สรุปเนื้อหา เส้นขนาน ม.2 พร้อมแจกโจทย์ให้ฝึกทำ

เส้นขนาน หมายถึง เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน มีระยะห่างระหว่างสองเส้นเท่ากัน และไม่ตัดกัน ซึ่งน้อง ๆ สามารถเจอเส้นขนานในชีวิตจริงได้จากหลายอย่าง ไม่ว่าจะเป็น ถนน, รางรถไฟ, โต๊ะ, เก้าอี้, ประตู, หน้าต่าง และเรื่อง
เส้นขนานก็ยังเป็นเรื่องที่น้อง ๆ ต้องเรียนในคณิต ม.2 ด้วย

ซึ่งบทความนี้จะพาน้อง ๆ ไปเจาะลึกเนื้อหา เส้นขนาน ม.2 ทั้งเรื่องของความหมาย, สมบัติของเส้นขนาน, มุมต่าง ๆ พร้อมพาทำโจทย์ที่เกี่ยวกับเส้นขนาน และท้ายบทความยังมีแจกแบบฝึกหัดฟรีด้วย ถ้าพร้อมแล้วไปอ่านกันเลยยย

สนใจหัวข้อไหน ... กดอ่านเลย

เส้นขนาน ม.2

เส้นขนาน คืออะไร ?

บทนิยาม
เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน ขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เส้นตรงทั้งสองเส้นนั้นไม่ตัดกัน

จากรูป เราจะเห็นว่า $\overleftrightarrow{AB}$ และ $\overleftrightarrow{CD}$ ขนานกัน ซึ่งเราสามารถบอกว่า $\overleftrightarrow{AB}$ ขนานกับ $\overleftrightarrow{CD}$ หรือ $\overleftrightarrow{CD}$ ขนานกับ $\overleftrightarrow{AB}$ ได้เช่นเดียวกัน และเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ $\overleftrightarrow{AB} // \overleftrightarrow{CD}$ หรือ $\overleftrightarrow{CD} // \overleftrightarrow{AB}$

ระยะห่างระหว่างเส้นขนาน

เราลองสังเกตเส้นตรง 2 เส้นที่ไม่ขนานกัน จะเห็นว่าระยะห่างระหว่างเส้นตรง 2 เส้นนั้นจะไม่เท่ากัน บางช่วงเส้นตรงเข้าใกล้กัน ระยะห่างดูน้อย บางช่วงเส้นตรงไกลกัน ระยะห่างดูมาก แต่ว่าถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน แล้วระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่นั้นจะเท่ากันเสมอ

ในทางกลับกัน ถ้าเส้นตรงสองเส้นมีระยะห่างระหว่างเส้นตรงเท่ากันเสมอ แล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน

มุมต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นขนาน

เราสามารถตรวจสอบได้ว่าเส้นตรงคู่ใดขนานกันบ้าง นอกจากการใช้บทนิยามของเส้นขนานและระยะห่างระหว่างเส้นตรงสองเส้นว่าคงที่หรือไม่ แล้วยังสามารถตรวจสอบโดยพิจารณาจากขนาดของมุมภายใน (interior angle), มุมแย้ง (alternate angle) หรือมุมภายนอก (exterior angle)

ซึ่งมุมเหล่านี้เกิดจากเส้นตรงเส้นหนึ่งมาตัดเส้นตรงคู่นั้น เรียกเส้นตรงนั้นว่า เส้นตัดขวาง (transversal) หรือเรียกสั้น ๆ ว่า เส้นตัด เพื่อให้น้อง ๆ เข้าใจมากขึ้น เราไปทำความรู้จักมุมต่าง ๆ จากรูปต่อไปกันเลยย

จากรูป เราเรียก $\overleftrightarrow{AB}$ ว่า เส้นตัด AB
มุมภายใน ได้แก่ $\widehat{3},\widehat{4},\widehat{5},\widehat{6}$
มุมภายนอก ได้แก่ $\widehat{1},\widehat{2},\widehat{7},\widehat{8}$
เรียก $\widehat{3}$ และ $\widehat{6}$ ว่าเป็นมุมแย้งกัน และในทำนองเดียวกันกับคู่มุม $\widehat{4}$ และ $\widehat{5}$
เรียก $\widehat{3}$ และ $\widehat{5}$ ว่า มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด และในทำนองเดียวกันกับคู่มุม $\widehat{4}$ และ $\widehat{6}$
เรียก $\widehat{1}$ และ $\widehat{5}$ ว่า มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด และในทำนองเดียวกันกับคู่มุม
ต่อไปนี้ $\widehat{2}$ และ $\widehat{6}$ , $\widehat{7}$ และ $\widehat{3}$ , $\widehat{8}$ และ $\widehat{4}$

สมบัติของเส้นขนาน

เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้น ตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา

จากรูป ถ้าคู่ $\widehat{1}$ และ $\widehat{3}$ หรือคู่ $\widehat{2}$ และ $\widehat{4}$ รวมกันเท่ากับ 180 องศา แล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน
ในทางกลับกัน ถ้าเส้นตรงคู่นี้ขนานกัน แล้วคู่ $\widehat{1}$ และ $\widehat{3}$ หรือคู่ $\widehat{2}$ และ $\widehat{4}$ จะรวมกันเท่ากับ 180 องศาด้วย

เส้นขนานกับมุมแย้ง

ทฤษฎีบท
เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 1 จงพิจารณาว่า $\overleftrightarrow{AB}$ กับ $\overleftrightarrow{CD}$ ขนานกันหรือไม่

