มีน้อง ๆ ม.6 คนไหนอยากได้สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย อยู่บ้างงง สำหรับบทที่พี่เอามาฝากทุกคนวันนี้คือ
บทตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น ม.6 นั่นเองง
โดยพี่ได้สรุปหัวข้อสำคัญ ๆ มาให้ทุกคนตั้งแต่ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง (ค่าคาดหมาย,
การแจกแจงทวินาม) และการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (การแจกแจงปกติมาตรฐาน และการแจกแจงปกติ) จะมีเนื้อหาอย่างไรบ้าง ไปดูกันเล้ยยย
ตัวแปรสุ่ม
ความหมายของตัวแปรสุ่ม
เราลองมาโยนเหรียญที่เที่ยงตรง katex is not defined เหรียญ katex is not defined ครั้งกัน โดย katex is not defined แทนเหรียญขึ้นหัว และ katex is not defined แทนเหรียญขึ้นก้อย จะได้ปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่มนี้ คือ katex is not defined ซึ่งถ้าเราลองมานับจำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว จากการโยนเหรียญจะได้ว่า
katex is not defined มีเหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัว katex is not defined ครั้ง
katex is not defined และ katex is not defined มีเหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัว katex is not defined ครั้ง
katex is not defined มีเหตุการณ์ที่เหรียญขึ้นหัว katex is not defined ครั้ง
จากการทดลองสุ่มครั้งนี้ สิ่งที่เราสนใจ คือ จำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว ซึ่งเราจะเรียกสิ่งนี้ว่าตัวแปรสุ่ม และผลลัพธ์ที่ได้จากตัวแปรสุ่ม katex is not defined ครั้ง จะเรียกว่า ค่าของตัวแปรสุ่ม หรือ ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม
บทนิยาม
ตัวแปรสุ่ม (random variable) คือ ฟังก์ชันจากปริภูมิตัวอย่างของการทดลองสุ่มไปยังเซตของจำนวนจริง
และเรียกสมาชิกของเรนจ์ของตัวแปรสุ่มว่า ค่าของตัวแปรสุ่ม มักจะใช้ katex is not defined (ตัวอักษรพิมพ์ใหญ่) แทนตัวแปรสุ่ม ใช้ katex is not defined (ตัวอักษรพิมพ์เล็ก) แทนค่าของตัวแปรสุ่ม และใช้ katex is not defined แทนเหตุการณ์ที่ค่าของตัวแปรสุ่มเป็น katex is not defined
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ตัวแปรสุ่ม katex is not defined คือ จำนวนครั้งที่ลูกเต๋าขึ้นแต้ม katex is not defined จากการโยนลูกเต๋า katex is not defined ลูก katex is not defined ครั้ง จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม katex is not defined
แนวคิด
สามารถเกิดได้ทั้งหมด 4 กรณี
- กรณีที่ 1 โยนลูกเต๋า 3 ครั้ง ขึ้นแต้ม 3 ทั้งหมด 0 ครั้ง
แปลว่าไม่มีครั้งไหนขึ้นแต้ม 3 เลย (เช่น ทอดลูกเต๋าได้แต้ม 2, 1, 4 ตามลำดับ)
จะได้ว่า ค่าของตัวแปรสุ่ม X คือ 0 เขียนได้เป็น X=0 - กรณีที่ 2 โยนลูกเต๋า 3 ครั้ง ขึ้นแต้ม 3 ทั้งหมด 1 ครั้ง
แปลว่าอาจจะเป็นครั้งที่ 1, 2 หรือ 3 ก็ได้ แต่ขึ้นเพียงครั้งเดียว (เช่น ทอดลูกเต๋าได้แต้ม 3, 1, 4 ตามลำดับ)
จะได้ว่า ค่าของตัวแปรสุ่ม X คือ 1 เขียนได้เป็น X=1 - กรณีที่ 3 โยนลูกเต๋า 3 ครั้ง ขึ้นแต้ม 3 ทั้งหมด 2 ครั้ง
แปลว่าอาจจะเป็นครั้งที่ 1, 2 หรือ 3 ก็ได้ แต่ขึ้นรวมกันทั้งหมด 2 ครั้ง (เช่น ทอดลูกเต๋าได้แต้ม 3, 1, 3 ตามลำดับ)
จะได้ว่า ค่าของตัวแปรสุ่ม X คือ 2 เขียนได้เป็น X=2 - กรณีที่ 4 โยนลูกเต๋า 3 ครั้ง ขึ้นแต้ม 3 ทุกครั้ง (นั่นคือ ทอดลูกเต๋าได้แต้ม 3, 3, 3 ตามลำดับ)
จะได้ว่า ค่าของตัวแปรสุ่ม X คือ 3 เขียนได้เป็น X=3
ตอบ ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม katex is not defined คือ katex is not defined
