สรุปพื้นฐาน การแยกตัวประกอบของพหุนาม พร้อมตัวอย่างโจทย์และเฉลย

น้อง ๆ หลายคนอาจจะเคยได้เรียนเรื่อง “ การแยกตัวประกอบของพหุนาม” กันมาบ้างแล้วตั้งแต่ช่วง ม.ต้น ซึ่งเรื่องนี้เป็นอีกเรื่องที่สำคัญในการต่อยอดเนื้อหาคณิต ม.ปลาย ไม่ว่าจะเป็นเรื่อง จำนวนจริง ภาคตัดกรวย ฟังก์ชัน และแคลคูลัส

วันนี้พี่ก็จะพาน้อง ๆ มาทบทวนเนื้อหาและสูตรต่าง ๆ เพื่อปรับพื้นฐานเตรียมความพร้อมสำหรับเนื้อหาใน ม.ปลาย
ใครยังไม่แม่นเรื่องการแยกตัวประกอบพหุนาม บอกเลยว่าต้องอ่านจนจบ เพราะนอกจากเนื้อหาพร้อมตัวอย่างแล้ว
พี่ยังมีสรุปสูตรสำคัญให้อีกด้วย อย่ารอช้า เล่ือนลงไปดูกันนน !!

สนใจหัวข้อไหน ... กดอ่านเลย

ความหมายของการแยกตัวประกอบของพหุนาม

ถ้าพูดถึง “การแยกตัวประกอบของพหุนาม” อาจนึกถึงความรู้ที่อยู่ในวิชาคณิตศาสตร์ระดับ ม.ต้น เช่น พหุนาม การแก้สมการกำลังสอง และฟังก์ชันกำลังสอง รวมถึงเนื้อหาคณิตม.ปลาย ตามที่พี่กล่าวไปข้างต้น

ซึ่งในอนาคตของน้องการแยกตัวประกอบของพหุนามนี้เองจะเป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับการเรียนคณิตศาสตร์ในหัวข้อที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น บทความนี้พี่จะพาน้อง ๆ มาทบทวนเพื่อให้เข้าใจกันชัด ๆ ว่าการแยกตัวประกอบของพหุนามคืออะไร ?
และมีเทคนิคหรือสูตรพื้นฐานไหนที่เราจำเป็นต้องรู้บ้าง

ความหมายของการแยกตัวประกอบของพหุนาม

การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามให้อยู่ในรูปการคูณกันของพหุนามตั้งแต่สองพหุนามขึ้นไป

พิจารณาผลคูณของพหุนาม $x+3$ กับ $x+4$
จะได้ว่า $(x+3)(x+4)= x^{2}+(4)(x)+(3)(x)+(4)(3)$
$=x^{2}+7x+12$
ดังนั้น พหุนาม $x^2+7x+12$ จะแยกตัวประกอบได้เป็น $(x+3)(x+4)$
จากการกระจายพหุนามดังกล่าว จะพบว่าการแยกตัวประกอบของพหุนามคือการทำขั้นตอนย้อนกลับของ
การคูณพหุนาม

วิธีการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

ในหัวข้อนี้ พี่จะขอแบ่งพหุนามดีกรีสองออกเป็น $3$ รูปแบบ โดยแต่ละแบบใช้วิธีการแยกตัวประกอบที่แตกต่างกันดังนี้

รูปแบบที่ใช้การดึงตัวร่วมได้

สมบัติการแจกแจง (การดึงตัวร่วม)
ให้ $a, b$ และ $c$ เป็นจำนวนใด ๆ
จะได้ว่า $ab+ac=a(b+c)$ หรือ $ba+ca=(b+c)a$

จากสมบัติข้างต้นเราจะเรียก $a$ ว่าเป็นตัวคูณร่วมหรือเรียกสั้น ๆ ว่าตัวร่วมนั่นเอง หรือถ้าน้อง ๆ ดูสมบัติแล้ว
ยังรู้สึกสงสัยอยู่ เรามาดูตัวอย่างเพื่อเพิ่มความเข้าใจกันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ $x^2+4x$

