยทั้งหมดในเรื่องที่สนใจศึกษา หน่วยในที่นี้อาจเป็นคน สัตว์ หรือสิ่งของ

ตัวอย่าง (sample)

กลุ่มย่อยของประชากรที่ถูกเลือกมาเป็นตัวแทนของประชากร โดยทั่วไปมีวัตถุประสงค์เพื่อใช้ตัวอย่างในการสรุปผลเกี่ยวกับลักษณะของประชากรที่สนใจ

ตัวแปร (variable)

ลักษณะบางประการของประชากรหรือตัวอย่างที่สนใจศึกษา

ข้อมูล (data)

ข้อความที่เกี่ยวกับเรื่องใดเรื่องหนึ่งที่สามารถใช้ในการสรุปผลในเรื่องที่สนใจศึกษา อาจเป็นได้ทั้งตัวเลขหรือไม่ใช่ตัวเลข หรืออาจหมายถึงค่าของตัวแปรที่สนใจศึกษา

พารามิเตอร์ (parameter)

ค่าวัดที่แสดงลักษณะของประชากร ซึ่งเป็นค่าคงตัวที่คำนวณหรือประมวลจากข้อมูลทั้งหมดของประชากร

ค่าสถิติ (statistic)

ค่าคงตัวที่พิจารณาจากข้อมูลของตัวอย่าง โดยมีวัตถุประสงค์เพื่ออธิบายลักษณะของตัวอย่างนั้น หรือเพื่อประมาณค่าของพารามิเตอร์แล้วนำไปใช้ในการอธิบายลักษณะของประชากร

ประเภทของข้อมูล

1. การแบ่งประเภทของข้อมูลตามแหล่งที่มาของข้อมูล

ข้อมูลปฐมภูมิ (primary data)
คือ ข้อมูลที่ผู้ใช้ดำเนินการเก็บรวบรวมจากเจ้าของข้อมูลหรือต้นกำเนิดของข้อมูลโดยตรง

ข้อมูลทุติยภูมิ (secondary data)
คือ ข้อมูลที่ผู้ใช้ไม่ได้ดำเนินการเก็บรวบรวมจากเจ้าของข้อมูลหรือต้นกำเนิดของข้อมูลโดยตรง แต่ใช้ข้อมูลจากบุคคลหรือหน่วยงานอื่น

2. การแบ่งประเภทของข้อมูลตามระยะเวลาที่จัดเก็บ

ข้อมูลอนุกรมเวลา (time series data)
คือ ชุดข้อมูลที่เกิดขึ้นและจัดเก็บตามลำดับเวลาต่อเนื่องกันไปตลอดช่วง ๆ หนึ่ง

ข้อมูลตัดขวาง (cross-sectional data)
คือ ข้อมูลที่บอกสถานะหรือสภาพของสิ่งที่สนใจ
ณ จุดหนึ่งของเวลา 

3. การแบ่งประเภทของข้อมูลตามลักษณะของข้อมูล

ข้อมูลเชิงปริมาณ (quantitative data)
คือ ข้อมูลที่ได้จากการวัดหรือการนับค่า
โดยแสดงเป็นตัวเลขหรือปริมาณที่สามารถนำไปบวก ลบ คูณ หรือหาร และเปรียบเทียบกันได้

ข้อมูลเชิงคุณภาพ (qualitative data)
คือ ข้อมูลที่แสดงลักษณะ ประเภท สมบัติ
ในเชิงคุณภาพ และอื่น ๆ ที่ไม่สามารถ
วัดค่าเป็นตัวเลขที่นำมาบวก ลบ คูณ หรือหารกันได้

ประเภทของการวิเคราะห์ข้อมูล

สถิติศาสตร์เชิงพรรณนา (descriptive statistics)
คือ การวิเคราะห์ข้อมูลที่สรุปสาระสำคัญของข้อมูลชุดหนึ่ง ซึ่งเป็นข้อมูลเชิงคุณภาพหรือข้อมูลเชิงปริมาณ
เพื่ออธิบายลักษณะหรือสภาพของข้อมูลชุดนั้นว่าเป็นอย่างไร

สถิติศาสตร์เชิงอนุมาน (inferential statistics)
คือ การวิเคราะห์ข้อมูลที่ใช้ทฤษฎีที่เกี่ยวกับความน่าจะเป็นในการหาข้อสรุปเกี่ยวกับลักษณะของประชากรโดยใช้ข้อมูลจากตัวอย่างที่ได้มาจากประชากรนั้น

