ตรีโกณมิติ ม.3 สรุปเนื้อหาพร้อมโจทย์จัดเต็ม จบในที่เดียว !

ใครกำลังหาสรุปเนื้อหา ตรีโกณมิติ ม.3 อยู่ ต้องรีบมารวมกันตรงนี้เลยยย วันนี้พี่เตรียมเนื้อหานี้มาให้น้อง ๆ ม.3
และน้อง ๆ ม.2 ที่อยากเตรียมตัวล่วงหน้าโดยเฉพาะเลยย เพราะพี่เชื่อว่าตรีโกณเป็นอีก 1 วิชาที่ยากและต้องเป็นไม้เบื่อ
ไม้เมาของหลายคนแน่นอนนน แต่ไม่ต้องกังวลไปน้าา เพราะพี่สรุปหัวข้อ สูตร พร้อมตัวอย่างโจทย์ตรีโกณมิติมาให้
หมดแล้ว ถ้าใครพร้อมแล้วเราก็ไปลุยกันเลย !

สนใจหัวข้อไหน ... กดอ่านเลย

ตรีโกณมิติ ม.3

ความหมายของอัตราส่วนตรีโกณมิติ

หากลองย้อนกลับไปในสมัยก่อน คนสนใจที่จะวัดความยาวของรูปสามเหลี่ยมชนิดต่าง ๆ จึงตั้งชื่อเล่นให้กับการวัด
ในลักษณะนี้ โดยกำหนดให้ชื่อนั้นมีที่มาจากคำว่า trigonon ที่แปลว่ารูปสามเหลี่ยม และ metron ที่แปลว่าการวัด รวมกันเป็นชื่อว่า trigonometry หรือ ตรีโกณมิติ นั่นเอง วันเวลาผ่านไปความรู้เรื่องตรีโกณมิติถูกใช้อย่างแพร่หลายและเป็นที่ต้องการอย่างมาก จนกลายที่ต้องเรียนในวิชาคณิตศาสตร์ไปแล้วนั่นเอง

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากที่เราได้รู้ความหมายไปแล้ว เราก็พอจะรู้แล้วว่าในบทนี้ เราจะสนใจรูปสามเหลี่ยมเป็นหลัก โดยรูปที่เราสนใจศึกษามากที่สุดในบทนี้ คือ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั่นเอง เดี๋ยวเราลองมาดูกันเลยยย

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทั้งหมด 3 มุมแต่มี 1 มุมเป็นมุมฉาก ถ้าเราให้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มี C เป็นมุมฉาก เราจะเรียกแต่ละด้านดังต่อไปนี้

$\overline{AB}$ คือ ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse)

$\overline{BC}$ คือ ด้านตรงข้ามมุม A (the opposite side of angle A)

$\overline{AC}$ คือ ด้านประชิดมุม A (the adjacent side of angle A)

ข้อสังเกต ชื่อด้านที่เราเรียกตามรูปข้างต้นจะพิจารณาที่มุม A เป็นหลัก แต่ถ้าเปลี่ยนมาพิจารณามุม B เราก็ยังมีชื่อเรียกของด้านเหล่านี้เหมือนกัน โดย $\overline{AC}$ จะเป็นด้านตรงข้ามมุม B และ $\overline{BC}$ จะเป็นด้านประชิดมุม B นั่นเอง

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

รูปสามเหลี่ยมมีองค์ประกอบที่สำคัญ คือ ด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมและมุมทั้ง 3 มุม ซึ่งต่อไปเราจะมาดู
ความสัมพันธ์ของแต่ละองค์ประกอบกันเลย

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมี C เป็นมุมฉาก เมื่อเราพิจารณามุมมุมหนึ่งที่ไม่ใช่มุมฉาก เช่น มุม A แล้วจะได้ว่า

ไซน์ของมุม A, โคไซน์ของมุม A และแทนเจนต์ของมุม A เนี่ยแหละ เราจะเห็นว่ามันคือการเอาความยาวด้านแต่ละด้านมาเทียบกันเป็นคู่ ๆ เราเรียกมันว่าอัตราส่วนตรีโกณมิติ ซึ่งอัตราส่วนตรีโกณมิติเดียวกันของมุมมุมหนึ่งเป็นค่าคงตัวค่าหนึ่งเสมอ และเราจะนิยมเขียน

