สรุปฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5

พอพูดถึงชื่อ ตรีโกณมิติ หลายคนคงจะนึกถึงเนื้อหาที่เคยเรียนผ่านกันมาแล้วตอน ม.3 ใช่ไหมม คราวนี้น้อง ๆ จะได้กลับมาเรียนบทนี้กันอีกครั้งแล้วในคณิต ม.5 กับเรื่อง “ฟังก์ชันตรีโกณมิติ” ที่เนื้อหาก็จะยากขึ้น แต่ไม่ต้องกังวลน้าา เพราะพี่ทำสรุปเนื้อหาของเรื่องนี้มาให้ทุกคนแล้ว แถมมีเทคนิคการจำสูตร รวมถึงตัวอย่างโจทย์และคลิปติวฟรีให้ทุกคนได้อัปคะแนนสอบกลางภาคกัน !!

ภาพรวมเนื้อหา ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5

การวัดมุม

หน่วยในการวัดมุมที่น้อง ๆ รู้จักกันแล้วจากการเรียนบทอัตราส่วนตรีโกณมิติในระดับม.3 คือ องศา (degree) เขียนแทนสัญลักษณ์ ^\circ เช่น 0^{\circ}, 60^{\circ}, 135^{\circ}, 360^{\circ} เป็นต้น

หน่วยวัดมุมที่สำคัญอีกหน่วยหนึ่ง คือ เรเดียน (radian)

มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมียาว r หน่วย ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งของวงกลมที่ยาว a หน่วย มีขนาดเท่ากับ \frac{a}{r} เรเดียน และถ้าให้ขนาดของมุมดังกล่าวเป็น \theta เรเดียน จะได้ \theta = \frac{a}{r}

เนื่องจากมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมียาว r หน่วย มีขนาด 2\pi เรเดียนหรือ 360 องศา
ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า

180 องศา เท่ากับ \pi เรเดียน

เปลี่ยนมุมในหน่วยเรเดียนเป็นองศา

ตัวอย่างที่ 1 มุมที่มีขนาด 60 องศา มีขนาดกี่เรเดียน
แนวคิด ให้น้อง ๆ ทำเหมือนตอนเทียบบัญญัติไตรยางศ์ได้เลย !
วิธีทำ        
จาก 180 องศา เท่ากับ \pi เรเดียน
จะได้ 60  องศาเท่ากับ \frac{\pi}{180}\times 60 = \frac{\pi}{3} เรเดียน
ดังนั้น มุมที่มีขนาด 60 องศา เท่ากับ \frac{\pi}{3}  เรเดียน
ตัวอย่างที่ 2 มุมที่มีขนาด \frac{\pi}{4} เรเดียน มีขนาดกี่องศา
แนวคิด แทน \pi ด้วย 180^{\circ} ได้เลย
วิธีทำ        
จาก 180 องศา เท่ากับ \pi เรเดียน
จะได้ \frac{\pi}{4} เรเดียน เท่ากับ \frac{180}{4} = 45 องศา
ดังนั้น มุมที่มีขนาด \frac{\pi}{4} เรเดียน เท่ากับ 45 องศา

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ความรู้เดิมในระดับชั้น ม.3 ที่จะถูกนำมาต่อยอดในระดับชั้นนี้คือ อัตราส่วนตรีโกณมิติ กล่าวถึงอัตราส่วนของความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 6 แบบ ดังนี้
ตรีโกณมิติ ม.5 เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ตารางแสดงค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจำนวนจริง ในเนื้อหาตรีโกณมิติ ม.5
เทคนิคการใช้มือซ้ายในการหาค่าของตรีโกณ สำหรับตรีโกณมิติ ม.5

การหา sin30° และ cos45° โดยใช้เทคนิคมือซ้าย

การหาค่า sin30^{\circ}

1. ให้พับนิ้วชี้มือซ้ายลง
2. พิจารณาว่าด้านซ้ายของนิ้วที่พับลงมีนิ้วอยู่กี่นิ้ว (จะได้ว่ามี 1 นิ้ว)
3. นำจำนวนที่ได้มาใส่ใน \sqrt{} (กรณฑ์ที่ 2)
4. จะได้ว่า sin30^{\circ} = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}