วิธีทำ จากรูป $B\widehat{X}Y=92^{\circ}$ และ $X\widehat{Y}C=90^{\circ}$
ซึ่ง $B\widehat{X}Y$ และ $X\widehat{Y}C$ เป็นมุมแย้งกัน แต่ขนาดของทั้งสองมุมไม่เท่ากัน
ดังนั้น $\overleftrightarrow{AB}$ กับ $\overleftrightarrow{CD}$ ไม่ขนานกัน

ตัวอย่างที่ 2 จากรูป กำหนดให้ $\overleftrightarrow{AB} // \overleftrightarrow{CD}$ จงหาค่าของ a

วิธีทำ จาก $\overleftrightarrow{AB} // \overleftrightarrow{CD}$
จะได้ $A\hat{X}Y$ และ $X\hat{Y}D$ เป็นมุมแย้งกัน แสดงว่ามีขนาดเท่ากัน

จาก $\overleftrightarrow{XY}$ จะได้ว่า $123^{\circ}+A\hat{X}Y=180^{\circ}$
นั่นคือ $A\hat{X}Y=57^{\circ}$
$A\hat{X}Y = X\hat{Y}D =57^{\circ}$
ดังนั้น $a=57$

เส้นขนานกับมุมภายในและมุมภายนอก

ทฤษฎีบท
เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้าง เดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 3 จงพิจารณาว่า $\overleftrightarrow{AB}$ กับ $\overleftrightarrow{CD}$ ขนานกันหรือไม่

วิธีทำ จาก $\overleftrightarrow{CD}$ จะได้ว่า $C\widehat{Y}X+102^{\circ}=180^{\circ}$
นั่นคือ $C\widehat{Y}X=78^{\circ}$
จะสังเกตได้ว่า มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน
ดังนั้น $\overleftrightarrow{AB}$ กับ $\overleftrightarrow{CD}$ ขนานกัน

ตัวอย่างที่ 4 จากรูป กำหนดให้ $\overleftrightarrow{AB} // \overleftrightarrow{CD}$ จงหาค่าของ a

วิธีทำ จาก $\overleftrightarrow{AB} // \overleftrightarrow{CD}$
จะได้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน
นั่นคือ $X\widehat{Y}D=2a^{\circ}$
จากมุมตรงข้ามกันมีขนาดเท่ากัน และ $X\widehat{Y}D$ อยู่ตรงข้ามกับมุม $70^{\circ}$
นั่นคือ $X\widehat{Y}D =70^{\circ}$
จะได้ว่า $2a^{\circ}=70^{\circ}$
ดังนั้น $a=35$

เส้นขนานกับรูปสามเหล่ียม

ทฤษฎีบท
ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหล่ียมออกไป แล้วมุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดมุมภายในที่ ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น

ตัวอย่างที่ 5 จากรูป จงหาค่าของ a

วิธีทำ จากรูป จะเห็นว่ารูปสามเหล่ียม $ABC$ ถูกต่อ $\overleftrightarrow{CD}$ ออกไป
นั่นคือ $B\widehat{C}D=B\widehat{A}C+C\widehat{B}A$
จะได้ว่า $130^{\circ}=80^{\circ}+a^{\circ}$
ดังนั้น $a=50$

ตัวอย่างที่ 6 จากรูป กำหนดให้ $\overleftrightarrow{EF} // \overleftrightarrow{CD}$ จงหาค่าของ a

วิธีทำ จาก $\overleftrightarrow{EF} // \overleftrightarrow{CD}$
จะได้ว่า $F\widehat{E}C=E\widehat{C}A$ เพราะเป็นมุมแย้งกัน
จะเห็นว่ารูปสามเหล่ียม $ABC$ ถูกต่อ $\overleftrightarrow{CE}$ ออกไป
นั่นคือ $E\widehat{C}A=C\widehat{A}B+A\widehat{B}C$
จะได้ว่า $85^{\circ}=a^{\circ}+50^{\circ}$
ดังนั้น $a=35$

เนื้อหาของเส้นขนาน ม.2 ก็มีประมาณนี้น้าา จะเห็นว่าเรื่องนี้ไม่มีสูตรอะไรที่ให้น้อง ๆ จำเลย แต่ต้องอาศัยการเข้าใจทฤษฎีของเส้นขนาน, สมบัติและมุมต่าง ๆ ให้แม่นเป็นหลัก นอกจากนี้พี่แนะนำให้ฝึกจากการทำโจทย์ / แบบฝึกหัดเรื่องเส้นขนาน กันเยอะ ๆ เลย จะยิ่งทำให้น้อง ๆ คล่องมือกับโจทย์เรื่องนี้มากขึ้นนั่นเองง

ติวคณิตศาสตร์ ม.ต้น กับ SmartMathPro

สำหรับน้อง ๆ ม.2 ที่ต้องการเก็บเกรดวิชาคณิตศาสตร์ให้ปัง ๆ แต่เคยลองทบทวนเนื้อหาด้วยตัวเองแล้ว ยังเจอจุดที่ไม่เข้าใจและอยากให้มีคนช่วยไกด์

พี่ขอแนะนำตัวช่วยอย่าง คอร์สคณิต ม.2 สอนโดยพี่ปั้น SmartMathPro ให้เลยย โดยแพ็กนี้จะสอนเนื้อหาทุกบททั้งเทอม 1 และเทอม 2 สอนสนุก เข้าใจง่าย (ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากก > <) พร้อมพาตะลุยโจทย์และมีแบบฝึกหัดให้แบบจัดเต็ม ไต่ระดับตั้งแต่แนวซ้อมมือ ข้อสอบในโรงเรียน แนวข้อสอบเข้าม.4 และข้อสอบแข่งขัน ถ้าใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติม คลิก เลย