$\sin A$ แทน ไซน์ของมุม $A$ และอ่านว่า ไซน์ $A$

$\cos A$ แทน โคไซน์ของมุม $A$ และอ่านว่า คอส $A$

$\tan A$ แทน แทนเจนต์ของมุม $A$ และอ่านว่า แทน $A$

ตัวอย่างที่ 1 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดให้ จงหาค่า $\sin A, \cos A$ , $\tan A$ , $\sin B$ , $\cos B$ , $\tan B$

จากรูปจะได้ว่า

$sinA = \frac{12}{13}$

$cosA = \frac{5}{13}$

$tanA = \frac{12}{5}$

$sinB = \frac{5}{13}$

$cosB = \frac{12}{13}$

$tanB = \frac{5}{12}$

อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมที่มีขนาด 30 องศา, 45 องศา และ 60 องศา

จากหัวข้อก่อนหน้าเราได้รู้จักกับอัตราส่วนตรีโกณมิติไปแล้ว ซึ่งเรารู้ว่าอัตราส่วนตรีโกณมิติในมุมที่มีขนาดเท่ากัน
จะมีค่าเท่ากัน ซึ่งจริง ๆ แล้วขนาดของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นมีหลายมุมมากเลยนะ แต่ในระดับชั้น ม.3 เราจะโฟกัสแค่มุมแหลมที่มีขนาด $30^{\circ} , 45^{\circ} , 60^{\circ}$

สมบัติ
สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ อัตราส่วนตรีโกณมิติเดียวกันของมุมที่มีขนาดเท่ากัน จะมีค่าเท่ากัน

ถ้าน้อง ๆ ยังจำค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติต่าง ๆ ของมุม $30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ จากในตารางไม่ได้ พี่มีเทคนิควิธีจำค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติแบบเก๋ ๆ ของมุม $30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ มาฝากกัน ยกมือซ้ายขึ้นมา แล้วลองไปดูกันว่าเทคนิคนี้มีวิธียังไงกันบ้างงง

วิธีใช้เทคนิคมือ (ซ้าย)

ขั้นตอนการหาค่าโดยใช้เทคนิคมือ (ซ้าย)

เลือกมุมที่เราต้องการพิจารณา
พับนิ้วลง ตามมุมในรูป เช่น ต้องการพิจารณามุม $30^{\circ}$ ให้พับนิ้วชี้ลง
การหาค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติ จะหาได้จากการนับจำนวนนิ้วจากด้านซ้ายหรือด้านขวาที่แตกต่างกัน

ลองใช้เทคนิคมือซ้ายในการหาค่า เช่น

ต้องการหาค่า $sin60^{\circ}$
ให้พับนิ้วนางลง เหลือ 3 นิ้วทางด้านซ้าย เลยได้ว่าค่าของ $sin60^{\circ}$ มีค่าเท่ากับ $\frac{\sqrt{3}}{2}$  
ต้องการหาค่า $cos45^{\circ}$  
ให้พับนิ้วกลางลง เหลือ 2 นิ้วทางด้านขวา เลยได้ว่าค่าของ $cos45^{\circ}$   มีค่าเท่ากับ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ นั่นคือ $cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ จะเห็นว่าได้ค่าเท่ากับตารางด้านบนเลย
ต้องการหาค่า $tan60^{\circ}$
ให้พับนิ้วนางลง มี 3 นิ้วทางด้านซ้าย และ 1 นิ้วทางด้านขวา เลยได้ว่าค่าของ $tan60^{\circ}$
มีค่าเท่ากับ $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1}}=\sqrt{3}$

ตัวอย่างที่ 2 จากรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้ จงหาขนาดของมุม $x$  และมุม $y$  

แนวคิด เราจะมาพิจารณากันว่ารูปสามเหลี่ยมข้างต้นนี้ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ ถ้าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติในการหาขนาดของมุมต่อไป

วิธีทำ

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส “กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก”

จากรูปสามเหลี่ยม

$ABC$ จะได้ว่า $CB^{2}=AB^{2}+AC^{2}$

แทนค่าได้ว่า $10^{2}=5^{2}+(5\sqrt{3})^{2}$

$100=25+75$

$100=100$ ซึ่งเป็นจริง

ดังนั้น รูปสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีมุม $A$ เป็นมุมฉาก

จากมุม $x$

พิจารณา $cosx =\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

จาก $cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$

ดังนั้น $x=60^{\circ}$

จากมุม $y$

พิจารณา $tany=\frac{5}{5\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

จาก $tan30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

ดังนั้น $y=30^{\circ}$

ตัวอย่างที่ 3 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้ จงหาค่า $x$  และ $y$