การหาค่า cos45^{\circ}

1. ให้พับนิ้วกลางมือซ้ายลง
2. พิจารณาว่าด้านขวาของนิ้วที่พับลงมีนิ้วอยู่กี่นิ้ว (จะได้ว่ามี 2 นิ้ว)
3. นำจำนวนที่ได้มาใส่ใน \sqrt{} (กรณฑ์ที่ 2)
4. จะได้ว่า cos45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}

โคฟังก์ชัน (co-function)

ก่อนจะพูดถึงสูตรเรามาสังเกตจากชื่อเต็มกันก่อน

(sin) sine → (cos) cosine
(tan) tangent → (cot) cotangent
(sec) secant → (cosec) cosecant

จะเห็นว่าชื่อเต็มของ \cos คือ \textrm{cosine} ซึ่งคล้ายกับ \textrm{sine} แต่มีการเติม \textrm{co-} เพิ่มเข้ามา ดังนั้น \sin กับ \cos จึงถือว่าเป็น
“โคฟังก์ชัน” กัน ในทำนองเดียวกัน \tan กับ \cot และ \sec กับ \cosec ก็เป็นโคฟังก์ชันซึ่งกันและกัน

สูตรโคฟังก์ชันเป็นสูตรที่กล่าวถึงมุม A และมุม B ที่มีผลรวมได้ 90^{\circ} แล้วค่า “โคฟังก์ชัน” ของมุม A จะเท่ากันกับมุม B

โคฟังก์ชันหลากหลายรูปแบบในตรีโกณมิติ ม.5

เช่น sin10^{\circ} = cos80^{\circ}
tan25^{\circ} = cot65^{\circ}
cosec30^{\circ} = sec60^{\circ}

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมลบ

เมื่อกำหนดจำนวนจริง \theta จากจุด (1, 0) วัดระยะไปตามส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วยให้ยาว \left | \theta \right | หน่วย จะถึงจุด (x, y) ซึ่งอยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วย โดยมีข้อตกลงสำหรับทิศทางการวัดดังนี้

เมื่อ \theta>0 (เป็นบวก) จะวัดไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

เมื่อ \theta<0 (เป็นลบ) จะวัดไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา ดังรูป

เนื้อหาฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5 เรื่องของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมลบ

สูตรของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ควรรู้

สูตรของตรีโกณมิติ ม5 ที่ควรรู้ เรื่องเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
สูตรของตรีโกณมิติ ม.5 ที่ควรรู้ เรื่องสูตรผลบวก-ผลต่างมุม
ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ sin A = \frac{4}{5}, 0<A<\frac{\pi}{2} และ
cos B = \frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{\pi}{2}<B<0 จงหา sin(A+B)
แนวคิด หา cosA และ sinB จากสูตรเอกลักษณ์ตรีโกณมิติก่อน แล้วแทนค่าในสูตรผลบวกมุมเพื่อหา sin(A+B)
วิธีทำ
จาก sin^{2}A + cos^{2}A = 1
จะได้ว่า cos^{2}A=1-sin^{2}A=1-(\frac{4}{5})^{2}=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}
เนื่องจาก 0<A<\frac{\pi}{2}
ดังนั้น cosA=\frac{3}{5}
จาก sin^{2}B+cos^{2}B=1
จะได้ว่า sin^{2}B=1-cos^{2}B=1-(\frac{1}{\sqrt{5}})^{2}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}
เนื่องจาก -\frac{\pi}{2}<B<0
ดังนั้น sinA=-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}
พิจารณา sin(A+B)
จาก sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
จะได้ว่า sin(A+B)=(\frac{4}{5})(\frac{\sqrt{5}}{5})+(\frac{3}{5})(-\frac{2\sqrt{5}}{5})
= \frac{4\sqrt{5}}{25}-\frac{6\sqrt{5}}{25}
= -\frac{2\sqrt{5}}{25}
ดังนั้น sin(A+B)=-\frac{2\sqrt{5}}{25}
ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ 2cos15^{\circ}sin75^{\circ}
วิธีทำ
จาก 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
จะได้ 2cos15^{\circ}sin75^{\circ}
= sin(15^{\circ}+75^{\circ})-sin(15^{\circ}-75^{\circ})
= sin90^{\circ}-sin(-60^{\circ})
= 1-(-\frac{\sqrt{3}}{2})
= 1+\frac{\sqrt{3}}{2}
= \frac{2+\sqrt{3}}{2}
ดังนั้น 2cos15^{\circ}sin75^{\circ}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}