เราจะสามารถเขียนในรูปสัญลักษณ์ได้เป็น katex is not defined โดยที่ katex is not defined
ชนิดของตัวแปรสุ่ม
โดยทั่วไปตัวแปรสุ่มสามารถแบ่งได้เป็น 2 ชนิด ตามลักษณะของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม ดังนี้
- ตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง (discrete random variable) คือ ตัวแปรสุ่มที่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดเขียนอยู่ในรูปเซต
ที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้ หรือสามารถเขียนเรียงลำดับจากน้อยไปมากได้ เช่น ตัวแปรสุ่ม
katex is not defined คือ จำนวนพี่น้อง (คน) ทั้งหมด ของนักเรียนในห้อง - ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง (continuous random variable) คือ ตัวแปรสุ่มที่ค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด
เขียนอยู่ในรูปช่วงที่เป็นสับเซตของ katex is not defined เช่น ตัวแปรสุ่ม katex is not defined คือ เวลา (วินาที) ที่นักกีฬาใช้ในการวิ่งรอบสนาม katex is not defined เมตร
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
การนําความน่าจะเป็นของการเกิดค่าแต่ละค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม มาแสดงในรูปตารางหรือกราฟ เพื่ออธิบายลักษณะของตัวแปรสุ่ม เรียกว่า การแจกแจงความน่าจะเป็น ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 2 ให้ตัวแปรสุ่ม katex is not defined คือ จำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นหัว จากการที่หมีเนยโยนเหรียญเที่ยงตรง katex is not defined เหรียญ katex is not defined ครั้ง จงเขียนแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม katex is not defined ในรูปตารางและกราฟ
แนวคิด เราจะสร้างตารางโดยแบ่งเป็น จำนวนครั้งเหรียญที่ขึ้นหัว katex is not defined ครั้ง และค่าของความน่าจะเป็น katex is not defined
ค่ากลางและการวัดการกระจาย
ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
ตัวอย่างที่ 3 จำนวนเงินที่นักเรียน ม.katex is not defined ของโรงเรียน katex is not defined จำนวน katex is not defined คน นำมาโรงเรียน เป็นดังตารางความถี่
ถ้าสุ่มนักเรียน katex is not defined คน จากห้องนี้ และให้ตัวแปรสุ่ม katex is not defined คือ จำนวนเงิน (บาท) ของนักเรียนที่สุ่มได้ จงหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม katex is not defined
วิธีทำ
พิจารณาสิ่งที่โจทย์กำหนดให้
จาก katex is not defined
katex is not defined
จะได้ว่า katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined บาท
ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม katex is not defined คือ katex is not defined บาท
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง
น้อง ๆ รู้ไหมว่า นอกจากค่าคาดหมายแล้ว เราสามารถนิยามส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มเพื่อใช้ในการวัดการกระจายของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มว่ามีความแตกต่างจากค่าคาดหมายมากหรือน้อยเพียงใดได้ด้วย
ตัวอย่างที่ 4 สุ่มนักเรียนของพี่ลั่นปุ้นมา 1 คน จากทั้งหมด 5 คน ให้ตัวแปรสุ่ม katex is not defined คือ จำนวนไก่แจ้ในบ้านของนักเรียนที่สุ่มได้ โดยข้อมูลของจำนวนไก่แจ้ของนักเรียนเป็นดังตารางต่อไปนี้
จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน
