8 ข้อระวังคณิต ห้ามพลาด อาจะฉุดคะแนนสอบ

น้องๆ ม.4 ม.5 ม.6 หลายคนคงจะเคยเสียคะแนนวิชาคณิตศาสตร์ไปง่ายๆ สำหรับจุดที่คล้ายกันสุดๆ ในตอนทำข้อสอบใช่ไหมล่ะ ? บางข้อแค่เราพลาดเครื่องหมาย “ลบเป็นบวก” หรือ “บวกเป็นลบ” ก็ทำให้เราเสียคะแนนไปแล้วฟรีๆ ซึ่งจริงๆ มี ข้อระวังคณิต ที่น้องๆ ควรรู้ก่อนสอบจะได้ไม่พลาดได้

วันนี้พี่เลยจะมาสรุป 8 จุดคล้ายกัน ข้อระวัง ในเนื้อหา คณิตศาสตร์ ม.ปลาย (เทอม 1) ให้น้องไม่พลาดในห้องสอบ เอาไว้อ่านเป็นความรู้ติดตัว หรือใช้ทวนความเข้าใจก็ได้หมด จะได้เก็บคะแนนปังๆ กดเต็มกันไปเลย … มาดูกันว่ามีจุดไหนบ้าง !!

บท เซต (ม.4 เทอม 1) :
ลำดับการเขียนสมาชิก VS คู่อันดับ

{1,2} กับ (1,2) ถึงจะเขียนคล้ายกัน แต่คุณสมบัติของมันนั้นต่างกันอย่างสิ้นเชิง

น้องๆ หลายคนคงจะสงสัยว่า สมาชิกภายในเซต สามารถสลับที่หรือสลับตำแหน่งกันได้หรือไม่ คำตอบ คือ สลับได้น้า ซึ่งก็จะได้เซตที่เท่ากัน เช่น {1,2} กับ {2,1} นั้นถือว่าเป็นเซตที่เท่ากัน

แต่ถ้าหากเป็นในกรณีของคู่อันดับ เช่น (1,2) กับ (2,1) จะถือว่าเป็นคู่อันดับที่ไม่เท่ากันน้า เพราะคู่อันดับนั้น ตัวหน้า จะมีชื่อเฉพาะ คือ คู่อันดับตัวหน้า ส่วนตัวหลังก็จะมีชื่อว่า คู่อันดับตัวหลัง นั่นเอง

บท เซต (ม.4 เทอม 1) :
เซตว่าง VS เซตของเซตว่าง

บางคนเข้าใจผิดคิดว่า {∅} นั่นคือเซตว่าง ซึ่งในความเป็นจริงแล้ว เซตว่างนั้นเขียนสัญลักษณ์แทนด้วย ∅ ไม่มีวงเล็บปีกกา

หลายคนคงจะเห็นสัญลักษณ์ ∅ หรือที่เรียกกันว่า เซตว่าง นั่นเอง
ซึ่ง เซตว่าง ก็คือ เซตที่ไม่มีสมาชิกเลย หรือมีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 0

แต่บางคนก็คงสับสนว่า เซต {∅} ซึ่งไม่ใช่เซตว่าง แต่เป็น “เซตของเซตว่าง” โดยมีสมาชิกข้างในเป็น ∅ เพียงตัวเดียว นั่นก็คือ จำนวนสมาชิกของ {∅} จะเท่ากับ 1 นั่นเอง

สรุปคือ เซตว่าง สามารถเป็นสมาชิกในเซตได้ ถ้ามีวงเล็บปีกกา { } ครอบอยู่
แต่ถ้าเซตว่าง เป็นสัญลักษณ์โดดๆ ไม่มีปีกกาครอบอยู่เลย ก็จะถือว่าเป็น เซตที่ไม่มีสมาชิก นั่นเอง

บท เซต (ม.4 เทอม 1) :
เป็นสมาชิกของ VS เป็นสับเซตของ

สัญลักษณ์ “∈” กับ “⊂” เขียนคล้ายกัน แต่ในบทเซตใช้ต่างกันนะ ระวังอย่าใช้ผิดความหมาย !!

