สรุปเนื้อหาสถิติ ม.2 พร้อมแบบฝึกหัดและเฉลยฟรี !

สถิติเป็นหัวข้อที่น้อง ๆ จะได้เจอตั้งแต่ ม.1 – ม.3 โดยในบทความนี้ พี่จะขอโฟกัสที่เนื้อหาสถิติ ม.2 ก่อนน้าา ซึ่งพี่สรุปมาให้ครบทั้งเรื่องความหมาย แผนภาพ ค่ากลางต่าง ๆ ตัวอย่างโจทย์ และแบบฝึกหัดเสริมความเข้าใจให้น้อง ๆ ลองทำด้วย ถ้าพร้อมแล้ว ไปอ่านกันเลยย

สนใจหัวข้อไหน ... กดอ่านเลย

สถิติ ม.2

สถิติ คืออะไร ?

สถิติเป็นศาสตร์และศิลป์ของการเรียนรู้จากข้อมูล ประกอบด้วยกระบวนการที่สำคัญ ได้แก่การเก็บรวบรวมข้อมูล,
การจัดการข้อมูล, การวิเคราะห์ข้อมูล, การแปลความหมายผลลัพธ์ และการนำเสนอข้อมูล

ข้อมูล (Data) คืออะไร ?

ข้อมูลที่กล่าวถึงในสถิติจะหมายถึง ข้อเท็จจริงหรือสิ่งที่ยอมรับว่า เป็นข้อเท็จจริงของเรื่องที่สนใจศึกษา โดยอาจอยู่ในรูปตัวเลขหรือข้อความก็ได้ ซึ่งข้อมูลจะแยกออกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ ๆ ได้แก่

ข้อมูลเชิงปริมาณ เป็นข้อมูลตัวเลขที่ใช้แสดงปริมาณ ซึ่งวัดออกมาเป็นจำนวนที่สามารถนำไปคำนวณหรือเปรียบเทียบได้ เช่น จำนวนนักเรียนในห้อง ราคาน้ำมัน อายุ คะแนนสอบ หรือความสูง จะเห็นว่าข้อมูลนี้เป็นจำนวน
ที่สามารถนำไปคำนวณและเปรียบเทียบได้
ข้อมูลเชิงคุณภาพ เป็นข้อมูลที่อธิบายลักษณะ ประเภท หรือคุณสมบัติในเชิงคุณภาพ เช่น เพศ อาหารที่ชอบ หรือหมายเลขโทรศัพท์ ซึ่งจะเป็นข้อมูลที่บอกลักษณะหรือคุณสมบัติเท่านั้น ส่วนใหญ่จะไม่สามารถนำมาเปรียบเทียบกันได้

แผนภาพจุด

แผนภาพจุด (Dot plot) เป็นรูปแบบหนึ่งของการนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณที่ทำได้ไม่ยาก โดยจะเขียนจุดแทนข้อมูลแต่ละตัวไว้เหนือเส้นในแนวนอนที่มีสเกลให้ตรงกับตำแหน่งที่แสดงค่าของข้อมูลนั้น

แผนภาพจุดช่วยให้เห็นภาพรวมของข้อมูลได้รวดเร็วกว่าการพิจารณาจากข้อมูล โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อสนใจจะพิจารณาลักษณะของข้อมูลว่ามีการกระจายมากน้อยเพียงใด

เรามาลองนำเสนอชุดข้อมูลในรูปแบบแผนภาพจุดและวิเคราะห์ข้อมูลเพื่อตอบคำถามผ่านตัวอย่างต่อไปนี้กัน

ตัวอย่างที่ 1 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้น ม.2 ห้องหนึ่ง จำนวน 10 คน

$4 8 7 10 8 5 8 9 9 8$

เขียนแผนภาพจุดได้ดังนี้

จงตอบคำถามต่อไปนี้

1. คะแนนสอบสูงสุดและต่ำสุดคือเท่าใด

ตอบ คะแนนสูงสุด คือ $10$ คะแนน และคะแนนต่ำสุด คือ $4$ คะแนน

2. นักเรียนที่สอบได้ $9$ คะแนน มีจำนวนทั้งหมดกี่คน

ตอบ $2$ คน

3. ในช่วง $4 - 10$ คะแนน คะแนนใดที่ไม่มีนักเรียนสอบได้เลย

ตอบ $6$ คะแนน

4. นักเรียนที่ได้คะแนนสูงกว่า $5$ คะแนนมีกี่คน

ตอบ $8$ คน

5. พิสัยของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้น ม.2 เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ พิสัย (Range) ของข้อมูล เท่ากับ ค่าสูงสุดของข้อมูลลบด้วยค่าต่ำสุดของข้อมูล

