สรุป สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม (Log) พร้อมโจทย์และเฉลย

เนื้อหาฟังก์ชันลอการิทึม (Log) เป็นเนื้อหาที่น้อง ๆ จะได้เจอในบทเรียนฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม ม.4 อยู่แล้ว แต่วันนี้พี่จะขอเจาะลึกไปที่เรื่อง สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม (Log) เพราะเป็นเครื่องมือสำคัญที่จะช่วยให้น้อง ๆ แก้สมการ อสมการ หรือแก้โจทย์ปัญหาได้ง่ายขึ้น

โดยในบทความนี้จะมีหัวข้อที่ช่วยให้น้อง ๆ เข้าใจสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม (Log) มากขึ้น ได้แก่ ทบทวนบทนิยาม สรุปสมบัติที่มีตัวอย่างโจทย์ เฉลย พร้อมแจกแบบฝึกหัดให้ไปทำเพิ่มท้ายบทความอีกด้วยย

สนใจหัวข้อไหน ... กดอ่านเลย

ฟังก์ชันลอการิทึม (Log) คืออะไร ?

ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป $\left\{ \left( x, y \right)\in\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}|y=\log_ax \right\}$
โดยที่ $a$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง $a>0$ และ $a\neq1$

นอกจากบทนิยามข้างต้น พี่ขอทบทวนความรู้สำคัญให้น้อง ๆ ว่าฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชัน
เอกซ์โพเนนเชียลนั่นเอง โดยความสัมพันธ์ระหว่าง $x$ กับ $y$ ที่เขียนในรูป $x=a^y$ และ $y=\log_ax$ มีความหมายเหมือนกันเลย

เมื่อเราทบทวนบทนิยามของฟังก์ชันลอการิทึมกันไปเล็กน้อยแล้ว พี่จะพาน้อง ๆ มาเข้าเรื่องหลักของเรา นั่นคือ “สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม” ในบทความนี้กัน ซึ่งสมบัตินี้เป็นเครื่องมือสำคัญที่จะช่วยให้เราแก้สมการ อสมการ หรือแก้โจทย์ปัญหาง่ายขึ้นอย่างที่พี่กล่าวไปข้างต้นนั่นเอง

สมบัติที่สำคัญของฟังก์ชันลอการิทึม (Log)

ให้ $a, M$ และ $N$ เป็นจำนวนจริงบวกที่ $a\neq1$ และ $k$ เป็นจำนวนจริง

สมบัติ
$\log_a{a}=1$ และ $\log_a{1}=0$

ตัวอย่าง

$3\log_{5}5=3(1)=3$
$\log_{0.5}1=0$

สมบัติ

$\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N}$
$\log_a{\frac{M}{N}}=\log_a{M}-\log_a{N}$

ตัวอย่าง

$\log_{3}2+\log_{3}5 \\ =\log_{3}(2\times 5 ) \\ =\log_{3}10$
$\log_{4}10-\log_{4}5 \\ =\log_{4}\left( \frac{10}{5} \right) \\ =\log_{4}2$

สมบัติ

$\log_a{M^k}=k\log_a{M}$
$\log_{a^k}{M}=\frac{1}{k}\log_a{M}$ เมื่อ $k\neq0$

ตัวอย่าง

$\log_{6}125 \\ =\log_{6}5^{3} \\ =3\log_{6}5$
$\log_{32}3 \\ =\log_{2^{5}}3 \\ =\frac{1}{5}\log_{2}3$

สมบัติ

$\log_a{b}=\frac{1}{\log_b{a}}$ เมื่อ $b>0$ และ $b\neq1$
$\log_a{M}=\frac{\log_c{M}}{\log_c{a}}$ เมื่อ $c>0$ และ $c\neq1$