สูตรแปลงผลบวกเป็นผลคูณ

สูตรของตรีโกณมิติ ม.5 ที่ควรรู้ เรื่องสูตรแปลงผลคูณเป็นผลบวก

จะเห็นว่าไม่มีสูตรแปลงผลบวกระหว่าง \sin กับ \cos
ดังนั้นถ้าน้อง ๆ อยากใช้สูตร สามารถใช้โคฟังก์ชันแปลงจาก \sin ให้เป็น \cos หรือจาก \cos เป็น \sin ได้ ดังตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ sin75^{\circ}+cos75^{\circ}
แนวคิด พิจารณาสิ่งที่โจทย์กำหนดให้ พบว่าน่าจะใช้สูตรแปลงผลบวกเป็นผลคูณได้ ไม่มี sinA+cosA ดังนั้นต้องใช้โคฟังก์ชันในการเปลี่ยนก่อน ให้เป็น cosA+cosB ก่อนแล้วจึงใช้สูตร
วิธีทำ จาก sinA=cos(90^{\circ}-A)
จะได้ sin75^{\circ}=cos(90^{\circ}-75^{\circ})=cos15^{\circ}
จาก cosA+cosB=2cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})
จะได้ว่า sin75^{\circ}+cos75^{\circ} = cos15^{\circ}+cos75^{\circ}
= cos75^{\circ}+ cos15^{\circ}
= 2cos(\frac{75^{\circ}+15^{\circ}}{2})cos(\frac{75^{\circ}-15^{\circ}}{2})
= 2cos45^{\circ}cos30^{\circ}
= 2(\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2})
= \frac{\sqrt{6}}{2}
ดังนั้น sin75^{\circ}+cos75^{\circ}=\frac{\sqrt{6}}{2}

สูตรมุมสองเท่า

สูตรของตรีโกณมิติ ม.5 ที่ควรรู้ เรื่องสูตรมุมสองเท่า
ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้ cos\theta=\frac{4}{5} และ sin\theta<0จงหาค่าของ tan2\theta
แนวคิด ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติมาช่วยหาค่าของ sin\theta เพื่อให้ได้ tan\theta ต่อไปจากนั้นสามารถใช้สูตรมุมสองเท่าเพื่อหา tan2\theta ได้
วิธีทำ 
เนื่องจาก sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1
จะได้ว่า sin^{2}\theta=1-cos^{2}\theta=1-(\frac{4}{5})^{2}=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}
ดังนั้น sin\theta=-\frac{3}{5}
จาก tan\theta=\frac{sin\theta}{cos\theta}
จะได้ tan\theta=\frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=(-\frac{3}{5})(\frac{5}{4})=-\frac{3}{4}
จาก tan2\theta=\frac{2tan\theta}{1-tan^{2}\theta}
จะได้ว่า tan2\theta=\frac{2(-\frac{3}{4})}{1-(-\frac{3}{4})^{2}}=\frac{-\frac{3}{2}}{1-\frac{9}{16}}=\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}=(-\frac{3}{2})(\frac{16}{7})=(-\frac{24}{7})
ดังนั้น tan2\theta=-\frac{24}{7}

สมการตรีโกณมิติ

การแก้สมการตรีโกณมิติทำได้ในทำนองเดียวกันกับการแก้สมการทั่ว ๆ ไป แต่ต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อหาคำตอบของสมการ

ถ้าโจทย์ไม่กำหนดให้คำตอบต้องอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่ง เราควรตอบคำตอบในรูปทั่วไป เพราะว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1 ดังนั้นค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจำนวนจริงหรือมุมใด ๆ อาจจะซ้ำกันได้นะ

ตัวอย่างที่ 7 จงแก้สมการ sin\theta+cos\theta=\sqrt{2} โดย
1. 0≤\theta≤2\pi
2. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม
แนวคิด สามารถใช้ความรู้เรื่องเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ และสูตรมุมสองเท่ามาช่วยในการแก้สมการได้ และอย่าลืมตรวจ
คำตอบด้วยนะ
วิธีทำ
1. จาก sin\theta+cos\theta=\sqrt{2}
จะได้ (sin\theta+cos\theta)^{2}=(\sqrt{2})^{2}
sin^{2}\theta+2sin\thetacos\theta+cos^{2}\theta=2
1+2sin\thetacos\theta=2
2sin\thetacos\theta+cos=1
sin2\theta=1
2\theta=\frac{\pi}{2} หรือ \frac{5\pi}{2}
จะได้ \theta=\frac{\pi}{4} หรือ \theta=\frac{5\pi}{4} เมื่อ 0≤\theta≤2\pi
ตรวจคำตอบ
1. แทน \theta=\frac{\pi}{4} ในสมการ sin\theta+cos\theta=\sqrt{2}
จะได้ sin\frac{\pi}{4}+cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} เป็นจริง
2. แทน \theta=\frac{5\pi}{4} ในสมการ sin\theta+cos\theta=\sqrt{2}
จะได้ sin\frac{5\pi}{4}+cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}≠\sqrt{2} เป็นเท็จ
ดังนั้น \theta=\frac{\pi}{4}

