ปรับพื้นฐาน ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เตรียมสอบคณิต ม.ปลายแบบเข้าใจง่าย

น้อง ๆ ม.ปลายรู้กันหรือเปล่าว่าเรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เป็นหนึ่งในเนื้อหาคณิตศาสตร์ที่สำคัญ เพราะสามารถนำไปต่อยอดในคณิต ม.ปลายได้อีกเยอะมาก

ดังนั้นถ้าน้อง ๆ คนไหนที่กำลังจะขึ้นม.ปลายหรืออยู่ม.ปลายแล้วแต่ยังไม่แม่นทฤษฎีบทพีทาโกรัส พี่แนะนำให้รีบมา
ทบทวนจากบทความนี้กันเลย เพราะพี่สรุปเนื้อหามาให้อ่านกันแบบเข้าใจง่ายที่สุด และยังมีตัวอย่างโจทย์ให้เห็นภาพของเนื้อหากันมากขึ้นด้วยน้าา

สนใจหัวข้อไหน ... กดอ่านเลย

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส คืออะไร ?

น้อง ๆ น่าจะเคยได้เรียนและคุ้นหูคุ้นตากันเป็นอย่างดีกับเรื่อง “ทฤษฎีบทพีทาโกรัส” ที่พูดถึงความยาวด้านของรูป
สามเหล่ียมมุมฉากว่าเป็นทฤษฎีบทสำคัญที่เราจะใช้ต่อยอดในหลาย ๆ เรื่องเลย

ทฤษฎีบทนี้เรียนตอน ม. $2$ เทอม $1$ และนำไปใช้แก้โจทย์ปัญหาหรือพิสูจน์ในบทที่เกี่ยวกับเรขาคณิต เช่น การหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปสามมิติ หรือโจทย์ประยุกต์ในบทสมการกำลังสองตัวแปรเดียว

นอกจากนี้ เนื้อหาทฤษฎีบทพีทาโกรัสยังมีส่วนเกี่ยวข้องกับเนื้อหา ม.ปลาย อีกหลายบทเลยไม่ว่าจะเป็น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย, เวกเตอร์ และจำนวนเชิงซ้อน (รวมถึงมีการนำไปใช้ในวิชาวิทยาศาสตร์ด้วยน้าา)

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagoras’ theorem)

สำหรับรูปสามเหล่ียมมุมฉากใด ๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก

จากทฤษฎีบทข้างต้นสามารถสรุปได้ว่า

ตัวอย่างที่ 1 จากรูปสามเหล่ียมที่กำหนดให้ จงหาค่าของ $x$

วิธีทำ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส
จะได้ว่า $x$ เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
แสดงว่า $x^{2}=8^{2}+15^{2}\\= 64+225\\=289$
ดังนั้น $x=17$

หมายเหตุ : สมการ $x^{2}=289$ มี $2$ คำตอบคือ $x=17$ และ $x=-17$ เนื่องจาก $x$ เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก ค่า $x$ ที่เป็นจำนวนลบจึงใช้ไม่ได้น้าา

ตัวอย่างที่ 2 จากรูปสามเหล่ียมที่กำหนดให้ จงหาค่าของ $x$

วิธีทำ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส
จะได้ว่า $x$ เป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉาก
แสดงว่า $25^{2}=x^{2}+20^{2}\\x^{2}=25^{2}-20^{2}\\=225$
ดังนั้น $x=15$

เลขชุดพีทาโกรัสที่ควรรู้

เลขชุดพีทาโกรัส คือ ชุดตัวเลขที่ได้จากการคำนวณตามทฤษฎีบทแล้วเจอได้บ่อย ๆ เวลาต้องการใช้แก้โจทย์ปัญหา ซึ่งถ้าน้อง ๆ จำเลขชุดนี้ได้ จะทำให้เราแก้โจทย์ได้เร็วขึ้นด้วย โดยเลขชุดพีทาโกรัสที่นิยมใช้กันมีดังนี้

เลขชุดพีทาโกรัสจะใช้เมื่อรู้ความยาวด้าน $2$ ด้านของรูปสามเหล่ียมมุมฉากจะสามารถหาความยาวอีกด้านหนึ่งได้ เช่น

รูปสามเหล่ียมมุมฉากที่มีความยาวด้านคือ $3, 4, x$ โดยที่ $x$ เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
ดังนั้น เลขชุดพีทาโกรัสที่ใช้ได้ก็คือชุด $3, 4, 5$
แสดงว่า $x=5$
รูปสามเหล่ียมมุมฉากที่มีความยาวด้านคือ $6, 8, x$ โดยที่ $x$ เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
ดังนั้น เลขชุดพีทาโกรัสที่ใช้ได้ก็คือชุด $3, 4, 5$
โดยปรับค่าเป็น $3\times 2, 4\times 2, 5\times 2$
จะได้ $6, 8, 10$
แสดงว่า $x=10$

