สรุปฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5

พอพูดถึงชื่อ ตรีโกณมิติ หลายคนคงจะนึกถึงเนื้อหาที่เคยเรียนผ่านกันมาแล้วตอน ม.3 ใช่ไหมม คราวนี้น้อง ๆ จะได้กลับมาเรียนบทนี้กันอีกครั้งแล้วในคณิต ม.5 กับเรื่อง “ฟังก์ชันตรีโกณมิติ” ที่เนื้อหาก็จะยากขึ้น แต่ไม่ต้องกังวลน้าา เพราะพี่ทำสรุปเนื้อหาของเรื่องนี้มาให้ทุกคนแล้ว แถมมีเทคนิคการจำสูตร รวมถึงตัวอย่างโจทย์และคลิปติวฟรีให้ทุกคนได้พร้อมอัปคะแนนสอบกลางภาคแน่นอน !!

หน่วยในการวัดมุมที่น้อง ๆ รู้จักกันแล้วจากการเรียนบทอัตราส่วนตรีโกณมิติในระดับมัธยมศึกษาตอนต้น คือ องศา (degree) เขียนแทนสัญลักษณ์ ^\circ โดยมุมที่ด้านเริ่มต้นและด้านสิ้นสุดวนมาทับกันจะมีขนาด 0 องศา หรือ 360 องศา

หน่วยวัดมุมที่สำคัญอีกหน่วยหนึ่ง คือ เรเดียน (radian)

มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมียาว r หน่วย ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งของวงกลมที่ยาว a หน่วย มีขนาดเท่ากับ \frac{a}{r} เรเดียน และถ้าให้ขนาดของมุมดังกล่าวเป็น \theta เรเดียน จะได้ \theta = \frac{a}{r}

เนื่องจากมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมียาว r หน่วย มีขนาด 2\pi เรเดียนหรือ 360 องศา ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า

180 องศา เท่ากับ \pi เรเดียน

เปลี่ยนมุมในหน่วยเรเดียนเป็นองศา

โจทย์ตรีโกณ

เปลี่ยนมุมในหน่วยเรเดียนเป็นองศา

ตัวอย่างที่ 2  มุมที่มีขนาด \frac{\pi}{4}  เรเดียน มีขนาดกี่องศา

โจทย์ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ความรู้เดิมในระดับชั้น ม.3 ที่จะถูกนำมาต่อยอดในระดับชั้นนี้คือ อัตราส่วนตรีโกณมิติ กล่าวถึงอัตราส่วนของความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 6 แบบ ดังนี้
สามเหลี่ยม ตรีโกณมิติ
ตารางแสดงค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจำนวนจริง \theta บางจำนวน เมื่อ 0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2}
เรเดียน ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เทคนิคมือ ตรีโกณมิติ
เทคนิคมือซ้าย ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
วิธีจำสูตร ตรีโกณมิติ

โคฟังก์ชัน (co-function)

โคฟังก์ชัน

จะเห็นว่าชื่อเต็มของ cos คือ cosine ซึ่งคล้ายกับ sine แต่มีการเติม co- เพิ่มเข้ามา ดังนั้น sin กับ cos จึงถือว่าเป็น
“โคฟังก์ชัน” กัน ในทำนองเดียวกัน tan กับ cot และ sec กับ cosec ก็เป็นโคฟังก์ชันซึ่งกันและกัน

สูตรโคฟังก์ชันเป็นสูตรที่กล่าวถึงมุม A และมุม B ที่มีผลรวมได้ 90^{\circ} แล้วค่า “โคฟังก์ชัน” ของมุม A จะเท่ากันกับมุม B

โคฟังก์ชัน ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมลบ

เมื่อกำหนดจำนวนจริง \theta จากจุด (1, 0) วัดระยะไปตามส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วยให้ยาว \left | \theta \right | หน่วย จะถึงจุด (x, y) ซึ่งอยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วย โดยมีข้อตกลงสำหรับทิศทางการวัดดังนี้

เมื่อ \theta>0 (เป็นบวก) จะวัดไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

เมื่อ \theta<0 (เป็นลบ) จะวัดไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา ดังรูป

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมลบ

ส่วนโค้งต่อไปนี้ วัดจากจุด (1, 0) ไปตามส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา ให้ยาว \left | \theta \right|  หน่วย พิจารณาค่า \theta

มุมลบ ตรีโกณ
ตรีโกณ

สูตรของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ควรรู้

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

ผลบวก-ผลต่างมุม

ผลบวก ผลต่างมุม
โจทย์ ตรีโกณมิติ
ตรีโกณมิติ ตัวอย่างโจทย์

สูตรแปลงผลคูณเป็นผลบวก

การใช้สูตรแปลงผลคูณเป็นผลบวกในการหาค่าตรีโกณ

สูตรแปลงผลบวกเป็นผลคูณ

สูตร ตรีโกณมิติ

จะเห็นว่าไม่มีสูตรแปลงผลบวกระหว่าง sin กับ cos
ดังนั้นถ้าน้อง ๆ อยากใช้สูตร สามารถใช้โคฟังก์ชันแปลงจาก sin ให้เป็น cos หรือจาก cos เป็น sin ได้ ดังตัวอย่าง