2. คำตอบทั่วไปของสมการ คือ 2n\pi+\frac{\pi }{4} เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม

หมายเหตุ : หลังจากหาคำตอบได้แล้ว เราใช้การบวก 2n\pi เพื่อสร้างคำตอบทั่วไปได้

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

วิชาฟิสิกส์นำความรู้เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติมาจำลองรูปแบบคลื่นต่าง ๆ ที่เกิดขึ้น ซึ่งจะใช้ลักษณะของ
y=sinx, y=cosx, y=tanx ดังนี้

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ในเนื้อหาตรีโกณมิติ ม.5

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็น ฟังก์ชันที่เป็นคาบ (periodic function) หมายความว่าเราสามารถแบ่งแกน X เป็น
ช่วงย่อย (subinterval) โดยที่ความยาวของแต่ละช่วงย่อยเท่ากัน และกราฟในช่วงย่อยมีลักษณะเหมือนกัน

ความยาวของช่วงย่อยที่สั้นที่สุดเรียกว่า คาบ (period) ของฟังก์ชัน และสำหรับฟังก์ชันที่เป็นคาบซึ่งมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนั้นว่า แอมพลิจูด (amplitude)

เนื้อหาตรีโกณมิติ ม.5 เรื่องความเกี่ยวข้องระหว่าง ฟังก์ชัน, โดเมน, คาบ, แอมพลิจูด
ตัวอย่างที่ 8 จงหาคาบ แอมพลิจูด โดเมน และเรนจ์ของฟังก์ชัน y=3sin2x
วิธีทำ
จาก y=Asin(Nx) และ y=3sin2x
จะได้ A=3 และ N=2
1. พิจารณาคาบของฟังก์ชัน
จากคาบ คือ \frac{2\pi}{N}
ดังนั้น \frac{2\pi}{N}=\frac{2\pi}{2}=\pi
2. พิจารณาแอมพลิจูดของฟังก์ชัน
จาก แอมพลิจูด คือ |A|
ดังนั้น |A| = |3| = 3
3. พิจารณาโดเมนของฟังก์ชัน
จะได้ว่าโดเมนของฟังก์ชัน คือ ℝ
4. พิจารณาเรนจ์ของฟังก์ชัน
จาก เรนจ์ คือ [-|A|,|A|]
จะได้ [-|A|,|A|] = [-|3|, |3|] = [-3,3]
ดังนั้น คาบ คือ \pi , แอมพลิจูด คือ 3, โดเมน คือ ℝ และเรนจ์ คือ [-3,3]

ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การหาตัวผกผันของฟังก์ชันทำได้โดยการสลับที่ระหว่างสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของฟังก์ชัน โดยฟังก์ชัน 1-1 เท่านั้นที่มีตัวผกผันของฟังก์ชัน

จะขอยกตัวอย่างเนื่องจากที่ผ่านมาเรากล่าวถึง sin30^{\circ} มีค่าเท่ากับ \frac{1}{2} ซึ่งเป็นค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวผกผันจะกล่าวถึงมุม เช่น มุมใดที่ทำให้ค่าของ sinA มีค่าเท่ากับ \frac{1}{2}

ตรีโกณมิติ ม.5 เรื่อง ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชัน \arcsin, \arccos, \arctan จะเป็นตัวผกผันของฟังก์ชัน \sin, \cos, \tan ตามลำดับ

การหาค่าของฟังก์ชันผกผันตรีโกณมิติสามารถทำได้โดยอาศัยฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้น ๆ เช่น การหาค่าของฟังก์ชัน \textrm{arcsinx} โดยที่ -1 ≤ x ≤ 1 ก็คือการหา \theta ซึ่งอยู่ในเรนจ์ของฟังก์ชัน \arcsin ที่ทำให้ sin\theta=x