การวิเคราะห์ข้อมูลและนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพ

ในหัวข้อนี้ เราจะวิเคราะห์ข้อมูลเชิงคุณภาพโดยพิจารณาจากความถี่และฐานนิยม

ความถี่ (frequency)

คือ จำนวนครั้งของการเกิดข้อมูลข้อมูลหนึ่งและค่าของตัวแปรค่าหนึ่ง

ฐานนิยม (mode)

คือ ข้อมูลที่มีจำนวนครั้งของการเกิดซ้ำกันมากที่สุดหรือข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดที่มากกว่า 1

ตามหนังสือสสวท. กล่าวไว้ว่า ข้อมูลบางชุดอาจไม่มีฐานนิยม เช่น ในกรณีที่ข้อมูลมีความถี่เป็น 1 เท่ากันหมด นอกจากนี้ ข้อมูลบางชุดอาจมีฐานนิยมมากกว่า 1 ค่า อย่างไรก็ตาม ในที่นี้จะพิจารณาเฉพาะชุดข้อมูลที่มีฐานนิยมเพียงค่าเดียว

การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยตารางความถี่

การนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพในรูปตารางความถี่ (frequency table) จะมีด้วยกัน 2 รูปแบบคือ ตารางความถี่จำแนกทางเดียว (one-way frequency table) และ ตารางความถี่จำแนกสองทาง (two-way frequency table)

ตารางความถี่จำแนกทางเดียว

เป็นการนําเสนอข้อมูลในรูปตารางของตัวแปรหนึ่งตัว เช่น

การสำรวจสีเสื้อของเด็ก ๆ ทั้ง 10 คน สามารถเขียนตารางความถี่ได้ดังนี้

สีเสื้อ แดง ดำ ขาว รวม
ความถี่
1
4
5
10

หรือ

สีเสื้อ ความถี่
แดง
1
ดำ
4
ขาว
5
รวม
10

นอกจากนี้เราอาจเปรียบเทียบข้อมูลในตารางโดยใช้ความถี่สัมพัทธ์ได้เช่นกัน

ความถี่สัมพัทธ์

คือ สัดส่วนของความถี่เทียบกับความถี่ทั้งหมด ซึ่งอาจเขียนได้ 2 รูปแบบ คือ แบบสัดส่วน และ แบบร้อยละ

ความถี่สัมพัทธ์ของข้อมูลและสถิติ

ตัวอย่างที่ 1 จากข้อมูลตารางความถี่ของการสำรวจสีเสื้อของเด็ก ๆ ทั้ง 10 คน ที่กำหนดให้

จงเขียนแสดงความถี่สัมพัทธ์ของแต่ละข้อมูล

ตัวอย่างข้อมูลความถี่สัมพัทธ์ในสถิติ

ตารางความถี่จำแนกสองทาง

เป็นการนําเสนอข้อมูลในรูปตารางซึ่งมีตัวแปรที่สนใจศึกษา 2 ตัว เรียกความถี่ของข้อมูลที่มีลักษณะร่วมกันจากทั้งสองตัวแปรว่า ความถี่ร่วม เช่น 

จากการสำรวจการเล่นกีฬาฟุตบอลกับกีฬาแบดมินตันของพนักงาน SMP โดยแบ่งตามเพศสามารถเขียนตารางความถี่ได้ดังนี้

เพศ กีฬาฟุตบอล กีฬาแบดมินตัน รวม
ชาย
20
25
45
หญิง
15
20
35
รวม
35
45
80

การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงคุณภาพด้วยแผนภาพ

ในหัวข้อนี้จะเป็นการทบทวนแผนภูมิต่าง ๆ ที่เจอกันมาแล้วในช่วงมัธยมศึกษาตอนต้น

แผนภูมิรูปภาพ

เป็นการนําเสนอข้อมูลโดยใช้รูปภาพหรือสัญลักษณ์แสดงความถี่ของแต่ละข้อมูล เช่น การสำรวจเกรดวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 สามารถเขียนแผนภูมิรูปภาพได้ดังนี้

แผนภูมิรูปภาพของสถิติ ม.6

แผนภูมิรูปวงกลม

เป็นการนําเสนอข้อมูลโดยใช้พื้นที่ภายในของรูปวงกลมแทนความถี่ โดยสัดส่วนของความถี่ของแต่ละข้อมูลเท่ากับสัดส่วนของขนาดของมุมที่จุดศูนย์กลางของรูปวงกลม เช่น 

