เนื้อหาฟังก์ชันลอการิทึม (Log) เป็นเนื้อหาที่น้อง ๆ จะได้เจอในบทเรียนฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม ม.4 อยู่แล้ว แต่วันนี้พี่จะขอเจาะลึกไปที่เรื่อง สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม (Log) เพราะเป็นเครื่องมือสำคัญที่จะช่วยให้น้อง ๆ แก้สมการ อสมการ หรือแก้โจทย์ปัญหาได้ง่ายขึ้น
โดยในบทความนี้จะมีหัวข้อที่ช่วยให้น้อง ๆ เข้าใจสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม (Log) มากขึ้น ได้แก่ ทบทวนบทนิยาม สรุปสมบัติที่มีตัวอย่างโจทย์ เฉลย พร้อมแจกแบบฝึกหัดให้ไปทำเพิ่มท้ายบทความอีกด้วยย
ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป \left\{ \left( x, y \right)\in\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}|y=\log_ax \right\}
โดยที่ a เป็นจำนวนจริง ซึ่ง a>0 และ a\neq1
นอกจากบทนิยามข้างต้น พี่ขอทบทวนความรู้สำคัญให้น้อง ๆ ว่าฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชัน
เอกซ์โพเนนเชียลนั่นเอง โดยความสัมพันธ์ระหว่าง x กับ y ที่เขียนในรูป x=a^y และ y=\log_ax มีความหมายเหมือนกันเลย
เมื่อเราทบทวนบทนิยามของฟังก์ชันลอการิทึมกันไปเล็กน้อยแล้ว พี่จะพาน้อง ๆ มาเข้าเรื่องหลักของเรา นั่นคือ “สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม” ในบทความนี้กัน ซึ่งสมบัตินี้เป็นเครื่องมือสำคัญที่จะช่วยให้เราแก้สมการ อสมการ หรือแก้โจทย์ปัญหาง่ายขึ้นอย่างที่พี่กล่าวไปข้างต้นนั่นเอง
สมบัติที่สำคัญของฟังก์ชันลอการิทึม (Log)
ให้ a, M และ N เป็นจำนวนจริงบวกที่ a\neq1 และ k เป็นจำนวนจริง
สมบัติ
\log_a{a}=1 และ \log_a{1}=0
ตัวอย่าง
- 3\log_{5}5=3(1)=3
- \log_{0.5}1=0
สมบัติ
- \log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N}
- \log_a{\frac{M}{N}}=\log_a{M}-\log_a{N}
ตัวอย่าง
- \log_{3}2+\log_{3}5 \\ =\log_{3}(2\times 5 ) \\ =\log_{3}10
- \log_{4}10-\log_{4}5 \\ =\log_{4}\left( \frac{10}{5} \right) \\ =\log_{4}2
สมบัติ
- \log_a{M^k}=k\log_a{M}
- \log_{a^k}{M}=\frac{1}{k}\log_a{M} เมื่อ k\neq0
ตัวอย่าง
- \log_{6}125 \\ =\log_{6}5^{3} \\ =3\log_{6}5
- \log_{32}3 \\ =\log_{2^{5}}3 \\ =\frac{1}{5}\log_{2}3
สมบัติ
- \log_a{b}=\frac{1}{\log_b{a}} เมื่อ b>0 และ b\neq1
- \log_a{M}=\frac{\log_c{M}}{\log_c{a}} เมื่อ c>0 และ c\neq1
ตัวอย่าง
- \frac{1}{\log_{2}10}=\log_{10}2
- \frac{\log_{5}16}{\log_{5}3}=\log_{3}16
สมบัติ
a^{\log_b{c}}=c^{\log_b{a}} เมื่อ b,c > 0 และ b,c\neq 0
ตัวอย่าง
- 4^{\log_{2}3}=3^{\log_{2}4}
แบบฝึกหัดเรื่องสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม (Log)
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ 5^{\log_53}
วิธีทำ 5^{\log_53}
\\
=3^{\log_55} (จาก a^{\log_b{c}}=c^{\log_b{a}} เมื่อ b,c > 0 และ b,c\neq 0)
=3^1 (จาก \log_a{a}=1 )
=3
ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคำตอบของสมการ \log_3\left( x+6 \right)-\log_3\left( x-2 \right)=2
วิธีทำ \log_3\left( x+6 \right)-\log_3\left( x-2 \right)=2
\log_3\frac{x+6}{x-2}=2 (จาก \log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN)
\frac{x+6}{x-2}=3^2 (จาก \log_ax=y ก็ต่อเมื่อ x=a^y)
\frac{x+6}{x-2}=9
\\
x+6=9(x-2)
\\
x+6=9x-18
\\
-8x=-24
\\
x=3
ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ คือ \{3\}
ตัวอย่างที่ 3 ถ้า a, b เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับสมการ a \log_{250} 5 + \frac{b}{\log_2 250} = 3 แล้ว a-b เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ
a \log_{250} 5 + \frac{b}{\log_2 250} = 3
a \log_{250} 5 + b\log_{250}2 = 3 (จาก \log_a{b}=\frac{1}{\log_b{a}} เมื่อ b>0 และ b\neq1)
\log_{250}5^a + \log_{250}2^b = 3 (จาก \log_a{M^k}=k\log_a{M} )
\log_{250}\left( 5^a\cdot2^b \right)=3 (จาก \log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N} )
5^a\cdot2^b=250^3
\\
5^a\cdot2^b=\left( 5^3\cdot2 \right)^3
\\
5^a\cdot2^b=5^9\cdot2^3
จะได้ว่า a=9, b=3
ดังนั้น a-b=9-3=6
สรุปสมบัติที่สำคัญของฟังก์ชันลอการิทึมที่ควรรู้
ติวคณิตศาสตร์ ม.ปลาย กับ SmartMathPro
พี่เชื่อว่าทุกคนน่าจะรู้จักเกี่ยวกับ “สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม (Log)”กันไปประมาณหนึ่งแล้ว และหวังว่าจะนำไปประยุกต์กับเนื้อหาฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม ม.4 รวมถึงบทอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องได้น้าา อย่างไรก็ตามถ้าอยากจะเก่งเนื้อหานี้ให้มากขึ้น พี่แนะนำว่าให้ทบทวนเนื้อหาและควรฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ ด้วยย