หลายคนน่าจะรู้จักกับสัญลักษณ์ กับ 2 สัญลักษณ์นี้ที่สามารถแสดงความสัมพันธ์ในเซตใดๆ ได้ นั่นก็คือ “∈” หรือ “เป็นสมาชิกของ” ซึ่งมีไว้แสดงว่า สิ่งใดเป็นสมาชิกในเซตนั้นๆ บ้าง เช่น 1 ∈ {1,2} จะเห็นว่า 1 เป็นสมาชิกของเซต หรืออยู่ในเซต {1,2} นั่นเอง

และ “⊂” หรือ “เป็นสับเซตของ” มีไว้แสดงว่า เซตใดเป็น สับเซต หรือ เซตย่อย ของเซตนั้นๆ เช่น {1} ⊂ {1,2} ซึ่งจะเห็นว่า {1} เป็นเซตย่อยของ {1,2} เพราะภายใน {1} มีสมาชิกเป็น 1 ซึ่งมาจากส่วนหนึ่งของ 1,2 นั่นเอง

ข้อสังเกตว่า หากพิจารณาความเป็น สมาชิก ของเซตใดๆ เราจะดูว่าตัวนั้นๆ อยู่ในเซตที่เราสนใจรึเปล่า แต่ถ้าหากพิจารณาความเป็น สับเซต นั้น จะต้องพิจารณาสมาชิกของเซตย่อย แล้วดูว่า สมาชิกทุกตัวในเซตย่อยนั้น เป็นสมาชิกของอีกเซตหรือไม่

บท ตรรกศาสตร์ (ม.4 เทอม 1) :
การสลับที่ประพจน์ย่อย และ, หรือ, ก็ต่อเมื่อ VS ถ้า … แล้ว …

ตัวเชื่อมประพจน์ “และ” “หรือ” “ก็ต่อเมื่อ” สามารถสลับประพจน์ที่เชื่อมกันอยู่ได้ เลยอาจทำให้น้องบางคนเผลอคิดไปว่า ตัวเชื่อมประพจน์ “ถ้า…แล้ว…” ก็น่าจะสลับที่ได้ด้วย ซึ่งบอกเลยว่าไม่จริงน้า

น้อง ๆ คงจะรู้ถึงตารางค่าความจริง สำหรับกรณีการเชื่อมประพจน์ต่างๆ (และ, หรือ, ถ้า…แล้ว…, ก็ต่อเมื่อ) กันมาบ้างแล้ว เราลองมาทบทวนตารางค่าความจริงอีกรอบกันดีกว่า

จะเห็นว่า ถ้าเราพิจารณากรณีของ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) และสลับเป็นกรณีของ q เป็นจริง (T) และ p เป็นเท็จ (F) นั้น จะเห็นว่า

ค่าความจริงในกรณีของการเชื่อมประพจน์ p กับ q ด้วย “และ” “หรือ” และ “ก็ต่อเมื่อ” ก็จะยังคงได้ค่าความจริงที่ตรงกัน ในขณะที่การเชื่อมประพจน์ p กับ q ด้วย “ถ้า…แล้ว…” จะได้ค่าความจริงที่ไม่ตรงกัน นั่นหมายความว่า p → q ไม่สมมูลกับ q → p

บท ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (ม.5 เทอม 1) :
sin tan VS cos

สมบัติบางอย่าง ฟังก์ชัน sin และ tan มีเหมือนกัน แต่ใช่ว่าฟังก์ชัน cos จะมีเหมือนกันน้า เป็นอีกจุดที่น่าระวังเลย