การสำรวจคนชอบกีฬาชนิดต่าง ๆ ของ พนักงานในโรงงานแห่งหนึ่ง สามารถเขียนแผนภูมิรูปวงกลมได้ดังนี้ 

แผนภูมิวงกลมของสถิติและข้อมูล

แผนภูมิแท่ง

เป็นการนําเสนอข้อมูลด้วยแท่งรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก โดยใช้ความยาวของแท่งแสดงความถี่ของข้อมูลมี 3 แบบ คือ 
แผนภูมิแท่งเชิงเดี่ยว แผนภูมิแท่งพหุคูณ และ แผนภูมิแท่งส่วนประกอบ

  • แผนภูมิแท่งเชิงเดี่ยว เป็นแผนภูมิแท่งซึ่งมีตัวแปรเพียงหนึ่งตัว เช่น การสำรวจคนใช้แอปพลิเคชันต่าง ๆ สามารถเขียนแผนภูมิแท่งเชิงเดี่ยวได้ดังนี้ 
แผนภูมิแท่งเชิงเดี่ยวสถิติ
  • แผนภูมิแท่งพหุคูณ เป็นแผนภูมิแท่งซึ่งมีตัวแปรที่สนใจศึกษาตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป เช่น การสำรวจจำนวนผู้ใช้สถานีเติมน้ำมันต่าง ๆ ในแต่ละเดือนสามารถเขียนแผนภูมิแท่งพหุคูณได้ดังนี้
สถิติคนใช้ปั๊มน้ำมัน แผนภูมิแท่งพหุคูณ
  • แผนภูมิแท่งส่วนประกอบ เป็นแผนภูมิแท่งที่แสดงจำนวนรวมและส่วนประกอบของจำนวนรวมนั้น โดยการแบ่งเป็นส่วนย่อย ๆ เช่น การสำรวจผู้เข้าร่วมกิจกรรมขึ้นดอยมีจำนวนผู้เข้าร่วมแต่ละเพศที่เข้ากลุ่มซึ่งแบ่งเป็น 2 กลุ่ม
    กลุ่มละ 100 คน สามารถเขียนแผนภูมิแท่งส่วนประกอบได้ดังนี้
แผนภูมิแท่งส่วนของประกอบของสถิติจำนวนคน

การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณด้วยตารางความถี่

จำได้รึเปล่าเอ่ยว่าข้อมูลเชิงคุณภาพที่แสดงด้วยตารางความถี่สามารถนำมาใช้ในการวิเคราะห์ต่าง ๆ ได้ ในส่วนของข้อมูลเชิงปริมาณก็สามารถทำได้เช่นกัน

ซึ่งจะใช้ตารางความถี่ 2 แบบหลัก ได้แก่ ตารางความถี่แบบไม่ได้แบ่งข้อมูลเป็นช่วง และตารางความถี่แบบแบ่งข้อมูลเป็นช่วงนั่นเอง

  • ตารางความถี่แบบไม่ได้แบ่งข้อมูลเป็นช่วง จะเหมาะสำหรับค่าความเป็นไปได้ของข้อมูลที่มีจำนวนน้อย เช่น

จำนวนวัน Work from home ของพนักงานในบริษัท SMP

เวลา (วัน) 1 2 3 4 5
จำนวนคน
21
5
20
10
  • ตารางความถี่แบบแบ่งเป็นช่วง จะเหมาะสำหรับค่าที่เป็นไปได้ของข้อมูลมีจำนวนมาก 

การเขียนตารางความถี่ทำได้โดยการหาความกว้างของอันตรภาคชั้นจาก

(ค่าสุดท้าย – ค่าเริ่มต้น) / จำนวนอันตรภาคชั้นที่ต้องการ

จำไว้ว่าหากค่าที่คำนวณได้ไม่เป็นจำนวนเต็มจะต้องปัดขึ้นเท่านั้นนะ !!!

