ถ้าพูดถึง “เวกเตอร์” น้อง ๆ บางคนอาจจะคุ้นชื่อนี้จากวิชาฟิสิกส์ แต่ทุกคนรู้ไหมว่า เราจะได้เจอเวกเตอร์ในเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ด้วยน้าาา ซึ่งเวกเตอร์ในวิชาคณิตศาสตร์จะมีทฤษฎีบท สูตร และเนื้อหาอะไรที่เราต้องรู้บ้าง วันนี้พี่มาช่วยตอบทุกคำถามที่น้อง ๆ อยากรู้และอาจจะสงสัยให้แล้วในบทความนี้ แถมยังมีตัวอย่่างโจทย์ให้ทุกคนได้ฝึกทำพร้อมเฉลยละเอียดให้ด้วย ถ้าทุกคนพร้อมแล้ว ไปอ่านกันเลยยย
เวกเตอร์และสมบัติของเวกเตอร์
น้อง ๆ บางคนอาจคุ้นเคยกับปริมาณที่บ่งบอกขนาดต่าง ๆ เช่น ความยาว ระยะทาง ปริมาตร มวล อุณหภูมิ เป็นต้น เพื่อบอกความมากหรือน้อยของสิ่งนั้น ดังตัวอย่างประโยคเหล่านี้ในชีวิตประจำวันของน้อง ๆ
น้อง ๆ อาจเคยถามแม่ค้าว่า…
“แม่ค้าคะ มีไม้บรรทัดยาว 100 เซนติเมตรขายไหมคะ”
อาจเคยได้ยินเพื่อนบ่นว่า…
“วันนี้อากาศร้อนมากเลย ในแอปพลิเคชันบอกว่าอุณหภูมิ 32 องศา แต่ Feels Like 35 องศาแน่ะ !!”
หรืออาจได้ยินแม่พูดว่า…
“แมวของแม่กินเก่งมาก แม่ต้องซื้ออาหารแมวถุงใหญ่สุดที่มีน้ำหนัก 20 กิโลกรัมทุกเดือนเลย”
การบอกปริมาณบางอย่างสามารถบอกเพียงขนาดอย่างเดียวได้ ดังประโยคข้างต้น แต่ปริมาณบางอย่างไม่สามารถทำได้ จะต้องบอกขนาดควบคู่กับการพิจารณาทิศทางด้วย อ่านเพียงเท่านี้อาจฟังดูประหลาดสำหรับน้อง ๆ บางคนที่ไม่คุ้นเคย แต่พี่จะลองยกตัวอย่างต่อไปนี้
น้อง ๆ อาจเคยได้ยินคนถามซินแสว่า…
“ซินแสคะ จากบ้านหนูเดินทางไปทางทิศเหนือประมาณ 500 เมตรก็จะถึงแม่น้ำ ทำเลบ้านหนูดีไหมคะ”
หรือเคยได้ยินคนพากย์เรือยาวว่า…
“เรือยาวลำนี้เคลื่อนที่ไปข้างหน้าด้วยความเร่ง 4 เมตรต่อวินาทียกกำลังสองเลยทีเดียวครับบบ”
น้อง ๆ ที่เคยเรียนวิทยาศาสตร์มาแล้วบางคนอาจจะคุ้นเคยกับคำว่า “เวกเตอร์” มาบ้าง พี่จะขอสรุปความหมายของปริมาณทั้งสองแบบพร้อมทั้งชื่อเรียกไว้ดังนี้
ชนิดของปริมาณ
- ปริมาณสเกลาร์ คือ มีขนาดเพียงอย่างเดียว เช่น มูลค่าของเงิน ระยะทาง ช่วงเวลา
- ปริมาณเวกเตอร์ คือ มีทั้งขนาดและทิศทาง เช่น แรงผลัก ระยะกระจัด ความเร็ว
ปริมาณสเกลาร์สามารถเขียนแทนด้วยจำนวนจริงได้เลย แต่ปริมาณเวกเตอร์จะต้องมีส่วนของเส้นตรงและหัวลูกศรมา
ระบุทิศทางด้วย โดยความยาวของส่วนของเส้นตรงจะเป็นตัวบอกขนาดนั่นเอง โดยสัญลักษณ์ที่น้อง ๆ จะได้เจอใน
เวกเตอร์ มีดังนี้
หลังจากที่เราทำความรู้จักสัญลักษณ์ซึ่งจะต้องเจอในบทนี้ พี่จะขออธิบายคำสำคัญ อย่างเช่น การขนานกันของเวกเตอร์ การเท่ากันของเวกเตอร์ และนิเสธของเวกเตอร์ให้น้อง ๆ เข้าใจอย่างง่าย ๆ ดังรูปด้านล่างนี้เลย
การบวกเวกเตอร์
การบวกเวกเตอร์มีความแตกต่างกับการบวกของจำนวนทางคณิตศาสตร์ทั่วไป เพราะการบวกเวกเตอร์เราต้องคำนึงถึงทั้งขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ด้วย
บทนิยาม
ให้ katex is not defined และ katex is not defined เป็นเวกเตอร์ใด ๆ เขียน katex is not defined โดยให้จุดเริ่มต้นของ katex is not defined อยู่ที่จุดสิ้นสุดของ katex is not defined ผลบวกของ katex is not defined และ katex is not defined คือ เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดเริ่มต้นของ katex is not defined และจุดสิ้นสุดอยู่ที่จุดสิ้นสุดของ katex is not defined
นั่นคือ การบวกของ katex is not defined และ katex is not defined คือการนำหัวของ katex is not defined ต่อที่หางของ katex is not defined แล้วผลบวกของ katex is not defined และ katex is not defined จะมีหางอยู่ที่หางของ katex is not defined และหัวอยู่ที่หัวของ katex is not defined หรือเราสามารถเรียกว่าการบวกเวกเตอร์แบบหางต่อหัวนั่นเอง