ปกติเราคงคุ้นเคยกับการหาค่าฟังก์ชันตรีโกณต่างๆ สำหรับมุมที่มีค่าติดลบนั้น ในกรณีของ sin กับ tan จะต้องดึงเครื่องหมายลบออกมาด้านหน้าฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้นๆ เช่น sin(-A) = -sin A แต่ถ้าหากเป็นกรณีของ cos เราไม่ต้องดึงเครื่องหมายลบออกมา หรือก็คือ cos(-A) = cos A

ทั้งนี้ เราสามารถอธิบายได้ด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย โดยการเริ่มต้นวัดมุมนั้น เราจะเริ่มที่จุดขวาสุดของวงกลมหนึ่งหน่วย หรือก็คือพิกัด (1,0) แล้วลากมุมทวนเข็มนาฬิกา ในกรณีมุมมีค่าเป็นบวก หรือลากมุมตามเข็มนาฬิกา ในกรณีมุมมีค่าเป็นลบ จะเห็นว่า การคิดค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมติดลบนั้น เราจะต้องคิดในรูปแบบการวัดมุมตามเข็มนาฬิกา หรือวิ่งไปหาจตุภาค (Quadrant) ที่ 4 ซึ่งบนจตุภาคที่ 4 นั้น ค่า sin และ tan มีค่าเป็นลบพอดี และค่า cos มีค่าเป็นบวกพอดี

ดังนั้น เราสามารถคิดมุมกรณีที่มีค่าเป็นลบเหมือนกับคิดมุมบนจตุภาคที่ 4 เพื่อนำเครื่องหมายลบออกไปจากมุม โดยเครื่องหมายลบจะติดอยู่ข้างหน้าแทนในกรณีที่เป็น sin กับ tan แต่จะไม่มีเครื่องหมายลบติดอยู่ข้างหน้า กรณีที่เป็น cos

บท ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (ม.5 เทอม 1) :
เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ VS สูตรมุมสองเท่า

สมบัติบางอย่าง แค่เปลี่ยนเครื่องหมายไป ก็ทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ต่างกัน ฉะนั้นระวังเครื่องหมายผิดชีวิตเปลี่ยน !!

ข้อระวังคณิต เรื่องตรีโกณ

น้องๆ คงจะรู้จักกับเอกลักษณ์ของตรีโกณมิติ ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้จาก “วงกลมหนึ่งหน่วย” โดยจุด (x, y) ใดๆ ของวงกลมหนึ่งหน่วย จะมีความสัมพันธ์ดังสมการ x^2 + y^2 = 1 นอกจากนี้ สำหรับฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ สามารถนิยามด้วยค่า y และ x ตามลำดับ

ซึ่งเมื่อนำค่าของ sin A และ cos A (เมื่อ A เป็นมุมหรือจำนวนจริงใดๆ) เข้าไปแทนในความสัมพันธ์ของวงกลมหนึ่งหน่วย จะได้เป็น cos^{2}A+sin^{2}A=1 (หรือสลับที่การบวกเป็น sin^{2}A+cos^{2}A=1 ในรูปที่เราคุ้นตากัน)

แต่เอกลักษณ์ตรีโกณมิตินี้ดันไปคล้ายกับ สูตรๆ หนึ่ง ของฟังก์ชันตรีโกณมิตินี่น่ะสิ ซึ่งก็คือ cos^{2}A-sin^{2}A ซึ่งสูตรๆ นี้ เป็นสูตรของ มุมสองเท่าของโคไซน์ และจะมีค่าเท่ากับ cos 2A นั่นเอง

บท เวกเตอร์ (ม.5 เทอม 1) :
ผลคูณเชิงสเกลาร์ VS ผลคูณเชิงเวกเตอร์

การคูณกันในบทเวกเตอร์มีด้วยกัน 2 แบบ นั่นคือ ผลคูณเชิงสเกลาร์ และ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ แต่การคูณทั้ง 2 อย่างนี้มีคุณสมบัติที่ต่างกันอย่างสิ้นเชิง