ตัวอย่างตารางความถี่แบบแบ่งเป็นช่วง เช่น

จำนวนชั่วโมงของนักเรียนที่เรียนกับ SMP ใช้ในการอ่านทบทวนบทเรียนในหนึ่งสัปดาห์

เวลา (ชั่วโมง) 0-3 4-7 8-11 12-15 16-19
จำนวนคน
30
50
100
120
60

การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณด้วยแผนภาพ

การใช้ตารางความถี่ในการวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลอาจจะไม่ทำให้เห็นการแจกแจงของข้อมูลมากพอ ดังนั้นเราจึงใช้แผนภาพมาช่วยวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณให้ดีขึ้น มีดังต่อไปนี้

ฮิสโทแกรม (histogram)

เป็นการนำเสนอข้อมูลโดยใช้แท่งสี่เหลี่ยมมุมฉากที่เรียงติดกันบนแกนนอน เมื่อแกนนอนแทนค่าของข้อมูล และความสูงของแท่งแทนความถี่ของข้อมูล คล้าย ๆ กับแผนภูมิแท่ง เช่น

ฝ่ายทรัพยากรบุคคลของบริษัท SMP ได้เก็บข้อมูลจำนวนชั่วโมงที่พนักงานในบริษัทนอนหลับในหนึ่งวันของพนักงานทั้งหมด 40 คน ได้ดังนี้

การวิเคราะห์สถิติและนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณด้วยแผนภาพฮิสโทแกรม

แผนภาพจุด (dot plot)

เป็นการนำเสนอข้อมูลโดยใช้จุดแทนข้อมูลแต่ละตัว เรียงกันในแนวตั้งตรงกับตำแหน่งที่แสดงค่าของข้อมูลแต่ละตัว 

เช่น คะแนนสอบปลายภาคเรียนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้น ม.2 ห้องหนึ่งเป็นดังนี้

21   25   15   25   16   16   17   22   19

เขียนแผนภาพจุดได้ดังนี้

นำเสนอข้อมูลสถิติโดยใช้แผนภาพจุด

แผนภาพลำต้นและใบ (stem and leaf plot)

เป็นการนำเสนอข้อมูลโดยใช้แผนภาพ โดยเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก และมีอยู่ด้วยกัน 2 ส่วน คือส่วนลำต้น แทนข้อมูลส่วนที่ไม่ใช่หลักหน่วย และส่วนใบ แทนข้อมูลที่เป็นหลักหน่วย เช่น

อายุของคนที่เข้ามาดูข้อมูลชุด A และข้อมูลชุด B บนเว็บไซต์ www.smartmathpro.com เป็นดังนี้

แผนภาพกล่อง (box plot)

เป็นการนำเสนอข้อมูลที่น้องได้เรียนมาแล้วในสถิติม. 3 จำได้กันไหมเอ่ย แต่ที่เพิ่มเติมมาจากเนื้อหาในม.ต้น คือ
ค่านอกเกณฑ์นั่นเอง ค่านอกเกณฑ์ก็คือค่าที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติหรืออาจจะเป็นค่าความคาดเคลื่อนจากการเก็บข้อมูล โดยหาได้จาก

  • ค่าที่น้อยกว่า Q_{1}-1.5(Q_{3}-Q_{1}) หรือ

  • ค่าที่มากกว่า Q_{3}+1.5(Q_{3}-Q_{1}) นั่นเอง

การเขียนแผนภาพกล่องของสถิติ ไม่มีค่านอกเกณฑ์
การเขียนแผนภาพกล่องของสถิติ มีค่านอกเกณฑ์

แผนภาพกล่องกับการกระจายข้อมูล

นอกจากที่เราเรียนรู้มาแล้ว ความเจ๋งของแผนภาพกล่องอีกอย่าง คือเราสามารถใช้แผนภาพกล่องในการวิเคราะห์  การกระจายของข้อมูลได้อีกด้วย

ตัวอย่างที่ 2

จากข้อมูลที่กำหนดให้ จงตอบคำถามต่อไปนี้

แผนภาพกล่องกับการกระจายข้อมูล ทางสถิติ

1. ในวิชาภาษาญี่ปุ่น มีนักเรียนชั้นม. 5 ห้องศิลป์ภาษาทั้งหมดกี่เปอร์เซ็นต์ที่ได้คะแนนมากกว่า 15 คะแนน

วิธีทำ

จากแผนภาพจะเห็นว่าที่ 15 คะแนนเป็นตำแหน่ง Q_{2} ในแผนภาพกล่อง ของทั้งสองวิชา ซึ่ง Q_{2} คือตำแหน่งกึ่งกลางของข้อมูลทั้งหมด