ผลบวกของ katex is not defined และ katex is not defined เขียนแทนด้วย katex is not defined
ตัวอย่างที่ 1
จงหาเวกเตอร์ katex is not defined
จากตัวอย่าง นำเวกเตอร์ katex is not defined มาต่อกับเวกเตอร์ katex is not defined ให้หางของเวกเตอร์ katex is not defined ต่อที่หัวของเวกเตอร์ katex is not defined แล้วเวกเตอร์ลัพธ์ katex is not defined จะลากจากหางของเวกเตอร์ katex is not defined ไปที่หัวของเวกเตอร์ katex is not defined ดังรูปข้างต้น
เวกเตอร์ศูนย์
บทนิยาม
เวกเตอร์ศูนย์ (zero vector) คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเป็นศูนย์
เวกเตอร์ศูนย์ เขียนแทนด้วย katex is not defined
โดยทั่วไปเราจะไม่กล่าวถึงทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์ แต่ถ้าต้องการกล่าวถึงมีข้อตกลงว่าจะระบุทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์เป็นเช่นใดก็ได้
จากบทนิยามจะเห็นว่า สำหรับเวกเตอร์ katex is not defined ใด ๆ katex is not defined และ katex is not defined
เวกเตอร์ศูนย์จะมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์เป็นจุดเดียวกันนั่นเอง
สรุปสมบัติการบวกเวกเตอร์ ได้ดังนี้ katex is not defined
ให้ katex is not defined , katex is not defined และ katex is not defined เป็นเวกเตอร์ใด ๆ
1. katex is not defined
2. katex is not defined
3. katex is not defined
4. katex is not defined
การลบเวกเตอร์
หลังจากเรารู้จักการบวกเวกเตอร์และเวกเตอร์ศูนย์แล้ว ในหัวข้อนี้เราจะมาดูว่าการลบเวกเตอร์ มีหลักการหรือวิธีการที่เหมือนหรือแตกต่างจากการบวกเวกเตอร์ยังไง
บทนิยาม
ให้ katex is not defined และ katex is not defined เป็นเวกเตอร์ใด ๆ katex is not defined ลบด้วย katex is not defined เขียนแทนด้วย katex is not defined คือผลบวกเวกเตอร์ของ katex is not defined และนิเสธของ katex is not defined นั่นคือ katex is not defined
การลบเวกเตอร์สามารถหาได้จากการบวกด้วยนิเสธของเวกเตอร์ นั่นคือการบวกเวกเตอร์นั้นในทิศทางตรงกันข้าม โดยน้อง ๆ สามารถใช้การบวกแบบหางต่อหัวเช่นเดียวกันกับการบวกในหัวข้อก่อนหน้าเลย
ตัวอย่างที่ 2
จงหาเวกเตอร์ katex is not defined
จาก katex is not defined และ katex is not defined ที่กำหนดให้ เราจะหานิเสธของ katex is not defined โดยที่มีขนาดเท่าเดิม แต่มีทิศทางตรงกันข้าม นั่นคือ katex is not defined จากนั้นนำ katex is not defined มาบวกกับ katex is not defined แล้วจะได้เวกเตอร์ลัพธ์ที่ลากจากหางของ katex is not defined ไปที่หัวของ katex is not defined และมีทิศทางดังรูปด้านบน
การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์
ในการศึกษาหัวข้อนี้ เราจะใช้อักษร a, b, c, … แทนสเกลาร์ (จำนวนจริง)
บทนิยาม
ให้ katex is not defined เป็นสเกลาร์ และ katex is not defined เป็นเวกเตอร์ ผลคูณของ katex is not defined กับสเกลาร์ katex is not defined เป็นเวกเตอร์ เขียนแทนด้วย katex is not defined โดยที่
- ถ้า katex is not defined แล้ว katex is not defined
- ถ้า katex is not defined แล้ว katex is not defined จะมีขนาด katex is not defined หน่วย และมีทิศทางเดียวกับ katex is not defined
