เทคนิคการหาโดเมนและเรนจ์

น้อง ๆ หลายคนคงได้เรียนเรื่อง “โดเมนและเรนจ์” ในบทเรียนความสัมพันธ์และฟังก์ชันกันแล้ว แต่มีใครสงสัยไหมว่า
โดเมนและเรนจ์หาอย่างไร ? แล้วมีกี่วิธีในการหาโดเมนและเรนจ์ ?

วันนี้พี่ได้สรุปเทคนิคการหาโดเมนและเรนจ์มาให้น้อง ๆ หายสงสัย ใครที่ยังไม่เข้าใจหรืออยากได้เทคนิคเพื่อเตรียมตัวสอบ ต้องห้ามพลาด เพราะนอกจากสรุปเทคนิค พี่ยังมีตัวอย่างโจทย์พร้อมเฉลยแบบละเอียดให้ด้วย เล่ือนลงไปดูกัน !!

น้อง ๆ หลายคนที่ได้เรียนเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชันน่าจะพอจำกันอยู่แล้วว่าโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
คืออะไร ? แต่พี่ขอทบทวนบทนิยามสั้น ๆ ก่อนจะพาไปดูเทคนิคการหาโดเมนและเรนจ์นิดนึงน้าา

บทนิยาม

ให้ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B

  • โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับทั้งหมดใน r เขียนแทนด้วย D_r
  • เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับทั้งหมดใน r เขียนแทนด้วย R_r

เทคนิคการหาโดเมนและเรนจ์โดยพิจารณาเงื่อนไข

ถ้าโจทย์กำหนดความสัมพันธ์ที่เขียนในรูปของเซตแบบบอกเงื่อนไข ให้น้อง ๆ ใช้เทคนิคในการพิจารณาเงื่อนไขแล้ว
หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ ซึ่งจะมีขั้นตอนดังต่อไปนี้เลย

ขั้นตอนการหาโดเมนและเรนจ์

ขั้นตอนที่ 1 ให้น้อง ๆ จัดรูป โดย

หาโดเมน ให้เขียน y ในรูปของ x (หาโดเมน ให้ y ยืนเหงา)

หาเรนจ์ ให้เขียน x ในรูปของ y (หาเรนจ์ ให้ x ยืนเหงา)

ขั้นตอนที่ 2 ใช้ความรู้จากบทจำนวนจริงช่วยพิจารณาเงื่อนไข ซึ่งมักจะอยู่ใน 4 รูปแบบต่อไปนี้

รูปแบบที่ 1 : เศษส่วน (ตัวส่วน \neq 0)
การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่มีเงื่อนไขอยู่ในรูป “เศษส่วน” มักจะทำด้วยวิธีนี้

ตั้งอสมการ “ตัวส่วน \neq 0”และแก้อสมการดังกล่าว
แล้วนำค่าที่ได้ไปพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ต่อ

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ r=\left\{\left ( x,y \right )|y=\frac{1}{x+1} \right\} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้

  • หา D_r โดยเขียน y ในรูป x (y ยืนเหงา)
    พิจารณา y=\frac{1}{x+1}
    เราจะเห็นว่าเงื่อนไขอยู่ในรูปเศษส่วน แสดงว่า ตัวส่วน \neq 0
    จะได้ว่า x+1\neq 0
    x\neq -1
    ดังนั้น D_{r}=\mathbb{R}-\left\{-1 \right\}
  • หา R_r โดยเขียน x ในรูป y (x ยืนเหงา)
    จาก y=\frac{1}{x+1}
    จัดรูปใหม่จะได้ x=\frac{1}{y}-1
    จะเห็นว่าเงื่อนไขอยู่ในรูปเศษส่วน แสดงว่า ตัวส่วน \neq 0
    จะได้ว่า y\neq 0
    ดังนั้น R_{r}=\mathbb{R}-\left\{0 \right\}

รูปแบบที่ 2 : กรณฑ์ที่สอง
การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่มีเงื่อนไขอยู่ในรูป “กรณฑ์ที่สอง” มักจะทำด้วยวิธีนี้

ตั้งอสมการ “ก้อนข้างในกรณฑ์ที่ 2 \geq 0
และ “อีกฝั่งของก้อนกรณฑ์ที่สอง \geq 0” จากนั้นแก้อสมการดังกล่าว
แล้วนำค่าที่ได้ไปพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ต่อ

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ r=\left\{ (x,y)|y=\sqrt{x-2} \right\} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้