ดังนั้น จะได้ว่า ในวิชาภาษาญี่ปุ่น มีนักเรียนชั้นม. 5 ห้องศิลป์ภาษาทั้งหมด 50% ที่ได้คะแนนมากกว่า 15 คะแนน

2. จากแผนภาพ คะแนนช่วงไหนของวิชาภาษาญี่ปุ่นและวิชาภาษาฝรั่งเศสมีการกระจายตัวมากที่สุด

วิธีทำ

ข้อมูลในแต่ละช่วงของแผนภาพกล่องจะมีจำนวน 25% ของจำนวนข้อมูลทั้งหมด ดังนั้นในการพิจารณาการกระจายของข้อมูลเราจะดูจากความกว้างของแต่ละช่วง หากช่วงไหนมีความกว้างมากก็จะได้ว่ามีการกระจายตัวมากนั่นเอง

วิชาภาษาญี่ปุ่น จะเห็นว่าช่วง Q_{1} ถึง Q_{2} มีความกว้างของช่วงมากที่สุด 

ดังนั้น ในวิชาภาษาญี่ปุ่น คะแนนระหว่าง 9 ถึง 15 มีการกระจายตัวมากที่สุด

วิชาภาษาฝรั่งเศส จะเห็นว่าช่วง ค่าต่ำสุด ถึง Q_{1} มีความกว้างของช่วงมากที่สุด

ดังนั้น ในวิชาภาษาฝรั่งเศส คะแนนระหว่าง 6 ถึง 12 มีการกระจายตัวมากที่สุด

จากแผนภาพที่ผ่านมาเป็นการนำเสนอข้อมูลที่มีตัวแปรเพียงหนึ่งตัวเท่านั้น ถ้าหากเรามีข้อมูลที่ไม่ได้มีเพียงตัวแปรเดียว หรือไม่รู้ว่าตัวแปรไหนเป็นตัวแปรต้นหรือตัวแปรตาม เราก็จะใช้แผนภาพต่อไปนี้

แผนภาพการกระจาย (scatter plot)

คือ การนำเสนอข้อมูลที่มีสองตัวแปรในรูปแบบการกระจายของจุด ซึ่งจะแสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ของสองตัวแปรนั้น

นำเสนอข้อมูลสถิติด้วยแผนภาพการกระจาย
ตัวอย่างสถิติ แผนภาพการกระจาย

ค่าวัดทางสถิติ

ค่ากลางของข้อมูล

น้อง ๆ ได้ศึกษาเรื่องค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมกันมาแล้วในสถิติระดับ ม.ต้น ซึ่งค่าทั้งสามนี้เรียกว่า 

ค่ากลางของข้อมูล แต่ละค่าก็จะมีข้อดี ข้อเสีย และความเหมาะสมในการนำไปใช้ที่แตกต่างกัน

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (arithmetic mean) เป็นค่าที่หาได้จากการหารผลรวมของข้อมูลทั้งหมดด้วยจำนวนข้อมูลที่มี 

ซึ่งสูตรในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะมี 2 สูตรนะ คือสูตรที่ใช้สำหรับประชากรและตัวอย่าง น้อง ๆ อย่าลืมอ่านโจทย์ให้ดีก่อนเลือกใช้สูตรนะ

สูตรหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตใน สถิติ ม.6

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก (weighted arithmetic mean) เหมาะสำหรับใช้กรณีที่แต่ละค่ามีความสำคัญไม่เท่ากัน

เช่น การคำนวณเกรดเฉลี่ย (GPA) ซึ่งแต่ละวิชามีหน่วยกิตไม่เท่ากัน โดยหาได้จากสูตร

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก =\frac{w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3+\cdots +w_Nx_N}{w_1+w_2+w_3+\cdots +w_N}

เมื่อ x_1, x_2, x_3, …, x_N แทนข้อมูล

N แทนขนาดประชากร และ w_1, w_2, w_3, …, w_N แทนน้ำหนักของข้อมูล x_1, x_2, x_3, …, x_N ตามลำดับ

ตัวอย่างที่ 3

ส้มลงทะเบียนเรียน 4 วิชา ซึ่งแต่ละวิชามีหน่วยกิตไม่เท่ากัน และส้มได้เกรดแต่ละวิชาดังนี้