- ถ้า katex is not defined แล้ว katex is not defined จะมีขนาด katex is not defined หน่วย แต่มีทิศทางตรงข้ามกับ katex is not defined
หมายเหตุ
1. katex is not defined
2. ถ้า katex is not defined และ katex is not defined ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ แล้ว katex is not defined จะขนานกับ katex is not defined
ตัวอย่างที่ 3
ให้ katex is not defined เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาด katex is not defined หน่วย จงบรรยายลักษณะของเวกเตอร์ต่อไปนี้
- katex is not defined
- katex is not defined
- katex is not defined
- katex is not defined
- เนื่องจาก katex is not defined ดังนั้น katex is not defined จะมีขนาดเป็นสี่เท่าของ katex is not defined หรือมีขนาด katex is not defined หน่วย และมีทิศทางเดียวกับ katex is not defined
- เนื่องจาก katex is not defined ดังนั้น katex is not defined จะมีขนาดเป็นสี่เท่าของ katex is not defined หรือมีขนาด katex is not defined หน่วย แต่มีทิศทางตรงข้ามกับ katex is not defined
- เนื่องจาก katex is not defined ดังนั้น katex is not defined จะมีขนาดเป็นหนึ่งในสี่ของkatex is not defined หรือมีขนาด katex is not defined หน่วย และมีทิศทางเดียวกับ katex is not defined
- เนื่องจาก katex is not defined ดังนั้น katex is not defined จะมีขนาดเป็นหนึ่งในสี่ของ katex is not defined หรือมีขนาด katex is not defined หน่วย แต่มีทิศทางตรงข้ามกับ katex is not defined
สรุปสมบัติการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ ได้ดังนี้
ให้ a, b เป็นสเกลาร์ และ katex is not defined, katex is not defined เป็นเวกเตอร์
- katex is not defined
- katex is not defined
- katex is not defined
- katex is not defined
เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
หลังจากที่น้อง ๆ ได้รู้จักแล้วว่าเวกเตอร์คืออะไร สามารถเขียนสัญลักษณ์แทนเวกเตอร์ได้แบบไหนแล้ว แต่การจะบรรยายว่าเวกเตอร์นั้นมีขนาดเท่าไร และมีทิศทางไปทางไหนโดยใช้การวาดรูปไปตลอดคงจะไม่ค่อยสะดวกนัก จึงมีวิธีการเขียนเวกเตอร์ให้เข้าใจได้ง่ายอยู่ 2 แบบ คือ
1. การใช้เมทริกซ์ช่วย
2. การใช้เวกเตอร์ katex is not defined ช่วย โดยที่เวกเตอร์ katex is not defined เป็นเวกเตอร์ขนาดหนึ่งหน่วยที่มีทิศทางตามแกน katex is not defined ในระบบพิกัดฉากตามลำดับ
ซึ่งวิธีการเขียน 2 แบบนี้มีความแตกต่างกันยังไง พี่มีตัวอย่างให้น้อง ๆ ได้ดู ตามนี้เลย
ตัวอย่างที่ 4
จงเขียนเวกเตอร์ katex is not defined ที่มีลักษณะดังรูป ในรูปแบบเมทริกซ์ และในรูปแบบเวกเตอร์ katex is not defined
วิธีทำ
- เขียนในรูปแบบเมทริกซ์ katex is not defined
- เขียนในรูปแบบเวกเตอร์ katex is not defined
katex is not defined
ป.ล. พี่จะขอใช้วิธีการเขียนเวกเตอร์ในรูปแบบเมทริกซ์ในการอธิบายเนื้อหาหลังจากนี้น้า
โดยตัวอย่างข้างต้นเป็นการหาเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นเป็นจุดกำเนิด แต่ถ้าจุดเริ่มต้นไม่ใช่จุดกำเนิดล่ะ จะหาเวกเตอร์ยังไงดี พี่มีตัวอย่างเล็ก ๆ ที่จะให้น้อง ๆ รู้วิธีหาเวกเตอร์จากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดใด ๆ ได้ ตามนี้เลย
ตัวอย่างที่ 5
จงหาเวกเตอร์ katex is not defined และ katex is not defined ที่มีจุด katex is not defined คือจุด katex is not defined และจุด katex is not defined คือจุด katex is not defined
