ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ม.3 สรุปเนื้อหาพร้อมโจทย์และคลิปติวฟรี

ถ้าพูดถึงสมการ น้อง ๆ อาจจะคุ้นเคยกับการแก้สมการที่แทนค่าตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งเพื่อให้ได้คำตอบ แต่รู้ไหมว่าในเนื้อหาคณิต ม.3 นี้ ยังมีสมการอีกรูปแบบหนึ่งที่น้อง ๆ จะได้เรียนด้วย นั่นก็คือ ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ซึ่งเป็นการหาคำตอบของสมการสองชุด ที่มีตัวแปรสองตัวนั่นเอง

เดี๋ยวพี่จะพาทุกคนไปทำความเข้าใจเนื้อหาบทนี้แบบเข้าใจง่ายที่สุด พาทำโจทย์พร้อมเฉลยละเอียด นอกจากนี้ยังมีคลิปติวฟรีท้ายบทความ และแบบฝึกหัดให้ดาวน์โหลดไปลองฝึกทำด้วย ถ้าน้อง ๆ พร้อมกันแล้วตามพี่ไปอ่านกันเลยยยย

สนใจหัวข้อไหน ... กดอ่านเลย

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

ระบบสมการเชิงเส้น คือ ชุดสมการที่มีเลขชี้กำลังเป็น $1$ ตั้งแต่ $2$ สมการขึ้นไป ที่ทุกสมการมีตัวแปรชุดเดียวกัน

โดยความรู้ในบทนี้จะใช้เป็นพื้นฐานสำหรับคณิต ม.ปลาย อีกหลายบทเลย เช่น บทเมทริกซ์ ที่นำการแก้ระบบสมการเชิงเส้นมาประยุกต์ใช้ ซึ่งมีจำนวนสมการตั้งแต่ $2$ สมการ หรือมีตัวแปรตั้งแต่ $2$ ตัวแปรขึ้นไป

ความหมายของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (system of linear equations with two variables)
คือ ชุดสมการเชิงเส้นสองสมการสองตัวแปรที่พิจารณาคำตอบร่วมกัน

ให้

a, b, c, d, e

และ

f

เป็นจำนวนจริง ที่

a, b

ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และ

c, d

ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

ระบบที่ประกอบด้วยสมการ

ax+by=e

cx+dy=f

เรียกว่า ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่มี

x

และ

y

เป็นตัวแปร โดยที่

a

และ

c

เป็นสัมประสิทธิ์ของ

x

b

และ

d

เป็นสัมประสิทธิ์ของ

y

คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ คู่อันดับ $(x, y)$ ที่ค่า $x$ และค่า $y$ ทำให้สมการเป็นจริงทั้งสองสมการ

น้อง ๆ จำกันได้ไหมว่าคู่อันดับ $(x, y)$ จะสอดคล้องกับสมการ หรือเรียกว่าเป็นคำตอบของสมการก็ต่อเมื่อ มีการแทนค่า $x$ และ $y$ ลงไปในสมการนั้นแล้วทำให้สมการเป็นจริง

นั่นคือคู่อันดับ $(x, y)$ จะเป็นคู่อันดับที่สอดคล้องกับระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร $Ax+By+C=0$ ก็ต่อเมื่อแทนค่า $x$ และค่า $y$ ของแต่ละคู่อันดับนั้นในสมการแล้วทำให้ได้สมการที่เป็นจริง ซึ่งจะเรียกคู่อันดับเหล่านั้นว่า คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร และกราฟแสดงคำตอบของสมการ $Ax+By+C=0$ จะเป็นเส้นตรง เราเรียกเส้นตรงนี้ว่า เส้นตรง $Ax+By+C=0$

ดังนั้น คำตอบของระบบสมการที่กรอบข้างบนพูดถึง คือ จุดตัด $(x, y)$ ของกราฟของเส้นตรงที่เกิดจากสมการเส้นตรง
ทั้งสองนั่นเอง

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟและหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรต่อไปนี้

$3x-y=3$
$2x+y=2$

แนวคิด หาจุดตัดแกน $X$ และ $Y$ ของ $3x-y=3$ และ $2x+y=2$ เพื่อวาดกราฟ และพิจารณาจุดที่กราฟตัดกัน
ซึ่งจุดนั้นจะเป็นคำตอบของระบบสมการนี้

วิธีทำ จากสมการ $3x-y=3$ เมื่อแทน $x=0$ จะได้ $y=-3$
ดังนั้น จุดตัดแกน $Y$ คือ $(0, -3)$
และเมื่อแทน $y=0$ จะได้ $x=1$
ดังนั้น จุดตัดแกน $X$ คือ $(1, 0)$

ในทำนองเดียวกัน จากสมการ $2x+y=2$ เมื่อแทน $x=0$ จะได้ $y=2$
ดังนั้น จุดตัดแกน $Y$ คือ $(0, 2)$
และเมื่อแทน $y=0$ จะได้ $x=1$
ดังนั้น จุดตัดแกน $X$ คือ $(1, 0)$