ตัวอย่าง

$\frac{1}{\log_{2}10}=\log_{10}2$
$\frac{\log_{5}16}{\log_{5}3}=\log_{3}16$

สมบัติ

$a^{\log_b{c}}=c^{\log_b{a}}$ เมื่อ $b,c > 0$ และ $b,c\neq 0$

ตัวอย่าง

$4^{\log_{2}3}=3^{\log_{2}4}$

แบบฝึกหัดเรื่องสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม (Log)

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ $5^{\log_53}$

วิธีทำ $5^{\log_53} \\ =3^{\log_55}$ (จาก $a^{\log_b{c}}=c^{\log_b{a}}$ เมื่อ $b,c > 0$ และ $b,c\neq 0$ )
$=3^1$ (จาก $\log_a{a}=1$ )
$=3$

ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคำตอบของสมการ $\log_3\left( x+6 \right)-\log_3\left( x-2 \right)=2$

วิธีทำ $\log_3\left( x+6 \right)-\log_3\left( x-2 \right)=2$
$\log_3\frac{x+6}{x-2}=2$ (จาก $\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN$ )
$\frac{x+6}{x-2}=3^2$ (จาก $\log_ax=y$ ก็ต่อเมื่อ $x=a^y$ )
$\frac{x+6}{x-2}=9 \\ x+6=9(x-2) \\ x+6=9x-18 \\ -8x=-24 \\ x=3$

ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ คือ $\{3\}$

ตัวอย่างที่ 3 ถ้า $a, b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับสมการ $a \log_{250} 5 + \frac{b}{\log_2 250} = 3$ แล้ว $a-b$ เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ

$a \log_{250} 5 + \frac{b}{\log_2 250} = 3$
$a \log_{250} 5 + b\log_{250}2 = 3$ (จาก $\log_a{b}=\frac{1}{\log_b{a}}$ เมื่อ $b>0$ และ $b\neq1$ )
$\log_{250}5^a + \log_{250}2^b = 3$ (จาก $\log_a{M^k}=k\log_a{M}$ )
$\log_{250}\left( 5^a\cdot2^b \right)=3$ (จาก $\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N}$ )
$5^a\cdot2^b=250^3 \\ 5^a\cdot2^b=\left( 5^3\cdot2 \right)^3 \\ 5^a\cdot2^b=5^9\cdot2^3$
จะได้ว่า $a=9, b=3$

ดังนั้น $a-b=9-3=6$

สรุปสมบัติที่สำคัญของฟังก์ชันลอการิทึมที่ควรรู้

ติวคณิตศาสตร์ ม.ปลาย กับ SmartMathPro

เนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย อาจดูเป็นเรื่องยากในความคิดของน้อง ๆ หลายคน แต่ที่จริงถ้าเรามีพื้นฐานที่ดี ทบทวนบทเรียนและฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ ก็จะทำให้เข้าใจในเนื้อหามากขึ้น แต่ถ้าใครยังกังวล กลัวว่าถ้าทบทวนเองแล้วจะไม่เข้าใจ จนทำให้เรียนบทอื่นต่อไม่ได้ อยากได้คนช่วยไกด์

พี่ขอแนะนำคอร์สติวคณิตศาสตร์ ม.4 – 6 แบบบุฟเฟต์สำหรับเสริมเกรด จาก SmartMathPro เลยย สมัครครั้งเดียวคุ้มมากกเรียนได้จนจบม.6 พร้อมส่วนลดสูงสุด 35%

โดยในคอร์ส พี่ปูพื้นฐานละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติมก็ คลิก ได้เลย

พี่เชื่อว่าทุกคนน่าจะรู้จักเกี่ยวกับ “สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม (Log)”กันไปประมาณหนึ่งแล้ว และหวังว่าจะนำไปประยุกต์กับเนื้อหาฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม ม.4 รวมถึงบทอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องได้น้าา อย่างไรก็ตามถ้าอยากจะเก่งเนื้อหานี้ให้มากขึ้น พี่แนะนำว่าให้ทบทวนเนื้อหาและควรฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ ด้วยย