วิธีทำ
katex is not defined
katex is not defined
ดังนั้น katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
ดังนั้น katex is not defined
ตัวอย่างที่ 6
จงหาเวกเตอร์ katex is not defined และ katex is not defined ที่มีจุด katex is not defined คือจุด katex is not defined และจุด katex is not defined คือจุด katex is not defined
วิธีทำ
katex is not defined
katex is not defined
ดังนั้น katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
ดังนั้น katex is not defined
ขนาดของเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
การหาขนาดของเวกเตอร์ เราจะใช้ความรู้เดิมจากเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ นั่นคือ ระยะห่างระหว่างจุดกับจุด เช่น ถ้าอยากหาขนาดของ katex is not defined เราจะหาระยะห่างระหว่างจุด katex is not defined กับจุด katex is not defined และสรุปเป็นขนาดของ katex is not defined ได้เลย โดยมีสูตรขนาดของเวกเตอร์ดังนี้
กำหนดให้ katex is not defined และ katex is not defined จะได้ว่า
ขนาดของ katex is not defined
ขนาดของ katex is not defined
ตัวอย่างที่ 7
จงหาขนาดของ katex is not defined โดยที่ katex is not defined
วิธีทำ
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
ดังนั้น ขนาดของ katex is not defined คือ katex is not defined
เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในระบบพิกัดฉาก
บทนิยาม
เวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วย เรียกว่า เวกเตอร์หนึ่งหน่วย
เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในระบบพิกัดฉาก 2 มิติที่สำคัญคือ katex is not defined เขียนแทนด้วย katex is not defined และ katex is not defined เขียนแทนด้วย katex is not defined
ส่วนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่สำคัญในระบบพิกัดฉาก 3 มิติที่สำคัญ คือ katex is not defined เขียนแทนด้วย katex is not defined , katex is not defined เขียนแทนด้วย katex is not defined และ katex is not defined เขียนแทนด้วย katex is not defined
เนื่องจาก katex is not defined ใด ๆ ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์จะมีขนาดเท่ากับ katex is not defined ดังนั้นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ katex is not defined คือ katex is not defined
ตัวอย่างที่ 8
จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ katex is not defined
วิธีทำ
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
ดังนั้น เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ katex is not defined คือ katex is not defined
การดำเนินการของเวกเตอร์
ตัวอย่างที่ 9
กำหนดให้ katex is not defined และ katex is not defined จงหา katex is not defined
วิธีทำ
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
ดังนั้น katex is not defined
ผลคูณเชิงสเกลาร์
บทนิยาม
ให้ katex is not defined และ katex is not defined เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสองมิติหรือสามมิติ katex is not defined และ katex is not defined เป็นสเกลาร์ ผลคูณเชิงสเกลาร์ของ katex is not defined และ katex is not defined (อ่านว่า เวกเตอร์ยู ดอท เวกเตอร์วี) กำหนดดังนี้