ตัวอย่างเช่น arcsin(1) คือการหา \theta ซึ่ง ที่ทำให้ \sin\theta= 1

สรุปได้ว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติที่กำหนดโดเมนเพื่อให้มีฟังก์ชันผกผัน มีโดเมนและเรนจ์ดังนี้

ตรีโกณมิติ ม.5 เรื่อง โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันผกผัน

ระวัง ! sin(arsinx) จะเท่ากับ x เมื่อ x อยู่ในเรนจ์ของ sin เท่านั้น

            arcsin(sinx) จะเท่ากับ x เมื่อ x อยู่ในเรนจ์ของ arcsin เท่านั้น

            เช่น \arcsin \sin120^{\circ}=\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}=60^{\circ} ไม่ใช่ 120^{\circ}

ตัวอย่างที่ 9 จงหาค่าของ cos(arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}))
วิธีทำ
ให้ arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})=\theta
จะได้ sin\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}
จากเรนจ์ เนื่องจากในช่วง [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] มี -\frac{\pi}{3} เพียงค่าเดียวที่ sin(-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}
ดังนั้น arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{\pi}{3}
และ cos(arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}))=cos(\frac{-\pi}{3})=\frac{1}{2}

กฎของโคไซน์และกฎของไซน์

เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันของจำนวนจริงหรือขนาดของมุม โดยเราจะนำความรู้มาหาความยาวด้านและขนาดของมุมในหัวข้อนี้ ซึ่งจะกล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมและฟังก์ชันตรีโกณมิติ

กฎของโคไซน์
ให้รูปสามเหลี่ยม ABC มีด้านตรงข้ามมุม A, B, และ C ยาว a, b และ c ตามลำดับ จะได้

a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bccos A

b^{2} = c^{2} + a^{2} – 2cacos B

c^{2} = a^{2} + b^{2} – 2abcos C

กฎของไซน์
ให้รูปสามเหลี่ยม ABC มีด้านตรงข้ามมุม A, B และ C ยาว a, b และ c ตามลำดับ จะได้

\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}

ตัวอย่างที่ 10 
ตัวอย่างโจทย์ ตรีโกณมิติ ม.5 เรื่องกฎของโคไซน์และกฎของไซน์
วิธีทำ
1. พิจารณาค่าของ x
จากกฎของโคไซน์ c^{2} = a^{2} + b^{2} – 2ab cosC
จะได้ c^{2} = a^{2} + b^{2} – 2ab cosC
x^{2}=6^{2}+5^{2}-2(6)(5)cos60^{\circ}
x^{2}=36+25-60(\frac{1}{2})
x^{2}=31
x^{2}={\sqrt{31}}
2) พิจารณาค่าของ sinA
จากกฎของไซน์ \frac{sinA}{a}=\frac{sinC}{c}
จะได้ \frac{sinA}{6}=\frac{sin60^{\circ}}{\sqrt{31}}
sinA = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{31}}\times6
=\frac{1}{2}\times\frac{1}{\sqrt{31}}\times6
= \frac{3}{\sqrt{31}}
= \frac{3}{\sqrt{31}}\times\frac{\sqrt{31}}{\sqrt{31}}
= \frac{3\sqrt{31}}{31}

การหาระยะทางและความสูง

เราสามารถใช้ความรู้เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติในการหาระยะทางและความสูง ซึ่งมุมที่เกี่ยวข้องจะใช้คำว่ามุมก้มและมุมเงย ซึ่งเกิดจากแนวระดับสายตา และแนวการมองไปยังวัตถุ มุมก้มคือมุมที่เกิดจากการมองวัตถุที่อยู่ต่ำกว่าระดับสายตา และมุมเงย คือ มุมที่เกิดจากการมองวัตถุที่อยู่สูงกว่าระดับสายตา

การหาระยะทางและความสูงใน ตรีโกณมิติ ม.5

ตัวอย่างที่ 11 ยูตะยืนมองจากหน้าต่างห้องพักในปราสาทไปยังหอคอย เขามองยอดหอคอยเป็นมุมเงย 45^{\circ} และมองฐานหอคอยเป็นมุมก้ม 30^{\circ} ถ้าหน้าต่างห้องพักอยู่สูงจากพื้นดิน 20^{\circ} เมตร แล้วหอคอยสูงกี่เมตร