จาก คะแนนสอบสูงสุด คือ $10$ คะแนน และคะแนนต่ำสุดคือ $4$ คะแนน

ดังนั้น คะแนนสอบสูงสุดลบด้วยคะแนนต่ำสุด คือ $10 - 4 = 6$ คะแนน

ตอบ $6$ คะแนน

แผนภาพต้น - ใบ

แผนภาพต้น – ใบ (Stem-and-leaf plot) เป็นรูปแบบหนึ่งของการนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณที่มีการเรียงลำดับข้อมูลและช่วยให้เห็นภาพรวมของข้อมูลได้รวดเร็วยิ่งขึ้น หลักการง่าย ๆ ในการสร้างแผนภาพนี้ คือ
การแบ่งตัวเลขที่แสดงข้อมูลเชิงปริมาณออกเป็นสองส่วนที่เรียกว่า ส่วนลำต้น และ ส่วนใบ โดยส่วนใบจะเป็นตัวเลขที่อยู่ขวาสุด และตัวเลขที่เหลือจะเป็นส่วนลำต้น

เรามาลองนำเสนอชุดข้อมูลในรูปแบบแผนภาพต้น – ใบและวิเคราะห์ข้อมูลเพื่อตอบคำถามผ่านตัวอย่างต่อไปนี้กัน

ตัวอย่างที่ 2 น้ำหนัก (กิโลกรัม) ของนักเรียนชั้น ม.2 ห้องหนึ่ง จำนวน 10 คน

$48 49 50 52 45 55 60 61 57 55$

เขียนแผนภาพต้น – ใบได้ดังนี้

จงตอบคำถามต่อไปนี้

1. นักเรียนส่วนใหญ่มีน้ำหนักอยู่ในช่วงใด และมีจำนวนกี่คน

ตอบ ช่วง $50 - 59$ กิโลกรัม และมีจำนวน $5$ คน

2. พิสัยของน้ำหนักนักเรียนชั้น ม.2 เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ น้ำหนักมากที่สุด คือ $61$ กิโลกรัม

และน้ำหนักน้อยที่สุด คือ $45$ กิโลกรัม

ดังนั้น พิสัยน้ำหนักของนักเรียนชั้น ม.2 ห้องนี้เท่ากับ $61 - 45 = 16$ กิโลกรัม

ตอบ $16$ กิโลกรัม

3. มีนักเรียนหนักช่วง $40 - 49$ กิโลกรัมทั้งหมดกี่คน

ตอบ $3$ คน

4. นักเรียนที่มีน้ำหนักมากกว่า $50$ กิโลกรัมขึ้นไปทั้งหมดกี่คน

ตอบ $6$ คน

นอกจากแผนภาพต้น – ใบ จะใช้ในการนำเสนอข้อมูล 1 ชุดได้แล้ว แผนภาพต้น – ใบ ยังสามารถนำเสนอข้อมูล 2 ชุดพร้อมกัน เพื่อเปรียบเทียบข้อมูล โดยใช้ลำต้นร่วมกันได้น้าา

ตัวอย่างที่ 3 ความสูง (เซนติเมตร) ของนักเรียนชายและนักเรียนหญิงชั้น ม.2 ห้องหนึ่ง จำนวน 14 คน

เพศ	ความสูง (เซนติเมตร)
ชาย	158 159 160 165 168 169
หญิง	148 150 155 156 156 158 160 162

เขียนแผนภาพต้น – ใบได้ดังนี้

จงตอบคำถามต่อไปนี้

1. นักเรียนที่มีความสูงมากที่สุดคือเพศใดและมีความสูงกี่เซนติเมตร

ตอบ เพศชาย สูง $169$ เซนติเมตร

2. นักเรียนหญิงส่วนใหญ่มีความสูงอยู่ในช่วงใดและมีจำนวนกี่คน

ตอบ ช่วง $150 - 159$ เซนติเมตร และมีจำนวน $5$ คน

3. พิสัยความสูงของนักเรียนชั้น ม.2 ห้องนี้เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ความสูงมากที่สุด คือนักเรียนชายสูง $169$ เซนติเมตร

และความสูงน้อยที่สุด คือนักเรียนหญิงสูง $148$ เซนติเมตร

ดังนั้น พิสัยความสูงของนักเรียนชั้น ม.2 ห้องนี้เท่ากับ $169 - 148 = 21$ เซนติเมตร

ตอบ $21$ เซนติเมตร

4. จำนวนนักเรียนชายและนักเรียนหญิงที่มีความสูงช่วง $160 - 169$ เซนติเมตร แตกต่างกันอย่างไร