แจกโจทย์ ตรีโกณ

สูตรมุมสองเท่า

สูตรมุมสองเท่า ตรีโกณ
sin cos tan ตรีโกณ

สมการตรีโกณมิติ

การแก้สมการตรีโกณมิติทำได้ในทำนองเดียวกันกับการแก้สมการทั่ว ๆ ไป แต่ต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อหาคำตอบของสมการ

ถ้าโจทย์ไม่กำหนดให้คำตอบต้องอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่ง เราควรตอบคำตอบที่อยู่ในรูปทั่วไป เพราะว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1 ดังนั้นค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจำนวนจริงหรือมุมใด ๆ อาจจะซ้ำกันได้นะ

ตัวอย่าง ตรีโกณมิติ
ตรีโกณ ม.5

2. คำตอบทั่วไปของสมการ คือ 2n\pi+\frac{\pi }{4} เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม

หมายเหตุ: เราใช้การบวก 2n\pi เพื่อสร้างคำตอบทั่วไปได้

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

นอกจากความรู้เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะสำคัญในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์แล้ว ยังมีความสำคัญกับวิชาฟิสิกส์ด้วย เช่นในเรื่องคลื่น
ซึ่งในบทความนี้จะกล่าวถึงกราฟของ y=sinx, y=cosx และ y=tanx เป็นดังนี้

กราฟตรีโกณ

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็น ฟังก์ชันที่เป็นคาบ (periodic function) หมายความว่าเราสามารถแบ่งแกน x เป็น
ช่วงย่อย (subinterval) โดยที่ความยาวของแต่ละช่วงย่อยเท่ากัน และกราฟในช่วงย่อยมีลักษณะเหมือนกัน

ความยาวของช่วงย่อยที่สั้นที่สุดเรียกว่า คาบ (period) ของฟังก์ชัน และสำหรับฟังก์ชันที่เป็นคาบซึ่งมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนั้นว่า แอมพลิจูด (amplitude)

คาบ ตรีโกณ
แอมพลิจูด ตรีโกณ
โดเมน ตรีโกณมิติ

ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การหาตัวผกผันของฟังก์ชันทำได้โดยการสลับที่ระหว่างสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของฟังก์ชัน โดยฟังก์ชัน 1-1 เท่านั้นที่มีตัวผกผันของฟังก์ชัน
ตัวผกผันตรีโกณ

การหาค่าของฟังก์ชันผกผันตรีโกณมิติสามารถทำได้โดยอาศัยฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้น ๆ เช่น การหาค่าของฟังก์ชัน arcsinx โดยที่ -1 ≤ x ≤ 1 ก็คือการหา \theta ซึ่งอยู่ในเรนจ์ของฟังก์ชัน arcsin ที่ทำให้ sin\theta=x

ตัวอย่างเช่น arcsin(1) คือการหา \theta ซึ่ง ที่ทำให้ sin\theta= 1

สรุปได้ว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติที่กำหนดโดเมนเพื่อให้มีฟังก์ชันผกผัน มีโดเมนและเรนจ์ดังนี้

โดเมน ตรีโกณ

ต้องจำว่า

arcsin, arctan
จะได้มุมในช่วง -90^{\circ} ถึง 90^{\circ} 

arccos จะได้มุมในช่วง 60^{\circ} ถึง 180^{\circ}

ระวัง ! sin(arsinx) จะเท่ากับ x เมื่อ x อยู่ในเรนจ์ของ sin เท่านั้น

            arcsin(sinx) จะเท่ากับ x เมื่อ x อยู่ในเรนจ์ของ arcsin เท่านั้น

            เช่น arcsin(120^{\circ})=arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}=60^{\circ} ไม่ใช่ 120^{\circ}

ค่า cos ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

กฎของโคไซน์และกฎของไซน์

เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันของจำนวนจริงหรือมุม โดยเราจะนำความรู้มาหาความยาวด้านและขนาดของมุมในหัวข้อนี้ ซึ่งจะกล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมและฟังก์ชันตรีโกณมิติ

กฎของโคไซน์
ให้รูปสามเหลี่ยม ABC มีด้านตรงข้ามมุม A, B, และ C ยาว a, b และ c ตามลำดับ จะได้

a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bccos A

b^{2} = c^{2} + a^{2} – 2cacos B

c^{2} = a^{2} + b^{2} – 2abcos C

กฎของไซน์
ให้รูปสามเหลี่ยม ABC มีด้านตรงข้ามมุม A, B และ C ยาว a, b และ c ตามลำดับ จะได้