วิธีทำ จะสังเกตได้ว่าทั้งสองพจน์ที่โจทย์กำหนดมี $x$ เป็นตัวร่วม

ดังนั้น $x^2+4x=x(x+4)$

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ $2x^{2}y+4y^{2}x$

วิธีทำ จะสังเกตได้ว่าทั้งสองพจน์ที่โจทย์กำหนดมี $2xy$ เป็นตัวร่วม

ดังนั้น $2x^{2}y+4y^{2}x=2xy(x+2y)$

รูปแบบ $x^2+bx+c$

หากน้อง ๆ ลองสังเกตผลคูณของพหุนาม $x+4$ กับ $x+2$
$(x+4)(x+2)=x^{2}+(2)(x)+(4)(x)+(4)(2)$
$=x^{2}+6x+8$ จะเห็นว่า

พจน์หน้าของผลลัพธ์เกิดจากการคูณกันระหว่าง $x$ กับ $x$
พจน์กลางของผลลัพธ์เกิดจากการบวกกันระหว่าง $x$ คูณกับ $4$ และ $x$ คูณกับ $2$
พจน์หลังของผลลัพธ์เกิดจากการคูณกันระหว่าง $4$ กับ $2$
แสดงว่า

ถ้าเราจะแยกตัวประกอบของ $x^{2}+6x+8$ เราจะต้องหาจำนวนใด ๆ สองจำนวนที่

คูณกันได้เท่ากับพจน์หลังของผลลัพธ์ที่เป็นค่าคงตัว คือ $8$ และ
บวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของพจน์กลางของผลลัพธ์ คือ $6$

สรุปได้ว่า

สำหรับพหุนามดีกรีสองในรูป $x^2+bx+c$ เมื่อ $b, c$ เป็นจำนวนใด ๆ และ $c\neq0$

ถ้า $m$ และ $n$ เป็นจำนวนสองจำนวน ซึ่ง $mn=c$ และ $m+n=b$

จะได้ว่า $x^2+bx+c=(x+m)(x+n)$

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ $x^2+3x+2$

วิธีทำ จากหลักการข้างต้น จะต้องหาจำนวน $2$ จำนวนที่

บวกกันได้ $3$
คูณกันได้ $2$

เนื่องจาก $2+1=3$ และ $2\times1=2$

แสดงว่า $x^2+3x+2=x^2+(3)x+(2)$

$=x^2+[(2)+(1)]x+(2)(1)$

ดังนั้น $x^2+3x+2=(x+2)(x+1)$

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ $x^2+3x-4$

วิธีทำ จากหลักการข้างต้น จะต้องหาจำนวน $2$ จำนวนที่

บวกกันได้ $3$
คูณกันได้ $-4$

เนื่องจาก $4+(-1)=3$ และ $4\times(-1)=-4$

แสดงว่า $x^2+3x-4=x^2+(3)x+(-4)$

$=x^2+[(4)+(-1)]x+(4)(-1)$

ดังนั้น $x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$

รูปแบบ $ax^2+bx+c$ เมื่อ $a>1$

ลองสังเกตผลคูณของพหุนาม $2x+3$ กับ $x+2$
$(2x+3)(x+2)=(2)(1)x^{2}+(3)(1)(x)+(2)(2x)+(3)(2)$
$=2x^{2}+7x+6$

ดังนั้น แยกตัวประกอบของ $2x^2+7x+6$ ได้ดังนี้
$2x^2+7x+6=(2x+3)(x+2)$

จากผลคูณข้างต้น ถ้าเราลองสมมติให้ $2x^2+7x+6=$ (หัว + ท้าย) (หัว + ท้าย) แสดงว่า เราต้องหาจำนวนที่

หัวคูณกับหัว เท่ากับ $2$
ท้ายคูณท้าย เท่ากับ $6$
ใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกล เท่ากับ $7$ (หรือหัวท้าย + ท้ายหัว)