- ถ้า katex is not defined และ katex is not defined เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสองมิติ จะได้ katex is not defined
- ถ้า katex is not defined และ katex is not defined เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ
จะได้ katex is not defined
ตัวอย่างที่ 10
กำหนดให้ katex is not defined และ katex is not defined จงหา katex is not defined
วิธีทำ
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
ดังนั้น katex is not defined
ให้ katex is not defined และ katex is not defined เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระบบพิกัดฉากสองมิติหรือสามมิติและ katex is not defined เป็นสเกลาร์ จะได้ว่า
- katex is not defined
- katex is not defined และ katex is not defined
- katex is not defined
- katex is not defined
- katex is not defined
- katex is not defined และ katex is not defined
ให้ katex is not defined และ katex is not defined เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ ในระบบพิกัดฉากสองมิติหรือสามมิติและ katex is not defined เป็นขนาดของมุมระหว่าง katex is not defined และ katex is not defined ซึ่ง katex is not defined (มุมระหว่างเตอร์ หมายถึงที่ไม่ใช่มุมกลับ ซึ่งมีแขนของมุมเป็นรังสีที่ขนานและมีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ทั้งสอง) จะได้ว่า
katex is not defined
ตัวอย่างที่ 11
จงหาค่าของ katex is not defined โดยกำหนดให้ขนาดของ katex is not defined และ katex is not defined เป็น 10 และ 7 ตามลำดับ และมีขนาดของมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองเป็น katex is not defined
วิธีทำ
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
ดังนั้น katex is not defined
จากตัวอย่างข้างต้น พี่อยากให้น้อง ๆ สังเกตว่า ถ้าเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกันหรือทำมุมกัน katex is not defined จะทำให้ค่าของkatex is not defined เป็น 0
ให้ katex is not defined และ katex is not defined เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระบบพิกัดฉากสองมิติหรือสามมิติ จะได้ว่า katex is not defined ตั้งฉากกับ katex is not defined ก็ต่อเมื่อ katex is not defined
ผลคูณเชิงเวกเตอร์
ในหัวข้อที่แล้วน้อง ๆ ได้รู้จักกับผลคูณเชิงสเกลาร์ซึ่งเกิดจากการคูณระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์แล้วได้ผลลัพธ์เป็น
สเกลาร์กันไปแล้ว ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการคูณระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์แล้วได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ดูบ้าง
ดังบทนิยามนี้
บทนิยาม
ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของ katex is not defined และ katex is not defined เขียนแทนด้วย katex is not defined
กำหนดโดย katex is not defined
katex is not defined อ่านว่า เวกเตอร์ยู ครอส เวกเตอร์วี
วิธีการหาผลคูณเชิงเวกเตอร์ (การครอสเวกเตอร์)
วิธีการครอสเวกเตอร์
katex is not defined
katex is not definedkatex is not definedkatex is not defined
katex is not defined
วิธีทำ
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
ทีนี้มาดูหน้าตาของเวกเตอร์ที่ได้จากการ “ครอส” กันเถอะ !!