ดังนั้น คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ $(1, 0)$

คำตอบของระบบสมการที่น้อง ๆ เห็นจากตัวอย่างก่อนหน้ามีคำตอบเดียว แต่จริง ๆ แล้วคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร มี 3 รูปแบบ ดังนี้

ระบบสมการที่มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว กราฟของสมการจะตัดกันเพียงจุดเดียว
ระบบสมการที่มีคำตอบมากมายไม่จำกัด กราฟของสมการจะทับกัน
โดยสมการทั้งสองมีสัมประสิทธิ์ที่เท่ากัน และค่าคงตัวเท่ากัน
ระบบสมการที่ไม่มีคำตอบ กราฟของสมการจะขนานกัน (ไม่ตัดกัน)
โดยสมการทั้งสองมีสัมประสิทธิ์ที่เท่ากัน แต่ค่าคงตัวไม่เท่ากัน

ให้น้อง ๆ สังเกตรูปแบบคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรแต่ละรูปแบบผ่านกราฟต่อไปนี้

สมการที่ 1 และ 5 : กราฟของสมการทับกัน
สมการที่ 5 เมื่อจัดรูปสมการจะได้ $y-x=2$ เช่นเดียวกับสมการที่ 1
ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบมากมายไม่จำกัด
สมการที่ 2 และ 3 : กราฟของสมการขนานกัน
สมการที่ 3 เมื่อจัดรูปสมการจะได้ $y+3x=-3$ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์ที่เท่ากันกับสมการที่ 2
แต่ค่าคงตัวไม่เท่ากัน
ดังนั้น ระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบ
สมการที่ 1 หรือ 5 กับสมการที่ 2 : กราฟของสมการตัดกัน 1 จุด
ดังนั้น ระบบสมการนี้มี 1 คำตอบ
โดยจุดตัด คือ $(1, 3)$
จะได้ว่าคำตอบของระบบสมการ คือ $(1, 3)$
สมการที่ 1 หรือ 5 กับสมการที่ 3 : กราฟของสมการตัดกัน 1 จุด
ดังนั้น ระบบสมการนี้มี 1 คำตอบ
โดยจุดตัด คือ $(-1.25, 0.75)$
จะได้ว่าคำตอบของระบบสมการ คือ $(-1.25, 0.75)$
สมการที่ 1 หรือ 5 กับสมการที่ 4 : กราฟของสมการตัดกัน 1 จุด
ดังนั้น ระบบสมการนี้มี 1 คำตอบ
โดยจุดตัด คือ $(-5, -3)$
จะได้ว่าคำตอบของระบบสมการ คือ $(-5, -3)$

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

น้อง ๆ บางคนอาจจะเคยรู้มาว่า “การแก้สมการ” เป็นการหาคำตอบทั้งหมดของสมการ ซึ่งวิธีที่ใช้ในหัวข้อที่แล้ว คือ
การหาคำตอบจากกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร แต่อาจมีปัญหาเรื่องการอ่านพิกัดที่เป็นคำตอบของสมการ เพราะเมื่อวาดกราฟเองด้วยมือ ไม่ได้ใช้คอมพิวเตอร์ช่วย อาจจะวาดแล้วกราฟเบี้ยว หรือสเกลบนแกน $X$ หรือแกน $Y$ ไม่ได้มีระยะห่างที่ถูกต้องเป๊ะ ๆ อาจทำให้เกิดความคลาดเคลื่อนจากค่าที่แท้จริงได้

เราจึงไม่นิยมใช้วิธีวาดกราฟเพื่อหาคำตอบของระบบสมการ รวมถึงบางครั้งคำตอบของระบบสมการอาจเป็นตัวเลขที่มีจำนวนเยอะมาก ๆ หรือติดเป็นเศษส่วนก็ได้ ซึ่งการมองจากจุดตัดกราฟอาจไม่ได้คำตอบที่ถูกต้องแม่นยำ

เพื่อความถูกต้องของการหาคำตอบของระบบสมการ เราจะใช้สมบัติของการเท่ากัน เช่น สมบัติสมมาตร สมบัติการถ่ายทอด สมบัติของการเท่ากันเกี่ยวกับการบวก และสมบัติของการเท่ากันเกี่ยวกับการคูณ มาช่วยในการหาคำตอบ ซึ่งวิธีการทำจะมีหลัก ๆ ทั้งหมด 2 วิธี คือ

การแก้ระบบสมการด้วยวิธีกำจัดตัวแปร
การแก้ระบบสมการด้วยวิธีแทนค่าตัวแปร

การแก้ระบบสมการด้วยวิธีกำจัดตัวแปร

วิธีนี้จะต้องแก้ระบบสมการโดยพิจารณาจากสัมประสิทธิ์ของแต่ละตัวแปรว่าค่าของสัมประสิทธิ์นั้นเท่ากัน ตรงข้ามกัน หรือต่างกัน ซึ่งจะมีวิธีการกำจัดตัวแปรดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ จงหาคำตอบของระบบสมการนี้