แนวคิด เนื่องจากสูตรส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน มีการนำค่า katex is not defined แต่ละตัวลบออกด้วยค่าคาดหมาย ดังนั้นเราจะหาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มก่อน เพื่อนำไปหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และเมื่อได้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเราสามารถนำไปยกกำลังสอง เพื่อหาค่าความแปรปรวนต่อได้
วิธีทำ พิจารณาค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
1. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
2. ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม katex is not defined
จากส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม katex is not defined
จะได้ ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มเป็น katex is not defined หรือ katex is not defined นั่นเอง
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม katex is not defined คือ katex is not defined และความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม katex is not defined คือ katex is not defined
การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง
จากบทนิยาม เราสรุปได้ว่าค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแต่ละค่าจะต้องมีความน่าจะเป็นเท่ากันนั่นเอง
- การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง
เช่น ตัวแปรสุ่ม katex is not defined คือ จำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นก้อยจากการโยนเหรียญเที่ยงตรง katex is not defined เหรียญ katex is not defined ครั้ง จะได้ว่า katex is not defined โดยที่ katex is not defined - การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่ไม่เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง
เช่น ตัวแปรสุ่ม katex is not defined คือ จำนวนครั้งที่เหรียญขึ้นก้อย จากการโยนเหรียญเที่ยงตรง katex is not defined เหรียญ katex is not defined ครั้ง เนื่องจาก katex is not defined แต่ katex is not defined ดังนั้น katex is not defined
การแจกแจงทวินาม
บทนิยาม
การแจกแจงทวินาม คือ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม katex is not defined ซึ่งคือจำนวนครั้งของการเกิดผลสำเร็จจากการทดลองสุ่ม katex is not defined ครั้ง เป็นอิสระกัน โดยในแต่ละครั้งมีโอกาสเกิดผลสำเร็จด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ katex is not defined และไม่เกิดผลสำเร็จด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ katex is not defined
จากบทนิยาม การแจกแจงทวินามคือตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องที่มีลักษณะดังนี้
- เป็นการทำการทดลองซ้ำ ๆ กัน โดยแต่ละครั้งจะเป็นอิสระต่อกัน
- ผลที่ได้จะมี 2 แบบเสมอ คือ สำเร็จหรือไม่สำเร็จ
- ในแต่ละครั้งของการทดลองสุ่ม ความน่าจะเป็นที่สำเร็จ คือ katex is not defined และไม่สำเร็จคือ katex is not defined
และเราสามารถเขียนสัญลักษณ์ katex is not defined เพื่อแสดงว่าการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม katex is not defined เป็นการแจกแจงทวินามที่มี katex is not defined และ katex is not defined เป็นพารามิเตอร์ โดย
katex is not defined หมายถึงจำนวนครั้งของการทดลองสุ่ม
katex is not defined หมายถึงความน่าจะเป็นที่จะเกิดผลสำเร็จในการทดลองสุ่มแต่ละครั้ง