ลักษณะของผลลัพธ์ของผลคูณเชิงเวกเตอร์
เราสามารถแสดงทิศทางของ katex is not defined โดยใช้กฎของมือขวาได้ดังรูป
และสามารถแสดงทิศทางของ katex is not defined โดยใช้กฎของมือขวาได้ดังรูป
จะสังเกตได้ว่า เมื่อ katex is not defined และ katex is not defined เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ขนานกัน จะได้ว่าทั้ง
katex is not defined และ katex is not defined เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบของ katex is not defined และ katex is not defined และทั้งสองมีทิศทางตรงกันข้ามกัน
จึงสรุปได้ว่า katex is not defined หรือก็คือเป็นนิเสธของกันและกันนั่นเอง
สมบัติต่าง ๆ ของผลคูณเชิงเวกเตอร์
ให้ katex is not defined และ katex is not defined เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระบบพิกัดฉากสามมิติ และ katex is not defined เป็นจํานวนจริงใด ๆ katex is not defined
1. katex is not defined
2. katex is not defined
3. katex is not defined
4. katex is not defined
5. katex is not defined
6. katex is not defined
น้อง ๆ ได้รู้จักหน้าตาและทิศทางของผลคูณเชิงเวกเตอร์กันแล้ว คราวนี้เหลือขนาดของผลคูณเชิงเวกเตอร์ที่เรายังไม่รู้ ไปดูกันดีกว่าว่าเราจะหาขนาดของผลคูณเชิงเวกเตอร์ได้ยังไง
ให้ katex is not defined และ katex is not defined เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระบบพิกัดฉากสามมิติ จะได้ว่า katex is not defined เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ katex is not defined และ katex is not defined
และมีขนาดเป็น katex is not defined
เมื่อ katex is not defined เป็นขนาดของมุมระหว่าง katex is not defined และ katex is not defined โดยที่
katex is not defined
ตัวอย่างที่ 13
ให้ katex is not defined และ katex is not defined จงหาค่าของ katex is not defined เมื่อ katex is not defined เป็นขนาดของมุมระหว่าง katex is not defined และ katex is not defined
วิธีทำ
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
เนื่องจาก katex is not defined และ katex is not defined
จะได้ว่า katex is not defined
ดังนั้น katex is not defined
การหาพื้นที่และปริมาตร
การใช้เวกเตอร์ในการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ก่อนอื่น ขอทบทวนเรื่องตรีโกณมิติกันนิดนึงน้า ถ้าเรามีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มุมหนึ่งมีขนาด katex is not defined และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว katex is not defined เราจะได้ว่าด้านประชิดมุมและด้านตรงข้ามมุมจะมีความยาวเป็น katex is not defined และ katex is not defined ดังรูป
เนื่องจาก ขนาดของเวกเตอร์สามารถแทนด้วยความยาวของเวกเตอร์ในรูปของลูกศรได้ แสดงว่า เราสามารถนำความยาวดังกล่าวมาใช้ในการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้ ว่าแต่เราจะประยุกต์ยังไง น้อง ๆ ไปดูกันเลย
กำหนดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน katex is not defined
ให้ katex is not defined และ katex is not defined เป็นขนาดของมุมระหว่าง katex is not defined และ katex is not defined
สิ่งที่เราต้องการคือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งมีสูตรว่า ฐาน katex is not defined สูง
โจทย์กำหนดเวกเตอร์มาให้เพียงอย่างเดียว เราต้องนำเวกเตอร์ที่มีไปหาขนาดก่อนเพื่อไปหาความยาวของด้านต่าง ๆ ต่อได้ โดยเราจะได้ว่าความยาวของฐานสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ katex is not defined ส่วนความสูงของสี่เหลี่ยมนั้น จากความรู้ตรีโกณมิติที่ทบทวนไปข้างต้นก็จะได้ว่าความสูงของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ katex is not defined ดังรูป
จึงสรุปได้ว่า katex is not defined เป็นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
