น้อง ๆ อาจเคยได้ยินหรือรู้จักกับ “ฟังก์ชัน” กันมาแล้วในบทเรียนก่อนหน้านี้อย่างความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ซึ่งบทเรียนในวันนี้เราก็ยังอยู่ที่คณิต ม.4 เทอม 2 และเป็นบทที่เกี่ยวกับฟังก์ชัน อย่างฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4
หลายคนพอได้ยินชื่อแล้วอาจจะคิดว่ามันต้องยากแน่ ๆ ใช่มั้ยย แต่พี่จะบอกว่ามันไม่ยากอย่างที่คิดเลย ถ้าเรามีพื้นฐานความรู้เรื่องเลขยกกำลังในระดับ ม.ต้นกับเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ซึ่งวันนี้พี่จะมาทวนความรู้เดิมและพาไปทำความเข้าใจเรื่อง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม กันแบบจัดเต็ม แถมยังมีตัวอย่างโจทย์และแบบฝึกหัดให้ไปลองทำกันด้วยย
น้อง ๆ น่าจะเคยเรียนเรื่องเลขยกกำลังมาแล้ว ตอนม.ต้น เกี่ยวกับความหมายของเลขยกกำลัง การคูณและการหารเลขยกกำลัง การเขียนสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ รวมถึงสมบัติต่าง ๆ ของเลขยกกำลัง ในระดับชั้นม.5 นี้ เราจะมาทบทวนและเรียนเกี่ยวกับความหมายและสมบัติต่าง ๆ ของเลขยกกำลังอีกครั้ง แต่เป็นในแบบที่ท้าทายขึ้น มาลองดูกันเลย
ให้ a เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มบวก a^n=a\times a\times a\times \cdots \times a ( a คูณกันทั้งหมด n ตัว)
เรียก a^n ว่า เลขยกกำลัง เรียก a ว่า ฐานของเลขยกกำลัง และเรียก n ว่า เลขชี้กำลัง
สมบัติเลขยกกำลัง
กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ และ m, n เป็นจำนวนตรรกยะ
• a^0=1
• a^{-n}=\frac{1}{a^n}
• a^m\cdot a^n=a^{m+n}
• \frac{a^m}{a^n} =a^{m-n}
• \left (a^m \right )^{n}=a^{mn}
• \left ( ab \right )^{n}=a^n\cdot b^n
• \left (\frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^n}{b^n}
เราจะนำสมบัติเลขยกกำลังมาใช้เพื่อหาค่าหรือจัดรูป ลองมาดูการใช้สมบัติผ่านตัวอย่างนี้กัน
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียน \frac{\left ( 27^2\times 9^{-2} \right )^{3}}{3^{15}} ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย และเลขยกกำลังทุกตัวมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก
วิธีทำ
\frac{\left ( 27^2\times 9^{-2} \right )^{3}}{3^{15}}
=\frac{\left ( \left ( 3^3 \right )^2\times ( \left ( 3^2 \right )^{-2} \right )^{3}}{3^{15}}
=\frac{3^{18}\times 3^{-12}}{3^{15}}
=\frac{3^{18}}{3^{27}}
=\frac{1}{3^{9}}
รากที่ n ของจำนวนจริง และจำนวนจริงที่อยู่ในรูปกรณฑ์
บทนิยาม
กำหนดให้ x และ y เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1
รากที่ n ของจำนวนจริง
y เป็นรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ y^n=x
ค่าหลักของรากที่ n
y เป็นค่าหลักของรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ
y เป็นรากที่ n ของ x และ xy\geq 0
จากบทนิยาม จะได้ว่า
• รากที่ 2 ของ 9 คือ 3 และ -3
• รากที่ 5 ของ -32 คือ -2
• ค่าหลักของรากที่ 2 ของ 36 คือ 6
• \sqrt{36}=6
จะเห็นได้ว่า ค่าหลักของรากที่ n ของ x และ กรณฑ์ที่ n ของ x นั่นคือ \left (\sqrt[n]{x} \right ) จะมีค่าเท่ากัน
ตัวอย่างที่ 2 \frac{\sqrt{4}\cdot \sqrt[3]{5^3}}{\sqrt[3]{-8}}+\sqrt{\left ( -7 \right )^{2}} เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ \frac{\sqrt{4}\cdot \sqrt[3]{5^3}}{\sqrt[3]{-8}}+\sqrt{\left ( -7 \right )^{2}}
=\frac{2\cdot 5}{-2}+\sqrt{49}
=-5+7
=2
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป \left \{ (x,y) \in \mathbb{R\times \mathbb{R}}|y=a^{x}\right \}
โดยที่ a เป็นจำนวนจริง ซึ่ง a>0 และ a\neq 1
พิจารณาลักษณะกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพแนนเชียล
จากกราฟน้องจะเห็นว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลดนั้นขึ้นอยู่กับค่า a
ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน f(x)=3^{x} และ g(x)=\left ( \frac{1}{3} \right )^{x} ลงในระบบพิกัดฉากเดียวกัน
จากกราฟที่เราได้ น้องจะเห็นว่า f(x)=3^{x} เป็นฟังก์ชันเพิ่มเพราะ a มีค่ามากกว่า 1 และ g(x)=\left ( \frac{1}{3} \right )^{x} เป็นฟังก์ชันลดเพราะ a มีค่าอยู่ระหว่าง 0 กับ 1 นั่นเอง
ตัวอย่างที่ 4 กำหนดฟังก์ชัน f(x)=2^{x} จงพิจารณาว่ากราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้เกิดจากการเลื่อนจุดทุกจุดของฟังก์ชัน f(x) อย่างไร
1. g(x)=2^{x}+1
ตอบ กราฟของ g(x) คือกราฟของ f(x) ที่เลื่อนจุดทุกจุดขึ้น 1 หน่วย
2. h(x)=2^{x+1}
ตอบ กราฟของ h(x) คือกราฟของ f(x) ที่เลื่อนจุดทุกจุดไปทางซ้าย 1 หน่วย
การเลื่อนกราฟไม่ใช่เรื่องยากอย่างที่คิดนะ และพี่ก็ได้สรุปเรื่องการเลื่อนกราฟมาให้แล้ว มาดูกันเลย
กราฟ y=a^{(x-h)}+k คือการเลื่อนกราฟ y=a^{x} ดังนี้
- ถ้า h มีค่าเป็นบวกจะเลื่อนจุดทุกจุดไปทางขวา h หน่วย
- ถ้า h มีค่าเป็นลบจะเลื่อนจุดทุกจุดไปทางซ้าย h หน่วย
- ถ้า k มีค่าเป็นบวกจะเลื่อนจุดทุกจุดขึ้น k หน่วย
- ถ้า k มีค่าเป็นลบจะเลื่อนจุดทุกจุดลง k หน่วย
หลังจากที่เรารู้จักว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลไปแล้ว เรามารู้จักสมการและอสมการเอกซ์โพแนนเชียลกันบ้าง ซึ่งก็คือสมการและอสมการที่มีเลขชี้กำลังเป็นตัวแปรนั่นเอง ในการแก้สมการและอสมการจะใช้สมบัติความเป็นฟังก์ชัน 1-1 ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลดด้วยน้า
สมการเอกซ์โพแนนเชียล
หลักการแก้สมการเอกซ์โพแนนเชียล มีดังนี้
• ให้ a>0 และ a\neq 1 จะได้ว่า a^{x}=a^{y} ก็ต่อเมื่อ x=y
• ให้ a,b>0 โดยที่ a\neq b ถ้า a^{x}=b^{x} แล้ว x=0
สรุปง่าย ๆ ก็คือถ้าฐานมีค่าเท่ากันแล้วเลขชี้กำลังจะมีค่าเท่ากัน และถ้าเลขชี้กำลังมีค่าเท่ากันแต่ฐานมีค่าไม่เท่ากันแล้วเลขชี้กำลังจะเท่ากับ 0 นั่นเอง
ตัวอย่างที่ 5 จงหาเซตคำตอบของสมการต่อไปนี้
1. 2^{2x}=4^{8}
วิธีทำ จะได้ว่า 2^{2x}=(2^{2})^{8}
2^{2x}=2^{16}
2x=16
x=8
ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ คือ \left \{ 8 \right \}
2. 3^{10x+2}=4^{5x+1}
วิธีทำ จะได้ว่า 3^{10x+2}=(2^{2})^{5x+1}
3^{10x+2}=2^{10x+2}
10x+2=0
x=-\frac{1}{5}
ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ คือ \left \{-\frac{1}{5} \right \}
อสมการเอกซ์โพแนนเชียล
หลักการแก้อสมการเอกซ์โพแนนเชียล มีดังนี้
1. อสมการ a^{m}>a^{n}
- ถ้า a>1 แล้ว m>n
- ถ้า 0<a<1 แล้ว m<n
2. อสมการ a^{m}<a^{n}
- ถ้า a>1 แล้ว m<n
- ถ้า 0<a<1 แล้ว m>n
สังเกตได้ว่า ถ้าฐานมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 จะต้องกลับเครื่องหมายของอสมการด้วยน้า
ตัวอย่างที่ 6 จงหาคำตอบของอสมการต่อไปนี้
1. 10^{3x}>1000
วิธีทำ จะได้ว่า 10^{3x}>10^{3}
3x>3
ดังนั้น x>1
2. \left (\frac{1}{3} \right )^{2x+1}<\frac{1}{27}
วิธีทำ จะได้ว่า \left (\frac{1}{3} \right )^{2x+1}<\left (\frac{1}{3} \right )^{3}
2x+1>3
2x>2
ดังนั้น x>1
ฟังก์ชันลอการิทึม
ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป \left \{(x, y)\in \mathbb{R}^+\times \mathbb{R} \mid y=\log_a{x} \right \}
โดยที่ a เป็นจำนวนจริง ซึ่ง a>0 และ a \neq 1
ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ตัวผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล นั่นคือ
x=a^y ก็ต่อเมื่อ y=\log_a{x}
ลักษณะกราฟของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นดังนี้
จากกราฟ น้องจะเห็นว่าฟังก์ชันลอการิทึมจะเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลดนั้นขึ้นอยู่กับค่า a
ตัวอย่างที่ 7 กำหนด f(x)=\log_2{x} จงพิจารณาว่ากราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้เกิดจากการเลื่อนจุดทุกจุดของฟังก์ชัน f(x) อย่างไร
แนวคิด ใช้วิธีการเลื่อนกราฟคล้ายตัวอย่างที่ 4 เลย !