สำหรับ ผลคูณเชิงสเกลาร์ และ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ นั้น เป็นการดำเนินการที่สำคัญและข้อสอบชอบนำมาออกในบทเวกเตอร์อยู่บ่อยๆ สำหรับ ผลคูณเชิงสเกลาร์ (Dot product) ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนจริง ซึ่งไม่ว่าเราจะนำเวกเตอร์ไหนมาดำเนินการก่อนหรือหลังก็ตาม ผลลัพธ์ที่ได้ก็จะยังคงเป็นจำนวนจริงที่เท่ากัน

ทั้งนี้ สำหรับ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (Cross product) ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทาง ยิ่งไปกว่านั้น การสลับลำดับการดำเนินการของผลคูณเชิงเวกเตอร์ มีผลต่อทิศทาง ซึ่งจะทำให้ได้เวกเตอร์ที่ไม่เท่ากัน กล่าวคือ หากมีเวกเตอร์ u กับเวกเตอร์ v
– หากนำเวกเตอร์ u ขึ้นก่อน แล้ว cross ด้วยเวกเตอร์ v
– เทียบกับการนำเวกเตอร์ v ขึ้นก่อน แล้ว cross ด้วยเวกเตอร์ u
ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงข้ามกัน

บท ลำดับและอนุกรม (ม.6 เทอม 1) :
สูตรการหาพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต VS สูตรการหาผลบวก n พจน์แรก ของอนุกรมเรขาคณิต

สูตรของลำดับเรขาคณิตและอนุกรมเรขาคณิตนั้นมีค่าคงที่ที่ใช้ในสูตรเหมือนกัน แต่ตัวสูตรเนี่ยสิไม่เหมือนกัน เราต้องใช้ให้ถูกและเหมาะสมกับสิ่งที่เราต้องการหานะ

สิ่งที่สำคัญของลำดับเรขาคณิต คือ การหาพจน์ทั่วไป หรือพจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณิต โดยที่มาของสูตร เราจะคิดเทียบจากพจน์ที่ 1 หรือ a_1 แล้วดูว่าจะต้องคูณด้วยอัตราส่วนร่วมหรือ r ของลำดับเรขาคณิต ทั้งหมดกี่ครั้ง จึงจะไปถึงพจน์ที่ n หรือ a_n

ซึ่งจะเห็นว่า ต้องคูณด้วยอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตจำนวนทั้งหมด n-1 ครั้ง ถึงจะได้สูตรของพจน์ทั่วไป 

a_n=a_1r^{n-1} แต่ระวัง (กาดอกจันพันครั้ง !!!) ถ้าเป็นอนุกรมเรขาคณิต สูตรผลรวม n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต ไม่ได้ยกกำลังด้วย n-1 น้า แต่ยกกำลังด้วย n เท่านั้น

อ่านจบแล้วเป็นยังไงกันบ้าง แต่ละบทคล้ายกันมากๆ เลยจริงมั้ย !! หวังว่าบทความนี้จะทำให้น้องๆ ไม่พลาดในสนามสอบ ไม่ว่าจะเป็นการสอบที่โรงเรียนก็ดี สอบเข้ามหาวิทยาลัยก็ดี จุดเล็กๆ เหล่านี้ ก็อาจเป้นตัวทำคะแนน หรือเป็นจุดเล็กๆ ที่พลิกเกมตอนยื่นสอบเข้ามหาวิทยาลัยได้เหมือนกัน ฉะนั้น อย่าชะล่าใจ อ่านบทความนี้แล้วอย่าลืมไปฝึกทำโจทย์กันด้วยน้า

สำหรับน้อง ๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม รวมถึงข่าวสารต่าง ๆ อัปเดตอย่างเรียลไทม์ ได้ที่ 

Line : @smartmathpronews 

FB : Pan SmartMathPro ติวคณิต By พี่ปั้น 

IG : pan_smartmathpro

Twitter : @PanSmartMathPro 

Tiktok : @pan_smartmathpro

Share