หมายเหตุ : การปรับค่า จะต้องเป็นการนำเลขชุดพีทาโกรัสไปคูณหรือหารด้วยจำนวนเดียวกันเท่านั้น
ข้อระวัง : ต้องตรวจสอบว่าความยาวด้านที่นำมาพิจารณา เป็นความยาวด้านของด้านไหนด้วย เพราะเลขชุดพีทาโกรัสจะต้องอยู่ในด้านที่ถูกต้องถึงจะใช้ได้น้า

ตัวอย่างที่ 3 จากรูปสามเหล่ียมที่กำหนดให้ จงหาค่าของ $x$

วิธีทำ
จากโจทย์ จะได้ว่า รูปสามเหล่ียมนี้มีความยาวด้านคือ $10, x, 26$ โดยที่ $x$ เป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉาก
ดังนั้น เลขชุดพีทาโกรัสที่ใช้คือ $5, 12, 13$ โดยปรับค่าเป็น $5\times 2, 12\times 2, 13\times 2$
จะได้ $10, 24, 26$
ดังนั้น $x=24$

บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

จากเนื้อหาของบทความที่ผ่านมา น้อง ๆ จะรู้ว่าถ้ามีรูปสามเหล่ียมมุมฉากแล้วความยาวด้านจะมีความสัมพันธ์ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในทางกลับกันถ้านำความยาวด้านของรูปสามเหล่ียมที่สอดคล้องกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาพิจารณาก็จะสามารถสรุปได้ว่ารูปที่พิจารณาอยู่เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉากได้เช่นกัน

บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส (converse of Pythagoras’ theorem)
สำหรับรูปสามเหล่ียมมุมฉากใด ๆ ถ้ากำลังสองของความยาวของด้านด้านหนึ่ง
เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านอีกสองด้าน แล้วรูปสามเหล่ียมนั้นเป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก

จากทฤษฎีบทข้างต้นสามารถสรุปได้ว่า

ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้รูปสามเหล่ียม $ABC$ มีความยาวดังรูป

อยากทราบว่ารูปสามเหล่ียม $ABC$ เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉากหรือไม่

วิธีทำ จากรูป ให้ $a=9, b=12$ และ $c=15$
จะได้ $a^{2}=81, b^{2}=144$ และ $c^{2}=225$
ซึ่ง $225=81+144$
แสดงว่า $c^{2}=a^{2}+b^{2}$
โดยบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส สรุปได้ว่า รูปสามเหล่ียม $ABC$ เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก

ติวคณิตศาสตร์ กับ SmartMathPro

เนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย อาจดูเป็นเรื่องยากในความคิดของน้อง ๆ หลายคน แต่ที่จริงถ้าเรามีพื้นฐานที่ดี ทบทวนบทเรียนและฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ ก็จะทำให้เข้าใจในเนื้อหามากขึ้น แต่ถ้าใครยังกังวล กลัวว่าถ้าทบทวนเองแล้วจะไม่เข้าใจ จนทำให้เรียนบทอื่นต่อไม่ได้ อยากได้คนช่วยไกด์

พี่ขอแนะนำคอร์สติวคณิตศาสตร์ ม.4 – 6 แบบบุฟเฟต์สำหรับเสริมเกรด จาก SmartMathPro เลยย สมัครครั้งเดียวคุ้มมากกเรียนได้จนจบม.6 พร้อมส่วนลดสูงสุด 35%

โดยในคอร์ส พี่ปูพื้นฐานละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติมก็ คลิก ได้เลย

และนี่คือภาพรวมเนื้อหาทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่พี่สรุปมาให้ทุกคนอ่านกันน้า จะเห็นว่าบทนี้สามารถนำไปใช้กับเนื้อหาคณิต ม.ปลาย หลายบทเลย ดังนั้นถ้าน้อง ๆ มีพื้นฐานเรื่องนี้ดี ก็จะสามารถนำไปปรับใช้กับการเรียนคณิตศาสตร์ ม.ปลาย
บทที่เกี่ยวข้องได้ดีขึ้นนั่นเอง ซึ่งถ้าน้อง ๆ อยากแม่นเรื่องนี้มากขึ้นพี่ก็แนะนำให้ฝึกทำโจทย์ / แบบฝึกหัดเพิ่มเติมกันเยอะ ๆ