  • หา D_r โดยเขียน y ในรูป x (y ยืนเหงา)
    พิจารณา y=\sqrt{x-2}
    จะเห็นว่าเงื่อนไขอยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง แสดงว่า ตัวในรูท \geq 0
    จะได้
    x-2\ge 0 \\ x\ge 2
    ดังนั้น D_{r}=[2,\infty )
  • หา R_r โดยเขียน x ในรูป y (x ยืนเหงา)
    พิจารณา y=\sqrt{x-2}
    จะเห็นว่าเงื่อนไขอยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง แสดงว่า ก้อนข้างในรูท \geq 0
    แสดงค่าของรูท \geq 0
    จะได้ว่า \sqrt{x-2}\ge 0\\ y\ge 0
    ดังนั้น R_{r}=[0,\infty )

รูปแบบที่ 3 : ยกกำลังด้วยจำนวนคู่
การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่มีเงื่อนไขอยู่ในรูป “ยกกำลังด้วยจำนวนคู่” มักจะทำด้วยวิธีนี้

ตั้งอสมการ “อีกฝั่งของก้อนที่ยกกำลังด้วยจำนวนคู่ \geq 0
จากนั้นแก้อสมการดังกล่าว แล้วนำค่าที่ได้ไปพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ต่อ

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ r=\left\{(x,y)|y=x^{2}+3 \right\} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้

  • หา D_r โดยเขียน y ในรูป x (y ยืนเหงา)
    พิจารณา y=x^{2}+3
    จะเห็นว่าเงื่อนไขอยู่ในรูปยกกำลังด้วยจำนวนคู่
    แสดงว่าตัวที่ถูกยกกำลังด้วยจำนวนคู่ พิจารณาตามเงื่อนไขของตัวนั้นได้เลย
    จะได้ว่า x ไม่มีเงื่อนไขใด
    ดังนั้น D_{r}=\mathbb{R}
  • หา R_r โดยเขียน x ในรูป y (x ยืนเหงา)
    พิจารณา y=x^{2}+3
    จะเห็นว่าเงื่อนไขอยู่ในรูปยกกำลังด้วยจำนวนคู่ แสดงว่าก้อนที่ยกกำลังด้วยจำนวนคู่ \geq 0
    จะได้ว่า
    x^{2}\ge 0\\ x^{2}+3\ge 3\\ y\ge 3
    ดังนั้น R_{r}=[3,\infty )

รูปแบบที่ 4 : ค่าสัมบูรณ์
การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่มีเงื่อนไขอยู่ในรูป “ค่าสัมบูรณ์” มักจะทำด้วยวิธีนี้

ตั้งอสมการ “อีกฝั่งของค่าสัมบูรณ์ที่ถอดค่าสัมบูรณ์ออกมาแล้วต้อง \geq 0
จากนั้นแก้อสมการดังกล่าว แล้วนำค่าที่ได้ไปพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ต่อ

ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ r=\left\{ \left( x, y \right)|y=\left| x+3 \right| \right\} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้

  • หา D_r โดยเขียน y ในรูป x (y ยืนเหงา)
    พิจารณา y=\left| x+3 \right|
    จะเห็นว่า เงื่อนไขอยู่ในรูปค่าสัมบูรณ์
    แสดงว่า ก้อนในค่าสัมบูรณ์ พิจารณาตามเงื่อนไข
    จะได้ว่า x+3 ไม่มีเงื่อนไขใด
    ดังนั้น D_r=\mathbb{R}
  • หา R_r โดยเขียน x ในรูป y (x ยืนเหงา)
    พิจารณา y=\left| x+3 \right|
    จะเห็นว่า เงื่อนไขอยู่ในรูปค่าสัมบูรณ์
    แสดงว่า ค่าสัมบูรณ์มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
    จะได้ว่า \left| x+3 \right| \geq 0 \\ y\geq 0
    ดังนั้น R_r=\left [ 0, \infty \right )

จากเทคนิคการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ทั้ง 4 รูปแบบ เราสามารถสรุปให้เข้าใจง่าย ๆ ได้ด้วยภาพนี้เลย

สรุปเงื่อนไขที่ใช้ในการพิจารณาโดเมนและเรนจ์

เทคนิคการหาโดเมนและเรนจ์โดยพิจารณาจากกราฟ

ซึ่งนอกจากจะใช้การจัดรูปหรือเทคนิคเพื่อหาโดเมนและเรนจ์ได้แล้ว เราก็ยังสามารถพิจารณาจากกราฟได้เช่นเดียวกัน