- g(x)=\log_{2}(x)-1
ตอบ กราฟของ g(x) คือกราฟของ f(x) ที่เลื่อนจุดทุกจุดลง 1 หน่วย - h(x)=\log_2{(x-1)}
ตอบ กราฟของ h(x) คือกราฟของ f(x) ที่เลื่อนจุดทุกจุดไปทางขวา 1 หน่วย
ขวา 1 หน่วย
สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม
ให้ a, M และ N เป็นจำนวนจริงบวกที่ a\neq1
และ k เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า
- \log_a{a}=1 และ \log_a{1}=0
- \log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N}
- \log_a{\frac{M}{N}}=\log_a{M}-\log_a{N}
- \log_a{M^k}=k\log_a{M}
- \log_{a^k}{M}=\frac{1}{k}\log_a{M}
เมื่อ k\neq0 - \log_a{b}=\frac{1}{\log_b{a}}
เมื่อ b>0 และ b\neq1 - \log_a{M}=\frac{\log_c{M}}{\log_c{a}}
เมื่อ c>0 และ c\neq1 - a^{\log_b{c}}=c^{\log_b{a}}
ตัวอย่างที่ 8 จงหาค่าของ \log_4{32}+\log_4{2}
วิธีทำ
\log_4{32}+\log_4{2}
=\log_4{32\times 2}
=\log_4{64}
=\log_2{4^3}
=3\times \log_2{4}
=3\times 4
=12
มุมความรู้
เมื่อ \log ไม่ได้เขียนเลขฐานจะถือว่าเป็น ฐาน 10
สมการลอการิทึม
หลักการแก้สมการลอการิทึม มีดังนี้
1. ให้ a>0 และ a\neq1 จะได้ว่า \log_a{x}=\log_a{y} ก็ต่อเมื่อ x=y
2. จาก \log_a{x}=y จะได้ว่า x=a^y
ตัวอย่างที่ 9 จงหาเซตคำตอบของสมการ \log(x-1)+\log(x+2)=1
วิธีทำ
\log(x-1)+\log(x+2)=1
(x-1)(x+2)=10
x^2+x-2=10
x^2+x-12=0
(x+4)(x-3)=0
จะได้ว่า x=-4 หรือ x=3
ตรวจสอบค่า x ที่ได้ว่าค่าใดสอดคล้องกับสมการที่กำหนดให้
- กรณี x=-4
แทน x=-4 ใน \log(x-1)+\log(x+2)=1
จะได้ \log(-5)+\log(-2)=1 เป็นเท็จ
เนื่องจากไม่นิยาม y=\log_a{x} เมื่อ x ไม่เป็นจำนวนจริงบวก
แสดงว่า -4 ไม่สอดคล้องกับสมการที่กำหนดให้ - กรณี x=3
แทน x=3 ใน \log(x-1)+\log(x+2)=1
จะได้ \log(2)+\log(5)=\log(5\times2)=\log10=1 เป็นจริง
แสดงว่า 3 สอดคล้องกับสมการที่กำหนดให้
ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ คือ \left \{ 3 \right \}
ระวัง!! อย่าลืมเช็คเสมอว่าคำตอบที่ได้จากการแก้สมการ ทำให้หลัง log ติดลบหรือไม่ด้วยน้าา
อสมการลอการิทึม
หลักการแก้อสมการลอการิทึม มีดังนี้
1. อสมการ \log_a{m} > \log_a{n}
• ถ้า a>1 แล้ว m>n
• ถ้า 0<a<1 แล้ว m<n
2. อสมการ \log_a{m} < \log_a{n}
• ถ้า a>1 แล้ว m<n
• ถ้า 0<a<1 แล้ว m>n
ตัวอย่างที่ 10 จงหาเซตคำตอบของอสมการ \log_\frac{1}{2}(x+2)-\log_\frac{1}{2}(x+1)<2
วิธีทำ
\log_\frac{1}{2}(x+2)-\log_\frac{1}{2}(x+1)<2
\log_{\frac{1}{2}}\left (\frac{x+2}{x+1} \right )<2\log_{\frac{1}{2}}\left (\frac{1}{2} \right )
\log_{\frac{1}{2}}\left (\frac{x+2}{x+1} \right )<\log_{\frac{1}{2}}\left (\frac{1}{2} \right )^2