นอกจากจะเขียน katex is not defined แทนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ค่าของตัวแปรสุ่ม katex is not defined เป็น katex is not defined แล้วยังสามารถเขียนในรูปของอสมการได้ เช่น katex is not defined แทน ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม katex is not defined ที่มีค่าน้อยกว่า katex is not defined และ katex is not defined แทน ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม katex is not defined ที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ katex is not defined
ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้ katex is not defined จงหา
1. katex is not defined
วิธีทำ
จาก katex is not defined
จะได้ว่า katex is not defined และ katex is not defined จากทฤษฎีบท katex is not defined
จะได้ว่า katex is not defined
2. katex is not defined
วิธีทำ
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
ตัวอย่างที่ 6 น้องปั้นเป่ายิงฉุบกับเพื่อน พบว่าโอกาสที่น้องปั้นจะเป่ายิงฉุบชนะในแต่ละครั้งคือ katex is not defined ที่เหลือเป็นแพ้หมด (สมมติว่าหากเป่ายิงฉุบเสมอจะไม่นับ ต้องเป่ายิงฉุบใหม่) กำหนดให้ตัวแปรสุ่ม katex is not defined คือ จำนวนครั้งที่น้องปั้นเป่ายิงฉุบชนะ หากน้องปั้นเป่ายิงฉุบทั้งหมด katex is not defined ครั้ง จงหา
แนวคิด จากโจทย์ น้องปั้นเป่ายิงฉุบ katex is not defined ครั้งและโอกาสที่จะชนะ katex is not defined เราจะได้ว่า katex is not defined และ katex is not defined ดังนั้น katex is not defined
1. ความน่าจะเป็นที่น้องปั้นจะเป่ายิงฉุบชนะอย่างน้อย katex is not defined ครั้ง
วิธีทำ
แสดงว่าโจทย์ต้องการหา katex is not defined
จาก katex is not defined
น้องจะเห็นว่าเราต้องคำนวณเยอะมากเพื่อหาค่าของ katex is not defined
แต่เราสามารถหา katex is not defined จาก katex is not defined ได้น้า
จะได้ว่า katex is not defined
2. ค่าคาดหมายของการเป่ายิงฉุบและอธิบายความหมาย
วิธีทำ
จาก katex is not defined
หมายความว่าโดยเฉลี่ยแล้วจากการที่น้องปั้นเป่ายิงฉุบ katex is not defined ครั้ง จะชนะ katex is not defined ครั้ง
3. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของการเป่ายิงฉุบและอธิบายความหมาย
วิธีทำ
จาก katex is not defined
หมายความว่าในการเป่ายิงฉุบ katex is not defined ครั้ง จำนวนครั้งที่จะชนะจะต่างจากค่าคาดหมาย katex is not defined1.2katex is not defined ครั้ง
การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
เรนจ์ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเป็นช่วงที่เป็นสับเซตของจำนวนจริง ซึ่งมีสมาชิกเป็นจำนวนอนันต์ ดังนั้นกราฟของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องจะมีลักษณะเป็นเส้นโค้ง เรียกว่า เส้นโค้งความหนาแน่น (density curve)
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (probability density function) คือ ฟังก์ชันของเส้นโค้งความหนาแน่นซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชัน katex is not defined โดยที่ katex is not defined แทนค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม
พื้นที่ใต้เส้นโค้งความหนาแน่น คือ พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งความหนาแน่นกับแกน katex is not defined ในช่วงนั้น จะเท่ากับความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะมีค่าอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่ง
ข้อตกลงเกี่ยวกับเส้นโค้งความหนาแน่นที่ควรทราบ
- พื้นที่ใต้เส้นโค้งความหนาแน่นทั้งหมดจะเท่ากับ 1 เพราะ ผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมด คือ 1 นั่นเอง