แนวคิด จากโจทย์สามารถวาดภาพประกอบได้ดังนี้ ซึ่งโจทย์ต้องการหาส่วนสูงของหอคอย ดังนั้นต้องหา BC แล้วนำมาบวกกันกับ CD

ตัวอย่างโจทย์การหาระยะทางและความสูง ของตรีโกณมิติ ม.5
วิธีทำ
1. พิจารณารูปสามเหลี่ยม ACD
จะได้ tan30^{\circ}=\frac{CD}{AC}\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{20}{AC}AC = 20\sqrt{3}

2. พิจารณารูปสามเปลี่ยม ABC
จะได้ tan45=\frac{BC}{AC}
1=\frac{BC}{20\sqrt{3}}
BC=20\sqrt{3}

ดังนั้นส่วนสูงของหอคอยเท่ากับ
BC+DC = 20\sqrt{3}+20 เมตร

เป็นยังไงกันบ้างกับ “ฟังก์ชันตรีโกณมิติ” ที่เพิ่งอ่านจบกันไป รู้สึกว่าท้าทายมากขึ้นกว่าเนื้อหาตรีโกณมิติตอน ม.3 ขึ้นเยอะเลยใช่ไหมม > < เพื่อความเข้าใจที่มากขึ้น พี่อยากให้น้อง ๆ ทบทวนเนื้อหาและฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ ด้วยน้าา จะได้แม่นเนื้อหาและทำโจทย์ได้คล่องขึ้นนั่นเองงง (กระซิบว่าใครอยากได้แบบฝึกหัดไปซ้อมมือ พี่มีคลังข้อสอบที่รวบรวมโจทย์คณิตไว้เยอะมากก แวะไปดาวน์โหลดมาลองทำกันได้เลยย) 

แต่ถ้าใครลองทำโจทย์เองแล้วยังรู้สึกไม่เข้าใจ มีติดตรงไหน ก็ไม่เป็นไรน้าา เพราะเนื้อหาฟังก์ชันตรีโกณมิติม.5  เนี่ยขึ้นชื่อว่าหินสุด ๆ ทั้งทฤษฎีบทและสูตรที่เยอะมากก ต้องใช้เวลาฝึกฝนประมาณนึงเลยถึงจะคล่องขึ้น เหมือนกับเนื้อหาคณิตม.ปลาย บทอื่น ๆ ที่รอให้น้อง ๆ ได้ไปลุยกันต่อ

และถ้าใครอ่านมาถึงตรงนี้แล้ว อยากเสริมความรู้ให้กับตัวเอง เพิ่มความเข้าใจเนื้อหาคณิต ม.5 ให้มากขึ้นพี่ก็มีคอร์สติวสำหรับคณิตม.ปลายให้ได้เรียนครบทุกบทอิงตามสสวท. โดยจะสอนตั้งแต่พื้นฐานไปจนถึงพาตะลุยโจทย์จนน้อง ๆ เซียนแต่ละบทกันไปเลย !! (แถมตอนนี้ยังมีโปรโมชันลดสูงสุดถึง 25% อีก ถ้าใครสนใจดูข้อมูลเพิ่มเติม คลิก ได้เลยน้าา)

ดูคลิปปูพื้นฐานฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ดูคลิปอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ YouTube : SmartMathPro

บทความ แนะนำ

บทความ แนะนำ

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5
คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 เทอม 2 เรียนอะไร? สรุปครบทั้งพื้นฐานและเพิ่มเติม
จำนวนเชิงซ้อนคืออะไร สรุปทุกเนื้อหา
จำนวนเชิงซ้อน ม.5 คืออะไร ? สรุปเนื้อหา พร้อมตัวอย่างโจทย์
เนื้อหาคณิตศาสตร์ เวกเตอร์ ม.5 มีอะไรบ้าง
เวกเตอร์ ม.5 สรุปทุกเนื้อหา พร้อมโจทย์และวิธีทำที่ทุกคนห้ามพลาด!
สรุปเนื้อหาคณิต ม.5 เรื่องเมทริกซ์
เมทริกซ์ ม.5 สรุปเนื้อหาครบทุกหัวข้อ !!

สำหรับน้อง ๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม รวมถึงข่าวสารต่าง ๆ อัปเดตอย่างเรียลไทม์ ได้ที่ 

Line : @smartmathpronews 

FB : Pan SmartMathPro ติวคณิต By พี่ปั้น 

IG : pan_smartmathpro

Twitter : @PanSmartMathPro 

Tiktok : @pan_smartmathpro

Share