วิชา คณิต ไทย สังคม อังกฤษ
เกรด
4.0
4.0
2.5
3.5
หน่วยกิต
2
1
1
1

จงหาเกรดเฉลี่ยของส้ม

วิธีทำ

จาก ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก =\frac{w_1x_1+w_2x_2+w_3x_3+\cdots +w_Nx_N}{w_1+w_2+w_3+\cdots +w_N}

จะได้ เกรดเฉลี่ยของส้ม

=\frac{(2)(4.0)+(1)(4.0)+(1)(2.5)+(1)(3.5)}{2+1+1+1}

=\frac{18}{5}

=3.60

มัธยฐาน

มัธยฐาน คือ ข้อมูลที่อยู่ในตำแหน่งกึ่งกลาง แต่ระวังว่าก่อนน้อง ๆ จะหาว่าข้อมูลไหนอยู่ตำแหน่งกึ่งกลาง จะต้องเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก หรือมากไปน้อยด้วยนะ

ถ้าข้อมูลมีจำนวนมาก เราคงไม่สะดวกใช้วิธีการมองหาข้อมูลในตำแหน่งกึ่งกลางตรง ๆ น้องสามารถใช้สูตรนี้ได้นะ

ถ้าข้อมูลมี n ตัว และเรียงข้อมูลจากน้อยไปมากหรือมากไปน้อยแล้ว

จะได้ว่ามัธยฐานอยู่ในตำแหน่ง \frac{n+1}{2}

ระวังนิดนึงน้า น้อง ๆ บางคนแทนค่า n หา \frac{n+1}{2} แล้วเอาไปตอบเลยจะผิดนะ เพราะค่าที่ได้เป็นตำแหน่งของมัธยฐาน ไม่ใช่ค่าของข้อมูลที่เป็นมัธยฐานนะ

ฐานนิยม

ฐานนิยม คือ ข้อมูลที่มีจำนวนครั้งของการเกิดซ้ำมากที่สุด ซึ่งน้อง ๆ ที่อ่านมาถึงตรงนี้อาจจะคุ้นว่า เราสามารถหาฐานนิยมในข้อมูลเชิงคุณภาพได้ และถูกต้องแล้วน้าา เราสามารถหาฐานนิยมในข้อมูลเชิงปริมาณได้เหมือนกันนะ

การกระจายของข้อมูล

รูปร่างความสัมพันธ์ระหว่างการกระจายข้อมูลและค่ากลางของข้อมูลแบ่งได้เป็น 3 แบบ คือ การแจกแจงแบบสมมาตร การแจกแจงเบ้ขวา และการแจกแจงเบ้ซ้าย ตามภาพด้านล่างนี้เลยนะ

การแจกแจงข้อมูลและสถิติแบบสมมาตร
การแจกแจงข้อมูลสถิติแบบเบ้ซ้ายและเบ้ขวา
  • การแจกแจงแบบสมมาตร : โค้งโด่งตรงกลาง แปลว่าข้อมูลหนาแน่นตรงกลาง
  • การแจกแจงเบ้ขวา : โค้งโด่งทางซ้าย ข้อมูลทางซ้ายหนาแน่น แปลว่าข้อมูลเบ้ขวา
  • การแจกแจงเบ้ซ้าย : โค้งโด่งทางขวา ข้อมูลทางขวาหนาแน่น แปลว่าข้อมูลเบ้ซ้าย

ค่่าวัดการกระจาย

โดยทั่วไป การวัดการกระจายแบ่งได้ 2 วิธี คือ การกระจายสัมบูรณ์ (absolute variation) และ การกระจายสัมพัทธ์ (relative variation)

การกระจายสัมบูรณ์ ในระดับชั้นนี้จะศึกษาการวัดการกระจายสัมบูรณ์ 4 ชนิด คือ

1.พิสัย

พิสัยสัย (range) คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูลชุดหนึ่ง โดยหาได้จากผลต่างระหว่างค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของข้อมูลชุดนั้น 

กำหนดให้ข้อมูลหนึ่งมี x_{max} และ x_{min} เป็นค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด ตามลำดับ

พิสัย = x_{max}-x_{min}

2. พิสัยระหว่างควอร์ไทล์

พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ (interquartile range) คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูลโดยใช้ผลต่างระหว่าง
ควอร์ไทล์ที่สาม และควอร์ไทล์ที่หนึ่ง เขียนแทนพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ด้วย IQR