\frac{sinA}{a}+\frac{sinB}{b}+\frac{sinC}{c}
กฎของไซน์ ตรีโกณ
โจทย์ sin ตรีโกณ

การหาระยะทางและความสูง

เราสามารถใช้ความรู้เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติในการหาระยะทางและความสูง ซึ่งมุมที่เกี่ยวข้องจะมาการใช้คำว่ามุมก้มและมุมเงย ซึ่งเกิดจากแนวระดับสายตา และแนวการมองไปยังวัตถุ มุมก้มคือการมองวัตถุที่อยู่ต่ำกว่าระดับสายตา และมุมเงยคือการมองวัตถุที่อยู่สูงกว่าระดับสายตา
การหาระยะทางและความสูง ตรีโกณ

ตัวอย่างที่ 11 ยูตะยืนมองจากหน้าต่างห้องพักในปราสาทไปยังหอคอย เขามองยอดหอคอยเป็นมุมเงย 45^{\circ} และมองฐานหอคอยเป็นมุมก้ม 30^{\circ} ถ้าหน้าต่างห้องพักอยู่สูงจากพื้นดิน 20^{\circ} เมตร แล้วหอคอยสูงกี่เมตร

โจทย์หาระยะความสูง ตรีโกณ
วิธีทำ ตรีโกณ

เป็นยังไงกันบ้างกับ “ฟังก์ชันตรีโกณมิติ” ที่เพิ่งอ่านจบกันไป รู้สึกว่าท้าทายมากขึ้นกว่าเนื้อหาตรีโกณมิติตอน ม.3 ขึ้นเยอะเลยใช่ไหมม > < เพื่อความเข้าใจที่มากขึ้น พี่อยากให้น้อง ๆ ทบทวนเนื้อหาและฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ ด้วยน้าา จะได้แม่นเนื้อหาและทำโจทย์ได้คล่องขึ้นนั่นเองงง (กระซิบว่าใครอยากได้แบบฝึกหัดไปซ้อมมือ พี่มีคลังข้อสอบที่รวบรวมโจทย์คณิตไว้เยอะมากก แวะไปดาวน์โหลดมาลองทำกันได้เลยย) 

แต่ถ้าใครลองทำโจทย์เองแล้วยังรู้สึกไม่เข้าใจ มีติดตรงไหน ก็ไม่เป็นไรน้าา เพราะเนื้อหาฟังก์ชันตรีโกณมิติม.5  เนี่ยขึ้นชื่อว่าหินสุด ๆ ทั้งทฤษฎีและสูตรที่เยอะมากก ต้องใช้เวลาฝึกฝนประมาณนึงเลยถึงจะคล่องขึ้น เหมือนกับเนื้อหาคณิตม.ปลาย บทอื่น ๆ ที่รอให้น้อง ๆ ได้ไปลุยกันต่อ

และถ้าใครอ่านมาถึงตรงนี้แล้ว อยากเสริมความรู้ให้กับตัวเอง เพิ่มความเข้าใจเนื้อหาคณิต ม.5 ให้มากขึ้นพี่ก็มีคอร์สติวสำหรับคณิตม.ปลายให้ได้เรียนครบทุกบทอิงตามสสวท. โดยจะสอนตั้งแต่พื้นฐานไปจนถึงพาตะลุยโจทย์จนน้อง ๆ เซียนแต่ละบทกันไปเลย !! (แถมตอนนี้ยังมีโปรโมชันลดสูงสุดถึง 25% อีก ถ้าใครสนใจดูข้อมูลเพิ่มเติม คลิก ได้เลยน้าา)

ดูคลิปปูพื้นฐานฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ดูคลิปอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ YouTube : SmartMathPro

คอร์สเรียน แนะนำ

บทความ แนะนำ

บทความ แนะนำ

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5
คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 เทอม 2 เรียนอะไร? สรุปครบทั้งพื้นฐานและเพิ่มเติม
จำนวนเชิงซ้อนคืออะไร สรุปทุกเนื้อหา
จำนวนเชิงซ้อน ม.5 คืออะไร ? สรุปเนื้อหา พร้อมตัวอย่างโจทย์
เนื้อหาคณิตศาสตร์ เวกเตอร์ ม.5 มีอะไรบ้าง
เวกเตอร์ ม.5 สรุปทุกเนื้อหา พร้อมโจทย์และวิธีทำที่ทุกคนห้ามพลาด!
สรุปเนื้อหาคณิต ม.5 เรื่องเมทริกซ์
เมทริกซ์ ม.5 สรุปเนื้อหาครบทุกหัวข้อ !!

สำหรับน้อง ๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม ได้ที่ Line : @smartmathpronews

รวมถึงข่าวสารต่าง ๆ อัปเดตอย่างเรียลไทม์

FB : Pan SmartMathPro ติวคณิต By พี่ปั้น 

IG : pan_smartmathpro

Twitter : @PanSmartMathPro 

Tiktok : @pan_smartmathpro

Share