ดังนั้น ถ้าหาจำนวนตามเงื่อนไขทั้ง $3$ ได้ ก็จะสามารถแยกตัวประกอบพหุนามของรูปแบบ $ax^2+bx+c$ ได้ เราลองมาดูตัวอย่างเพิ่มเติมกันเลยยย

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ $3x^2-14x-5$

วิธีทำ จากหลักการข้างต้น จะต้องหาจำนวน $4$ จำนวนที่

หัวคูณกับหัว เท่ากับ $3$
ท้ายคูณท้าย เท่ากับ $-5$
ใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกล เท่ากับ $-14$

เนื่องจาก $3\times1=3$ $1\times(-5)=-5$ และ $(3)(-5)+(1)(1)=14$

แสดงว่า $3x^2-14x-5=(3)x^2+(-14)x+(-5)\\=(3)(1)x^2+[(3)(-5)+(1)(1)]x+(-5)(1)$
ดังนั้น $3x^2-14x-5=(3x+1)(x-5)$

ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ $2x^2+13x-7$

วิธีทำ จากหลักการข้างต้น จะต้องหาจำนวน $4$ จำนวนที่

หัวคูณกับหัว เท่ากับ $2$
ท้ายคูณท้าย เท่ากับ $-7$
ใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกล เท่ากับ $13$

เนื่องจาก $2\times1=2$ $(-1)\times7=-7$ และ $(2)(7)+(-1)(1)=13$

แสดงว่า $2x^2+13x-7=(2)x^2+(13)x+(-7)\\=(2)(1)x^2+[(2)(7)+(-1)(1)]x+(-1)(7)$
ดังนั้น $2x^2+13x-7=(2x-1)(x+7)$

สูตรการแยกตัวประกอบของพหุนามที่ควรรู้

ในหัวข้อที่แล้วน้อง ๆ ได้เรียนเกี่ยวกับพื้นฐานของการแยกตัวประกอบของพหุนาม แต่ในหัวข้อนี้เราจะทำให้
การแยกตัวประกอบของพหุนามบางรูปแบบง่ายขึ้นโดยใช้สูตรที่พี่จะให้ต่อไปนี้

สูตร ผลต่างของกำลังสอง

สูตร ผลต่างของกำลังสอง
กำหนดให้ $A$ แทนพจน์หน้า และ $B$ แทนพจน์หลัง
จะได้ว่า $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$