ให้ Q_1 และ Q_3 เป็นควอร์ไทล์ที่หนึ่งและควอร์ไทล์ที่สาม ของข้อมูลชุดหนึ่ง จะได้

IQR=Q_3-Q_1

น้อง ๆ ที่อ่านมาถึงตรงนี้น่าจะเคยเห็นสัญลักษณ์ IQR มาแล้วจากการหาค่านอกเกณฑ์ในเรื่องแผนภาพกล่อง ใช่แล้ววว IQR ที่หมายถึงพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ในเรื่องนี้ กับ IQR ในสูตรการหาค่านอกเกณฑ์เป็นอันเดียวกันเลย

3. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (standard deviation) คือ ค่าที่ใช้ในการวัดการกระจายของข้อมูล โดยที่บอกให้เราทราบว่าข้อมูลแต่ละตัวอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตอยู่ประมาณเท่าไร

สูตรหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใน สถิติ ม.6

4. ความแปรปรวน

ความแปรปรวน (variance) คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูล โดยหาจากกำลังสองของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
จะได้สูตรการหาความแปรปรวนเป็นดังนี้

สูตรหาความแปรปรวนของประชากรใน สถิติ ม.6

การกระจายสัมพัทธ์

หากน้อง ๆ มีข้อมูล 2 ชุด เช่น ถ้าข้อมูลของเรามีค่าน้อยสัก 0 – 10 สมมติว่าคำนวณค่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ 2 และข้อมูลอีกชุดหนึ่งมีค่าอยู่ในช่วง 500 – 1,000 มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 80 เราไม่สามารถสรุปได้ว่าการกระจายของข้อมูลชุดที่สองนั้นมากกว่าชุดแรก เพราะค่าของข้อมูลต่างกันมาก

พี่จะแนะนำให้น้อง ๆ ใช้สัมประสิทธิ์การแปรผัน (coefficient of variation) มาเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลแต่ชุดมากกว่าการใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานหรือการกระจายสัมบูรณ์นะ

โดยหาได้จากสูตรต่อไปนี้

สัมประสิทธิ์การแปรผันของประชากร สัมประสิทธิ์การแปรผันของตัวอย่าง

  เมื่อ 

  เมื่อ 

การวัดตำแหน่งของข้อมูล

น้อง ๆ มีพื้นฐานการวัดตำแหน่งของข้อมูลกันมาแล้วนะ นั่นก็คือ ควอร์ไทล์ แต่จะมีการวัดตำแหน่งของข้อมูลอีกอันหนึ่ง
ที่เพิ่มขึ้นมา นั่นก็คือ เปอร์เซ็นไทล์

ควอร์ไทล์

ควอร์ไทล์ (Quartile) จะแบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน ให้น้องเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก ซึ่งหากพิจารณาข้อมูลทั้งหมดเป็น 100% แต่ละส่วนนั้นจะมีจำนวนข้อมูลประมาณ 25% ของข้อมูลทั้งหมด

การวัดตำแหน่งของข้อมูลของสถิติ

พี่แนะนำให้ทุกคนหาควอร์ไทล์โดยใช้สูตร ซึ่งสะดวกกว่าการใช้วิธีการหามัธยฐานไปเรื่อย ๆ ในสมัยที่น้องเรียน ม.3 น้า

วิธีการหาควอร์ไทล์

  1. เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก
  2. หาตำแหน่งของควอร์ไทล์ที่ i โดยตำแหน่งของ Q_i คือ \frac{i(n+1)}{4} เมื่อ n คือจำนวนของข้อมูล
  3. นำตำแหน่งไปพิจารณาหาค่าของ Q_i

เปอร์เซ็นไทล์

การหา เปอร์เซ็นไทล์ (Percentile) ทำได้ในทำนองเดียวกันกับการหาควอร์ไทล์ แตกต่างกันเพียงสูตรการหาตำแหน่ง 

โดยตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ที่ i นั่นคือ ตำแหน่งของ P_i คือ \frac{i(n+1)}{100}

เป็นยังไงบ้างงง สำหรับสรุปเนื้อหาเรื่องสถิติและข้อมูล ม.6 ไม่ยากเลยใช่มั้ยยย เพราะแต่ละคนก็คงจะมีพื้นฐานของเรื่องสถิติ ม.3 กันมาอยู่แล้วไม่มากก็น้อย สำหรับสถิติ ม.ปลาย นี้ก็เหมือนเป็นการต่อยอดเนื้อหาให้ลึกขึ้นจากม.ต้นนั่นเอง
ถ้าใครไม่เข้าใจหรือลืมเนื้อหาเก่า ๆ ไปหมดแล้ว ก็สามารถกลับไปดูบทความเรื่องสถิติของ ม.ต้น หรือลองดาวน์โหลดโจทย์และแบบฝึกหัดมาลองทำก็ได้ เพราะการฝึกทำโจทย์ก็เป็นการทบทวนเนื้อหาอีกทางหนึ่งเหมือนกันนนน