- katex is not defined เนื่องจากเป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง การหาความน่าจะเป็นจะดูเป็นช่วง ทำให้ ณ ตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งความน่าจะเป็นจึงเท่ากับ katex is not defined
- katex is not defined และ katex is not defined เพราะ katex is not defined
การแจกแจงปกติ
การแจกแจงปกติ (normal distribution) คือ การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง katex is not defined ที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นบางฟังก์ชันกำกับอยู่ ซึ่งกราฟของฟังก์ชันหรือเส้นโค้งความหนาแน่น
มีลักษณะดังนี้
ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มจะเป็นตัวกำหนดลักษณะเฉพาะของเส้นโค้งว่าแกนสมมาตรอยู่ที่ใดบนเส้นจำนวนและมีค่าการกระจายจากค่าเฉลี่ยมากน้อยแค่ไหนนั่นเอง
เราจะเขียนสัญลักษณ์ katex is not defined เพื่อแสดงว่าตัวแปรสุ่ม katex is not defined มีการแจกแจงปกติ โดยที่ katex is not defined และ katex is not defined เป็นพารามิเตอร์
การแจกแจงปกติมาตรฐาน
เส้นโค้งความหนาแน่นซึ่งได้จากตัวแปรสุ่มปกติ เรียกว่า เส้นโค้งปกติมาตรฐาน (standard normal curve) และเรียกตัวแปรสุ่ม katex is not defined ที่มีการแจกแจงปกติมาตรฐานว่า ตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน (standard normal random variable)
ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน
ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานจะมีค่าเท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติตามช่วงที่เราพิจารณา ในหัวข้อตัวแปรสุ่มต่อเนื่องนี้ การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งความหนาแน่นต้องใช้ความรู้การหาปริพันธ์จำกัดเขตจากบทแคลคูลัส ซึ่งยากต่อการคำนวณเอง เราจึงใช้ตารางต่อไปนี้ในการหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งของ katex is not defined แต่ละค่า เพื่อให้เข้าใจมากยิ่งขึ้น พี่จะพาน้อง ๆ ไปดูการอ่านตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานผ่านตัวอย่างต่อไปนี้กัน
ตัวอย่างที่ 7 ให้ katex is not defined เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน และกำหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน ดังต่อไปนี้ จงหา katex is not defined และ katex is not defined
แนวคิด การอ่านค่าตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานที่ katex is not defined จะมีพื้นที่เท่ากับค่าในตารางได้เลย ถ้าต้องการหา katex is not defined ที่อยู่ระหว่างค่า katex is not defined 2 ค่า ให้นำพื้นที่ที่ค่า katex is not defined มากกว่าตั้ง แล้วลบด้วยค่า katex is not defined ที่น้อยกว่า
ค่าของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน
ค่าของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน สามารถหาได้จากสูตรต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 8 คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียน ม.6/4 มีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 17 และ 3 คะแนนตามลำดับ จงหาค่าของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานของคะแนนสอบภาษาอังกฤษของนักเรียนที่ได้ 26 คะแนน
วิธีทำ ให้ตัวแปรสุ่ม katex is not defined คือคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียน ม.6/4 จะได้ว่า ตัวแปรสุ่ม katex is not defined มีการแจกแจงปกติ โดยที่ katex is not defined และ katex is not defined และ พิจารณาผลสอบของนักเรียนที่ได้ 26 คะแนน