$2x+y=-1$
$x-y=4$

แนวคิด สัมประสิทธิ์ของ $y$ เป็น 1 และ -1 ซึ่งตรงข้ามกัน ดังนั้นสามารถกำจัดตัวแปร $y$ ได้โดยได้โดยการนำสมการมาบวกกัน

วิธีทำ
$2x+y=-1$ ______ (1)
$x-y=4$ ______ (2)
(1)+(2) ;
$(2x+y)+(x-y)=(-1)+4$
$3x=3$
$x=1$
แทน $x$ ด้วย $1$ ในสมการ (2)
จะได้
$1-y=4$
$-y=3$
$y=-3$
ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบ คือ $(1, -3)$

การแก้ระบบสมการด้วยวิธีแทนค่า

วิธีนี้จะจัดรูปสมการใหม่ โดยให้ตัวแปรอยู่ในรูปของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง แล้วแทนตัวแปรที่ได้ลงในอีกสมการ เพื่อให้ได้สมการใหม่ที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว จากนั้นแก้สมการ เพื่อให้ได้ค่าของตัวแปรต่อไป ซึ่งการแก้ระบบสมการด้วยวิธีแทนค่ามีขั้นตอนดังนี้

ขั้นตอนที่ 1 : กำหนดชื่อของสมการ
ขั้นตอนที่ 2 : จัดรูป
ขั้นตอนที่ 3 : แทนค่าตัวแปร
ขั้นตอนที่ 4 : หาค่าของตัวแปรที่เหลือ

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ จงหาคำตอบของระบบสมการนี้

$-2x+y=5$
$6x-2y=-8$

วิธีทำ
ขั้นตอนที่ 1 : กำหนดชื่อของสมการ
$-2x+y=5$ ______ (1)
$6x-2y=-8$ ______ (2)

ขั้นตอนที่ 2 : จัดรูป (เขียนตัวแปร $y$ ให้อยู่ในรูปของตัวแปร $x$ )
จาก (1) จะได้
$y=2x+5$ ______ (3)

ขั้นตอนที่ 3 : แทนค่าตัวแปร (เป็นการทำเพื่อให้ได้สมการที่มี $x$ เป็นตัวแปรเพียงตัวเดียว)
จาก (3)
แทน $y$ ด้วย $2x+5$ ในสมการ (2) จะได้
$6x-2(2x+5)=-8$
$6x-4x-10=-8$
$2x=2$
$x=1$

ขั้นตอนที่ 4 : หาค่าของตัวแปรที่เหลือ
แทน $x$ ด้วย $1$ ในสมการ (1) จะได้
$-2(1)+y=5$
$-2+y=5$
$y=7$

ดังนั้น ระบบสมการนี้มีคำตอบ คือ $(1, 7)$

ติวคณิต ม.ต้น กับ SmartMathPro

สำหรับน้อง ๆ ม.3 ที่ต้องการเก็บเกรดวิชาคณิตศาสตร์ให้ปัง ๆ แต่เคยลองทบทวนเนื้อหาด้วยตัวเองแล้ว ยังเจอจุดที่ไม่เข้าใจและอยากให้มีคนช่วยไกด์

พี่ขอแนะนำตัวช่วยอย่าง คอร์สคณิต ม.3 สอนโดยพี่ปั้น SmartMathPro ให้เลยย โดยแพ็กนี้จะสอนเนื้อหาทุกบททั้งเทอม 1 และเทอม 2 สอนสนุก เข้าใจง่าย (ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากก > <) พร้อมพาตะลุยโจทย์และมีแบบฝึกหัดให้แบบจัดเต็ม ไต่ระดับตั้งแต่แนวซ้อมมือ ข้อสอบในโรงเรียน และข้อสอบแข่งขัน ถ้าใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติม คลิก

ดูคลิปติว คณิตศาสตร์ ม.3

ติดตามคลิปติวฟรีอื่น ๆ จากพี่ปั้น ได้ทาง YouTube Channel : SmartMathPro

เป็นยังไงกันบ้างกับเนื้อหา ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ม.3 ที่พี่สรุปมาให้อ่านกันในวันนี้ บอกเลยว่าถ้าน้อง ๆ เข้าใจเรื่องนี้ ก็จะสามารถนำไปใช้ต่อยอดกับคณิต ม.ปลาย ได้อีกด้วย ดังนั้นถ้าอ่านบทความนี้จบแล้วพี่ก็แนะนำให้ลองทำ
แบบฝึกหัดระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ม.3 เพิ่มเติมด้วยน้า จะได้ช่วยวัดความเข้าใจของเราด้วยว่ายังมีจุดไหนที่เรา
ไม่เข้าใจอยู่หรือเปล่า