วิธีทำ จาก $tan60^{\circ}=\sqrt{3}$

จากรูป จะได้ว่า $\frac{10\sqrt{3}}{x}=\sqrt{3}$

$10\sqrt{3}=x\sqrt{3}$

$x=10$

จากค่า $sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

จากรูปจะได้ว่า $\frac{10\sqrt{3}}{y} =\frac{\sqrt{3}}{2}$

$(10\sqrt{3})(2)=y\sqrt{3}$

$20\sqrt{3}=y\sqrt{3}$

$y=20$

ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลลัพธ์ของ $sin30^{\circ} + (cos45^{\circ})^{2}$

วิธีทำ

จาก $sin30^{\circ}=\frac{1}{2},cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

จะได้ว่า $sin30^{\circ} + (cos45^{\circ})^{2} = \frac{1}{2}+\left (\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

ดังนั้น $sin30^{\circ} + (cos45^{\circ})^{2}  =1$

โจทย์ปัญหาอัตราส่วนตรีโกณมิติ

ในการแก้ปัญหาที่ต้องใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติ จำเป็นต้องทราบขนาดของมุมด้วยน้า และการแก้โจทย์ปัญหาในเรื่องนี้เราจะใช้มุมที่เกิดจากการมองด้วยสายตา ซึ่งมีคำที่ใช้ในการเรียกมุมที่ทำกับแนวเส้นระดับสายตา 2 แบบด้วยกัน คือ
มุมก้ม (angle of depression) และมุมเงย (angle of elevation)

จากรูป จะเห็นได้ว่า

มุมก้ม เป็นมุมที่เกิดจากการมองวัตถุที่อยู่ต่ำกว่าแนวเส้นระดับสายตา
มุมเงย เป็นมุมที่เกิดจากการมองวัตถุที่อยู่สูงกว่าแนวเส้นระดับสายตา

เรามาดูตัวอย่างวิธีการใช้งาน โดยผ่านตัวอย่างนี้กัน

ตัวอย่างที่ 5 บันไดวางพาดกำแพงโดยทำมุม $30^{\circ}$ กับพื้น ถ้าปลายอีกด้านของบันไดอยู่ห่างจากฐานกำแพงอยู่
$6\sqrt{3}$ เมตร แล้วบันไดยาวกี่เมตร

วิธีทำ

กำหนดให้ บันไดยาว $x$  เมตร

จะได้ว่า $cos30^{\circ}=\frac{6\sqrt{3}}{x}$  

จาก $cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  

จะได้ $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{x}$  

$x\sqrt{3}=12\sqrt{3}$  

$x=12$  

ดังนั้น บันไดยาว $12$   เมตร

ติวคณิตศาสตร์ ม.3 กับ SmartMathPro

สำหรับน้อง ๆ ม.3 ที่ต้องการเก็บเกรดวิชาคณิตศาสตร์ให้ปัง ๆ แต่เคยลองทบทวนเนื้อหาด้วยตัวเองแล้ว ยังเจอจุดที่ไม่เข้าใจและอยากให้มีคนช่วยไกด์

พี่ขอแนะนำตัวช่วยอย่าง คอร์สคณิต ม.3 สอนโดยพี่ปั้น SmartMathPro ให้เลยย โดยแพ็กนี้จะสอนเนื้อหาทุกบททั้งเทอม 1 และเทอม 2 สอนสนุก เข้าใจง่าย (ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากก > <) พร้อมพาตะลุยโจทย์และมีแบบฝึกหัดให้แบบจัดเต็ม ไต่ระดับตั้งแต่แนวซ้อมมือ ข้อสอบในโรงเรียน และข้อสอบแข่งขัน ถ้าใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติม คลิก

เป็นยังไงกันบ้างงง กับเนื้อหาตรีโกณมิติ ม.3 หลายคนพออ่านจบแล้ว อาจจะรู้สึกว่าเนื้อหาเยอะ แล้วก็ยากด้วย แต่ถ้าลองค่อย ๆ ทำความเข้าใจ รวมถึงทบทวนเนื้อหาและฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ พี่เชื่อว่าเนื้อหาตรีโกณมิติ ม.3 ก็จะไม่ยากเกินความสามารถของทุกคนแน่นอนน ซึ่งถ้าใครอยากได้โจทย์เอาไว้ซ้อมมือ พี่ก็มีแบบฝึกหัดตรีโกณมิติ ม.3 มาให้ทุกคนได้ลองทำด้วยน้าา ไปดาวน์โหลดกันได้เลยย