แต่ถ้ารู้สึกว่าการทบทวนหรือทำโจทย์บ่อย ๆ แล้วยังมีจุดที่ไม่เข้าใจอยู่ ก็อย่าเพิ่งท้อ เพราะจริง ๆ คณิต ม.6 นั้นยากที่สุดในคณิต ม.ปลายอยู่แล้ววว มันไม่แปลกเลยถ้าน้องยังไม่เข้าใจ ซึ่งถ้าใครอยากได้ตัวช่วย พี่ก็มีคอร์สมาแนะนำด้วยน้าาาา เป็นคอร์สของพี่เอง มีเนื้อหาครบทุกบทของคณิตม.ปลาย อิงตามหลักสูตร สสวท. โดยพี่จะสอนปูพื้นฐานพร้อมพาทำโจทย์ทั้งยากและง่ายปนกันไป ใครไม่มีพื้นฐานก็เรียนได้สบายมากก !! (ตอนนี้มีโปรโมชันจัดแพ็กเรียนเองลดสูงสุด 25% ด้วยน้า) นอกจากจะช่วยอัปเกรดที่โรงเรียนแล้ว ยังใช้ต่อยอดเตรียมสอบ A-Level คณิต 1, 2 ไปในตัวได้อีกต่างหากกก ใครสนใจ คลิก ดูรายละเอียดเล้ยย

ดูคลิปติวเรื่อง สถิติ ม.6

ติดตามคลิปติวฟรีอื่น ๆ จากพี่ปั้น ได้ทาง YouTube Channel : SmartMathPro

เนื้อหาสถิติ ม.6 อาจจะดูยากขึ้นกว่าเรื่องสถิติที่น้อง ๆ เรียนกันตอน ม.ต้น แต่พี่เชื่อนะว่าถ้าน้อง ๆ ทุกคนพยายามกันอย่างเต็มที่ ทบทวนบ่อย ๆ ต่อให้ยากแค่ไหน ทุกคนก็จะผ่านมันไปได้อย่างแน่นอนนน (รวมถึงบทอื่น ๆ ด้วยนะ) ถ้าใครไม่เข้าใจตรงไหนก็กลับมาดูบทความนี้ได้เลย เพราะพี่สรุปเนื้อหามาเพื่อให้ทุกคนเข้าใจได้ง่าย ๆ อยู่แล้ววว สู้ ๆ น้าาาทุกคน พี่เป็นกำลังใจให้ทุกคนเลยยย

คอร์สเรียน แนะนำ

บทความ แนะนำ

บทความ แนะนำ

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ม.4 ม.5 ม.6 ต้องเรียนอะไรบ้าง
คณิตศาสตร์ ม.ปลาย (ม.4 ม.5 ม.6) หลักสูตรใหม่ เรียนเรื่องอะไรบ้าง ?
A-Level คณิต 1,2 ออกสอบอะไรบ้าง ? อัปเดตล่าสุด
A Level คณิต 1 , A Level คณิต 2 67 ออกสอบอะไรบ้าง? พร้อมคลิปติวฟรี
ข้อสอบ A-Level 67 วิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ ออกอะไรบ้าง?
ข้อสอบ A-Level คณิต 1 และคณิต 2 67 มีบทไหนน่าเก็บและบทไหนเทได้บ้าง?
a level คณิต 1 กับ คณิต 2 ต่างกันยังไง
A Level คณิตศาสตร์ 1 กับ 2 ต่างกันยังไง? ยื่นคณะไหนได้บ้าง?

สำหรับน้อง ๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม ได้ที่ Line : @smartmathpronews

รวมถึงข่าวสารต่าง ๆ อัปเดตอย่างเรียลไทม์

FB : Pan SmartMathPro ติวคณิต By พี่ปั้น 

IG : pan_smartmathpro

Twitter : @PanSmartMathPro 

Tiktok : @pan_smartmathpro

Post Views: 32,272
Share