ตัวอย่างที่ 7 จงแยกตัวประกอบของ $x^2-16$

วิธีทำ พิจารณา $x^2-16=(x)^2-(4)^2$

แสดงว่า $x$ เป็นพจน์หน้า และ $4$ เป็นพจน์หลัง

จะได้ว่า $x^2-16=(x-4)(x+4)$

ตัวอย่างที่ 8 จงแยกตัวประกอบของ $9x^2-25$

วิธีทำ พิจารณา $9x^2-25=(3x)^2-(5)^2$

แสดงว่า $3x$ เป็นพจน์หน้า และ $5$ เป็นพจน์หลัง

จะได้ว่า $9x^2-25=(3x-5)(3x+5)$

สูตร กำลังสองสมบูรณ์

สูตร กำลังสองสมบูรณ์

กำหนดให้ $A$ แทนพจน์หน้า และ $B$ แทนพจน์หลัง จะได้ว่า

$A^2+2AB+B^2=(A+B)^2$

$A^2-2AB+B^2=(A-B)^2$

ตัวอย่างที่ 9 จงแยกตัวประกอบของ $x^2+2x+1$

วิธีทำ พิจารณา $x^2+2x+1=(x)^2+2(x)(1)+(1)^2$

แสดงว่า $x$ เป็นพจน์หน้า และ $1$ เป็นพจน์หลัง

จะได้ว่า $x^2+2x+1=(x+1)^2$

ตัวอย่างที่ 10 จงแยกตัวประกอบของ $x^2-6x+9$

วิธีทำ พิจารณา $x^2-6x+9=(x)^2-2(x)(3)+(3)^2$

แสดงว่า $x$ เป็นพจน์หน้า และ $3$ เป็นพจน์หลัง

จะได้ว่า $x^2-6x+9=(x-3)^2$

สูตร ผลบวกของกำลังสาม

สูตร ผลบวกของกำลังสาม

กำหนดให้ $A$ แทนพจน์หน้า และ $B$ แทนพจน์หลัง จะได้ว่า

$A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$

ตัวอย่างที่ 11 จงแยกตัวประกอบของ $x^3+8$

วิธีทำ พิจารณา $x^3+8=(x)^3+(2)^3$

แสดงว่า $x$ เป็นพจน์หน้า และ $2$ เป็นพจน์หลัง

จะได้ว่า $x^3+8=(x+2)(x^{2}-2x+4)$

ตัวอย่างที่ 12 จงแยกตัวประกอบของ $27x^3+64$

วิธีทำ พิจารณา $27x^3+64=(3x)^3+(4)^3$

แสดงว่า $3x$ เป็นพจน์หน้า และ $4$ เป็นพจน์หลัง

จะได้ว่า $27x^3+64=(3x+4)(9x^{2}-12x+16)$

สูตร ผลต่างของกำลังสาม

สูตร ผลต่างของกำลังสาม

กำหนดให้ $A$ แทนพจน์หน้า และ $B$ แทนพจน์หลัง จะได้ว่า

$A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$

ตัวอย่างที่ 13 จงแยกตัวประกอบของ $x^3-125$

วิธีทำ พิจารณา $x^3-125=(x)^3-(5)^3$

แสดงว่า $x$ เป็นพจน์หน้า และ $5$ เป็นพจน์หลัง

จะได้ว่า $x^3-125=(x-5)(x^{2}+5x+25)$

ตัวอย่างที่ 14 จงแยกตัวประกอบของ $8x^3-27$

วิธีทำ พิจารณา $8x^3-27=(2x)^3-(3)^3$

แสดงว่า $2x$ เป็นพจน์หน้า และ $3$ เป็นพจน์หลัง

จะได้ว่า $8x^3-27=(2x-3)(4x^{2}+6x+9)$

สรุปสูตรการแยกตัวประกอบของพหุนามที่ควรรู้

จากสูตรการแยกตัวประกอบของพหุนามทั้ง 4 สูตรนั้น พี่ขอสรุปให้น้อง ๆ จำแบบง่าย ๆ ได้ตามนี้เลยยย

ติวคณิตศาสตร์ ม.ปลาย กับ SmartMathPro

เนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย อาจดูเป็นเรื่องยากในความคิดของน้อง ๆ หลายคน แต่ที่จริงถ้าเรามีพื้นฐานที่ดี ทบทวนบทเรียนและฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ ก็จะทำให้เข้าใจในเนื้อหามากขึ้น แต่ถ้าใครยังกังวล กลัวว่าถ้าทบทวนเองแล้วจะไม่เข้าใจ จนทำให้เรียนบทอื่นต่อไม่ได้ อยากได้คนช่วยไกด์

พี่ขอแนะนำคอร์สติวคณิตศาสตร์ ม.4 – 6 แบบบุฟเฟต์สำหรับเสริมเกรด จาก SmartMathPro เลยย สมัครครั้งเดียวคุ้มมากกเรียนได้จนจบม.6 พร้อมส่วนลดสูงสุด 35%

โดยในคอร์ส พี่ปูพื้นฐานละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติมก็ คลิก ได้เลย

และนี่คือเนื้อหาพื้นฐานการแยกตัวประกอบของพหุนามทั้งหมดที่พี่ได้รวบรวมมาให้น้อง ๆ ในวันนี้น้าา หวังว่ามันจะช่วยในการปรับพื้นฐานเนื้อหา ม.ต้น เตรียมพร้อมสำหรับ ม.ปลาย และเตรียมตัวสอบเข้ามหาลัยฯ ให้น้อง ๆ ได้