แทนค่าลงในสูตรจะได้ว่า katex is not defined
ดังนั้น ค่าของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน เท่ากับ 3
โดยค่าของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานมีอีกสูตรหนึ่ง คือ
เราจะไปดูการใช้สูตรผ่านตัวอย่างต่อไปนี้กัน
ตัวอย่างที่ 9 สำนักวิจัยแห่งหนึ่งค่าใช้จ่ายในการใช้โทรศัพท์มือถือรายเดือนของคนในจังหวัดระยองมีการแจกแจงปกติ โดยค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 450 และ 90 บาท ตามลำดับ ถ้าสุ่มคนจากจังหวัดนี้มาคนหนึ่ง จงหาความน่าจะเป็นที่สุ่มได้ผู้ค่าใช้จ่ายในการใช้โทรศัพท์มือถือระหว่าง 270 บาท และ 540 บาท ต่อเดือน
เมื่อกำหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานดังนี้
วิธีทำ จากโจทย์จะได้ค่าเฉลี่ย katex is not defined เท่ากับ 450 และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน katex is not defined เท่ากับ 90
พิจารณาที่ katex is not defined และ katex is not defined นั่นคือ katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
katex is not defined
เปอร์เซ็นไทล์ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง
โดยปกติเปอร์เซ็นไทล์ของข้อมูลเชิงปริมาณ จะวัดตำแหน่งที่ของข้อมูล โดยนำข้อมูลเรียงจากน้อยไปมากและแบ่งเป็น 100 ส่วนเท่ากัน เปอร์เซ็นไทล์ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง จะวัดตำแหน่งที่ของค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม โดยนำข้อมูลเรียงจากน้อยไปมากและแบ่งเป็น 100 ส่วนเท่ากันนั่นเอง
ตัวอย่างที่ 10 ร้านข้าวแกงกะหรี่จัดการแข่งขันกินข้าวแกงกะหรี่จานยักษ์ ไตเติ้ลใช้เวลา 12.5 นาที ในการกินอาหารจนหมด โดยที่การแข่งขันครั้งนี้มีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลาเท่ากับ 8.1 และ 4 นาที ตามลำดับ ถ้าเวลาในการแข่งขันนี้มีการแจกแจงปกติ จงหาเปอร์เซ็นไทล์ของเวลาที่ไตเติ้ลใช้ในการแข่งขัน เมื่อกำหนดตารางแสดงพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานดังนี้
แนวคิด เปอร์เซ็นไทล์ของเวลาที่ไตเติ้ลใช้ในการแข่งขัน หาได้จากพื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐาน โดยหาค่าของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานก่อน
วิธีทำ ให้ตัวแปรสุ่ม katex is not defined คือเวลาที่ใช้ในการแข่งขันกินข้าวแกงกะหรี่จานยักษ์ จะได้ว่า ตัวแปรสุ่ม katex is not defined มีการแจกแจงปกติ โดยที่ katex is not defined และ katex is not defined และพิจารณาเวลาที่ไตเติ้ลใช้ในการแข่งขัน คือ 12.5 นาที
จาก katex is not defined
katex is not defined
แสดงว่า katex is not defined
จะได้ว่า katex is not defined
ดังนั้น เปอร์เซ็นไทล์ของเวลาที่ไตเติ้ลใช้ในการแข่งขัน ประมาณเปอร์เซ็นไทล์ที่ 86
การเปรียบเทียบตำแหน่งของข้อมูล
การแปลงตัวแปรสุ่มปกติให้เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน นอกจากสามารถหาความน่าจะเป็นได้ (จากการเปิดตาราง)
ยังสามารถนำไปเปรียบเทียบข้อมูลสองชุดได้ด้วยน้า ลองดูผ่านตัวอย่างนี้กัน
ตัวอย่างที่ 11 ในการทำแบบทดสอบหลังเรียนวิชาภาษาไทยและวิชาสังคมของนักเรียนห้องหนึ่ง พบว่าคะแนนสอบทั้งสองวิชามีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากัน คือ 28 คะแนน ถ้าคะแนนในการทำแบบทดสอบของแต่ละวิชามีการแจกแจงปกติ จงหาว่าซันนี่ซึ่งเป็นนักเรียนห้องนี้ทำข้อสอบวิชาใดได้ดีกว่ากัน เมื่อคะแนนสอบและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่าดังตาราง