\log_{\frac{1}{2}}\left (\frac{x+2}{x+1} \right )<\log_{\frac{1}{2}}\left (\frac{1}{4} \right )
เนื่องจาก f(x)=\log_\frac{1}{2}{x} เป็นฟังก์ชันลด
\frac{x+2}{x+1}>\frac{1}{4}
\frac{x+2}{x+1}-\frac{1}{4}>0
\frac{4(x+2)-(x+1)}{4(x+1)}>0
\frac{3x+7}{4x+4}>0
จะได้ x<-\frac{7}{3} และ x>-1
เนื่องจาก อสมการที่กำหนดให้มีพจน์ \log_\frac{1}{2}(x+2) และ \log_\frac{1}{2}(x+1)
จะได้ว่า x>-2 และ x>-1
นั่นคือ x>-1
ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการ คือ \left ( -1, \infty \right )
ระวัง !! อย่าลืมเช็คเสมอว่าคำตอบที่ได้จากการแก้อสมการ ทำให้หลัง log ติดลบหรือไม่ด้วยน้าา และถ้าฐานน้อยกว่า 1 แต่มากกว่า 0 แล้ว ต้องกลับเครื่องหมายอสมการนั้นด้วยนะ
ดูคลิปติวฟรี ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4
ดูคลิปติวฟรีอื่น ๆ ได้ที่ YouTube : SmartMathPro
เป็นยังไงบ้างสำหรับสรุปเนื้อหาที่พี่เอามาฝากน้อง ๆ ทุกคนในวันนี้ ใครที่ยังไม่เข้าใจก็สามารถไปดูคลิปติวฟรีของพี่ใน Youtube ได้นะ หรือจะกลับไปทบทวนความรู้เดิมจากบทเลขยกกำลังในคณิต ม.ต้น กับบทเรียนก่อนหน้าอย่างความสัมพันธ์และฟังก์ชันก็ได้ จะได้แม่นเนื้อหากันมากขึ้น
นอกจากนี้วิธีที่พี่อยากแนะนำเพิ่มคือ ให้ลองฝึกทำโจทย์ เพื่อเป็นการทบทวนความเข้าใจของตัวเอง ซึ่งถ้าใครไม่รู้จะไปหาโจทย์จากไหนมาฝึกทำซ้อมมือ ก็สามารถเข้าไปดาวน์โหลดข้อสอบได้ในคลังข้อสอบเลยย ค่อย ๆ ทำความเข้าใจกันไปน้า ไม่ต้องรีบหรือเร่งตัวเองมากเกินไป พี่ขอเอาใจช่วยทุกคน สู้ ๆ !!
คอร์สเรียน แนะนำ
บทความ แนะนำ
จำนวนจริง ม.4 สรุปครบม้วนเดียวจบ พร้อมแจกโจทย์จำนวนจริงและวิธีทำ
เซต (Set) คืออะไร สรุปเนื้อหาเซต ม.4 พร้อมโจทย์และเฉลย
ตรรกศาสตร์ ม.4 สรุปครบทุกเนื้อหาพร้อมโจทย์ตรรกศาสตร์และวิธีทำ - SmartMathPro
คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1,2 เรียนอะไร? สรุปครบทั้งพื้นฐานและเพิ่มเติม
คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 เทอม 2 เรียนอะไร? สรุปครบทั้งพื้นฐานและเพิ่มเติม
คณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1 เทอม 2 คณิตพื้นฐานและเพิ่มเติม เรียนอะไรบ้าง?
คณิตศาสตร์ ม.ปลาย (ม.4 ม.5 ม.6) หลักสูตรใหม่ เรียนเรื่องอะไรบ้าง ?
บทความ แนะนำ
คณิตศาสตร์ ม.4 เทอม 1, ม.4 เทอม 2 คณิตพื้นฐานและเพิ่มเติม เรียนอะไรบ้าง ?
สำหรับน้อง ๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม ได้ที่ Line : @smartmathpronews
รวมถึงข่าวสารต่าง ๆ อัปเดตอย่างเรียลไทม์
FB : Pan SmartMathPro ติวคณิต By พี่ปั้น
IG : pan_smartmathpro
Twitter : @PanSmartMathPro
Tiktok : @pan_smartmathpro