แต่เนื่องจาก katex is not defined
ดังนั้น katex is not defined จึงเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานดังกล่าวด้วย
ตัวอย่างที่ 14
จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน katex is not defined เมื่อ katex is not defined และ katex is not defined
วิธีทำ พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน katex is not defined เท่ากับ katex is not defined เนื่องจาก
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
จะได้ katex is not defined
ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน katex is not defined มีพื้นที่ katex is not defined ตารางหน่วย
การใช้เวกเตอร์ในการหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน
กำหนดทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน katex is not defined ให้ katex is not defined และ katex is not defined เป็นขนาดของมุมระหว่าง katex is not defined และ katex is not defined ในที่นี้จะพิจารณารูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน katex is not defined เป็นฐาน และ katex is not defined เป็นความสูง จะได้ว่า katex is not defined ดังรูป
จากสูตรการหาปริมาตรทางสี่เหลี่ยมขนานนั่นคือ พื้นที่ฐาน x สูง
ดังนั้น ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมขนานเท่ากับ katex is not defined
เนื่องจาก katex is not defined จึงได้ katex is not defined (ที่มีการใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ katex is not defined ครอบไว้ทั้งหมด เพราะปริมาตรไม่สามารถเป็นจำนวนจริงลบได้)
ตัวอย่างที่ 15
จงหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน katex is not defined โดยที่ katex is not defined และ katex is not defined
วิธีทำ เนื่องจากปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
จะได้ katex is not defined
katex is not defined
ดังนั้น ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน katex is not defined เท่ากับ katex is not defined ลูกบาศก์หน่วย
ดูคลิปติวเรื่อง เวกเตอร์
ติดตามคลิปติวฟรีอื่น ๆ จากพี่ปั้น ได้ทาง YouTube Channel : SmartMathPro
อ่านมาจนถึงตรงนี้ พี่่ว่าน้อง ๆ น่าจะพอเห็นภาพรวมเนื้อหาบท เวกตอร์ ม.5 กันบ้างแล้ว ซึ่งนอกจากการอ่านสรุปและลองทำโจทย์ตามตัวอย่างที่พี่ยกมาข้างต้น พี่ก็แนะนำให้ทุกคนลองทำแบบฝึกหัดบทเวกเตอร์เพิ่มเติมด้วยน้าา เราจะได้เข้าใจเนื้อหามากขึ้น พร้อมลุยกับการสอบทั้งกลางภาคและปลายภาคนั่นเองง
แต่ถ้าใครฝึกทำโจทย์เองแล้ว ยังคงมีจุดที่ไม่เข้าใจอยู่ อยากได้คนช่วยไกด์เรื่องเนื้อหาและฝึกทำโจทย์บทเวกเตอร์ รวมถึงเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย บทอื่น ๆ ด้วยพี่ขอแนะนำคอร์สติวคณิตศาสตร์ ม.4 – 6 แบบบุฟเฟต์สำหรับเสริมเกรด จาก SmartMathPro เลยย สมัครครั้งเดียวคุ้มมากกเรียนได้จนจบ ม.6 พร้อมส่วนลดสูงสุด 35%
โดยในคอร์ส พี่ปูพื้นฐานละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติมก็ คลิก ได้เลย
บทความ แนะนำ
คณิตศาสตร์ ม.ปลาย (ม.4 ม.5 ม.6) หลักสูตรใหม่ เรียนเรื่องอะไรบ้าง ?
คณิตศาสตร์ ม.5 เทอม 1 และเทอม 2 เรียนอะไรบ้าง ? สรุปครบทั้งคณิตพื้นฐานและเพิ่มเติม
ตรีโกณมิติ ม.5 สรุปพร้อมแจกโจทย์และสูตรจัดเต็ม !!
เมทริกซ์ ม.5 สรุปเนื้อหาครบทุกหัวข้อ !!
บทความ แนะนำ
คณิตศาสตร์ ม.ปลาย (ม.4 ม.5 ม.6) หลักสูตรใหม่ เรียนเรื่องอะไรบ้าง ?
สำหรับน้อง ๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม รวมถึงติดตามข่าวสารต่าง ๆ ที่อัปเดตอย่างเรียลไทม์ ได้ที่
Line : @smartmathpronews
FB : Pan SmartMathPro ติวคณิต By พี่ปั้น
IG : pan_smartmathpro
X : @PanSmartMathPro
Tiktok : @pan_smartmathpro
Lemon8 : @pan_smartmathpro