แนวคิด เปรียบเทียบค่าของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานของทั้งสองคน แล้วพิจารณาว่าใครที่มีค่าตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานมากกว่า จะถือว่าทำข้อสอบได้ดีกว่า
วิธีทำ จาก katex is not defined
ค่าตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานของคะแนนวิชาภาษาไทย คือ
katex is not defined
ค่าตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานของคะแนนวิชาสังคม คือ
katex is not defined
จะได้ว่า ค่าตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานของวิชาภาษาไทยได้น้อยกว่าค่าตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานของคะแนนวิชาสังคม
ดังนั้น ซันนี่ทำข้อสอบวิชาสังคมได้ดีกว่าวิชาภาษาไทย
ดูคลิปติวฟรี ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น ม.6
คลิปติว ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น ม.6 จาก SmartMathPro
ติดตามคลิปติวฟรีอื่น ๆ จากพี่ปั้น ได้ทาง YouTube Channel : SmartMathPro
บทตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น เป็นบทเรียนในคณิต ม.6 ที่น้อง ๆ จะได้เจอในชีวิตประจำวัน เช่น
การแจกแจงปกติมาตรฐานที่ใช้กับการประกาศคะแนนสอบ TCAS เพื่อให้คะแนนสอบของทุกคนเป็นคะแนนกลางและสามารถนำมาเปรียบเทียบกันได้
แต่นอกจากจะเป็นบทเรียนในโรงเรียนแล้วก็ยังเป็นบทที่ออกสอบ A-Level คณิต 1 ประมาณปีละ 2 ข้ออีกด้วย ดังนั้นพี่แนะนำให้น้อง ๆ เก็บเนื้อหาบทนี้ด้วยน้า โดยอาจจะเริ่มจากทบทวนจากการทำโจทย์บ่อย ๆ ให้ได้คล่องมือ และถ้าใครไม่รู้จะไปหาโจทย์จากไหนมาฝึกก็สามารถเข้าไปดาวน์โหลดข้อสอบตัวแปรสุ่มและการแจกจงความน่าจะเป็น ม.6 กันได้เลยย
เนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย อาจดูเป็นเรื่องยากในความคิดของน้อง ๆ หลายคน แต่ที่จริงถ้าเรามีพื้นฐานที่ดี ทบทวนบทเรียนและฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ ก็จะทำให้เข้าใจในเนื้อหามากขึ้น แต่ถ้าใครยังกังวล กลัวว่าถ้าทบทวนเองแล้วจะไม่เข้าใจจนทำให้เรียนบทอื่นต่อไม่ได้ อยากได้คนช่วยไกด์
พี่ขอแนะนำคอร์สติวคณิตศาสตร์ ม.4 – 6 แบบบุฟเฟต์สำหรับเสริมเกรด จาก SmartMathPro เลยย สมัครครั้งเดียวคุ้มมากก เรียนได้จนจบม.6 พร้อมส่วนลดสูงสุด 35% โดยในคอร์ส พี่ปูพื้นฐานละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติมก็ คลิก ได้เลย
บทความ แนะนำ
คณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1 เทอม 2 คณิตพื้นฐานและเพิ่มเติม เรียนอะไรบ้าง?
แคลคูลัส ม.6 สรุปเนื้อหา โจทย์แคลคูลัสพร้อมวิธีทำ และคลิปติวฟรี
ลำดับและอนุกรม ม.6 สรุปเนื้อหาพร้อมตัวอย่างโจทย์และวิธีทำ
สถิติ ม.6 สรุปเนื้อหาสถิติและข้อมูล พร้อมโจทย์แบบจัดเต็ม ! - SmartMathPro
คณิตศาสตร์ ม.ปลาย (ม.4 ม.5 ม.6) หลักสูตรใหม่ เรียนเรื่องอะไรบ้าง ?
A-Level คณิต 1, A-Level คณิต 2 TCAS67 สอบอะไรบ้าง? อัปเดตล่าสุด
ข้อสอบ A-Level คณิต 1 และคณิต 2 67 ออกอะไรบ้าง ? พร้อมแจกบทน่าเก็บ
A Level คณิตศาสตร์ 1 กับ 2 ต่างกันยังไง? ยื่นคณะไหนได้บ้าง?
บทความ แนะนำ
คณิตศาสตร์ ม.6 เทอม 1 เทอม 2 คณิตพื้นฐานและเพิ่มเติม เรียนอะไรบ้าง?
สำหรับน้อง ๆ ที่สนใจสอบถามข้อมูลเพิ่มเติม รวมถึงติดตามข่าวสารต่าง ๆ ที่อัปเดตอย่างเรียลไทม์ ได้ที่
Line : @smartmathpronews
FB : Pan SmartMathPro ติวคณิต By พี่ปั้น
IG : pan_smartmathpro
X : @PanSmartMathPro
Tiktok : @pan_smartmathpro
Lemon8 : @pan_smartmathpro