เทคนิคการหาโดเมนและเรนจ์โดยพิจารณาจากกราฟ

ตัวอย่างที่ 5 จากกราฟของความสัมพันธ์ที่กำหนดให้ จงหาโดเมนและเรนจ์

ตัวอย่างการหาโดเมนและเรนจ์จากกราฟ 01

พิจารณาแนวนอน จากกราฟจะเห็นว่าค่า x อยู่ในช่วง \left [ 1, 4 \right ]
พิจารณาแนวตั้ง จากกราฟจะเห็นว่าค่า y สามารถเป็นได้ทุกค่า
ดังนั้น D_r=\left [ 1, 4 \right ] และ R_r=\mathbb{R}

ตัวอย่างที่ 6 จากกราฟของความสัมพันธ์ที่กำหนดให้ จงหาโดเมนและเรนจ์

ตัวอย่างการหาโดเมนและเรนจ์จากกราฟ 02

พิจารณาแนวนอน จากกราฟจะเห็นว่าค่า x สามารถเป็นได้ทุกค่า ยกเว้นที่ x=-2
พิจารณาแนวตั้ง จากกราฟจะเห็นว่าค่า y มี 2 ค่า คือที่ y= -3 และ y= 3
ดังนั้น D_r=\mathbb{R}-\left\{2 \right\} และR_r=\left\{-3, 3 \right\}

เป็นอย่างไรกันบ้างกับ “สรุปเทคนิคการหาโดเมนและเรนจ์ ม.4” ที่พี่สรุปมาให้น้อง ๆ อ่านกันในวันนี้ หวังว่าจะช่วยทุกคนที่กำลังเตรียมตัวสอบให้เก็บคะแนนปัง ๆ ได้เลยน้าา แต่ถ้าใครยังรู้สึกว่าไม่คล่อง พี่แนะนำให้ทบทวนเนื้อหาเรื่องนี้และฝึกทำโจทย์เยอะ ๆ  เพราะการทำโจทย์จะช่วยให้รู้ว่าน้อง ๆ ยังไม่แม่นตรงจุดไหนบ้าง

หรือถ้าน้อง ๆ รู้สึกว่าเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลายดูเป็นเรื่องยาก กลัวว่าถ้าทบทวนเองแล้วจะไม่เข้าใจ จนทำให้เรียนบทอื่นต่อไม่ได้ อยากเสริมพื้นฐานให้แน่นและอยากได้คนช่วยไกด์ พี่ก็ขอแนะนำคอร์สติวคณิตศาสตร์ ม.4 – 6 แบบบุฟเฟต์สำหรับเสริมเกรด จาก SmartMathPro เลยย สมัครครั้งเดียวคุ้มมากกเรียนได้จนจบม.6 พร้อมส่วนลดสูงสุด 35%

โดยในคอร์ส พี่ปูพื้นฐานละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติมก็ คลิก ได้เลย !!

บทความ แนะนำ

บทความ แนะนำ

สรุปเนื้อหาคณิต เซต ม.4 พร้อมแจกฟรีเช็กลิสต์
เซต (Set) คืออะไร สรุปเนื้อหาเซต ม.4 พร้อมโจทย์และเฉลย
สรุปเนื้อหาจำนวนจริง ม.4 เรียนเรื่องอะไรบ้าง
จำนวนจริง ม.4 สรุปครบม้วนเดียวจบ พร้อมแจกโจทย์จำนวนจริงและวิธีทำ
สรุปเนื้อหาคณิต "ตรรกศาสตร์" ม.4
ตรรกศาสตร์ ม.4 สรุปเนื้อหาครบ พร้อมโจทย์ตรรกศาสตร์และวิธีทำ
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4 สรุปเนื้อหาและตัวอย่างโจทย์
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4 สรุปเนื้อหาพร้อมตัวอย่างโจทย์
สรุปเนื้อหาเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย ม.4 เรียนอะไรบ้าง
เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย ม.4 สรุปเนื้อหาพร้อมตัวอย่างโจทย์
สรุปคณิตศาสตร์ ม.4 พื้นฐานและเพิ่มเติมต้องเรียนอะไรบ้าง
คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1, ม.4 เทอม 2 คณิตพื้นฐานและเพิ่มเติม เรียนอะไรบ้าง ?

สำหรับน้อง ๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม รวมถึงติดตามข่าวสารต่าง ๆ ที่อัปเดตอย่างเรียลไทม์ ได้ที่

Line : @smartmathpronews 

FB : Pan SmartMathPro ติวคณิต By พี่ปั้น 

IG : pan_smartmathpro

X : @PanSmartMathPro 

Tiktok : @pan_smartmathpro

Share