วิธีทำ มีนักเรียนชายที่มีความสูงช่วง $160 - 169$ เซนติเมตร จำนวน $4$ คน

มีนักเรียนหญิงที่มีความสูงช่วง $160 - 169$ เซนติเมตร จำนวน $2$ คน

ดังนั้น ความสูงช่วง $160 - 169$ เซนติเมตร มีนักเรียนชายมากกว่านักเรียนหญิงอยู่

$4 - 2 = 2$ คน

ตอบ มีนักเรียนชายมากกว่านักเรียนหญิงอยู่ $2$ คน

5. นักเรียนชั้น ม.2 ที่มีความสูงมากกว่า $158$ เซนติเมตรมีจำนวนกี่คน และคิดเป็นร้อยละเท่าใด

ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด

วิธีทำ นักเรียนที่มีความสูงมากกว่า $158$ เซนติเมตรมีดังนี้

นักเรียนชายจำนวน $5$ คน คือ นักเรียนชายที่มีความสูง $159, 160, 165, 168$ และ $169$ เซนติเมตร

นักเรียนหญิงจำนวน $2$ คน คือ นักเรียนหญิงที่มีความสูง $160$ และ $162$ เซนติเมตร

จะได้นักเรียนชั้น ม.2 ที่มีความสูงมากกว่า $158$ เซนติเมตรขึ้นไป

มีจำนวน $5 + 2 = 7$ คน

และคิดเป็นร้อยละ $\frac{7}{14}\times 100 = 50$ ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด

ตอบ นักเรียนชั้น ม.2 ที่มีความสูงมากกว่า $158$ เซนติเมตรขึ้นไปมีจำนวน $7$ คน

และคิดเป็นร้อยละ $50$ ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด

แผนภาพฮิสโทแกรม

ฮิสโทแกรม (Histogram) เป็นการนำเสนอรูปแบบหนึ่งที่นิยมใช้ในกรณีที่ข้อมูลจำนวนมาก ๆ และยังช่วยให้เห็นลักษณะการกระจายของข้อมูล โดยฮิสโทแกรมมีลักษณะคล้ายแผนภูมิแท่ง แต่ใช้แท่งสี่เหลี่ยมมุมฉากแสดงความถี่ หรือความถี่สัมพัทธ์ของข้อมูลเชิงปริมาณในแต่ละช่วง ในขณะที่แผนภูมิแท่งใช้สำหรับข้อมูลเชิงคุณภาพและ
ใช้แท่งสี่เหลี่ยมมุมฉากแสดงปริมาณของข้อมูลซึ่งมีเพียงค่าเดียว

เรามาลองนำเสนอชุดข้อมูลในรูปแบบแผนภาพฮิสโทแกรมและวิเคราะห์ข้อมูลเพื่อตอบคำถามผ่านตัวอย่างต่อไปนี้กัน

ตัวอย่างที่ 4 ผลคะแนนจากการสอบวิชาคณิตศาสตร์จำนวน 10 ข้อ ของนักเรียนห้องหนึ่งที่มีนักเรียน 20 คน

จำนวนข้อที่นักเรียนตอบถูก เป็นดังนี้

$6 4 7 8 5 9 10 7 9 10$

$7 8 5 8 7 4 6 9 5 6$

จากข้อมูล สร้างตารางแจกแจงความถี่และฮิสโทแกรมของจำนวนข้อที่นักเรียนตอบถูก เป็นดังนี้

จงตอบคำถามต่อไปนี้

1. สรุปจำนวนข้อที่นักเรียนห้องนี้ตอบถูกต้องในการสอบครั้งนี้ได้ว่าอย่างไร

ตอบ นักเรียนทำข้อสอบถูกต้องเป็นจำนวนตั้งแต่ $4$ ถึง $10$ ข้อ

2. นักเรียนส่วนมากของห้องนี้ทำข้อสอบแล้วตอบถูกต้องกี่ข้อ

ตอบ $7$ ข้อ

3. นักเรียนที่ตอบถูกตั้งแต่ $5$ ข้อขึ้นไปมีทั้งหมดกี่คน

ตอบ $3 + 3 + 4 + 3 + 3 + 2 = 18$ คน

นอกจากนี้เรายังสามารถเขียนฮิสโทแกรมจากข้อมูลที่อยู่ในตารางแจกแจงความถี่ที่เป็นช่วงได้ด้วยน้าา

ตัวอย่างที่ 5 ตารางแสดงความถี่ของชั่วโมงในการทำงานของพนักงาน 36 คน เป็นดังนี้

จำนวนชั่วโมงในการทำงาน	ความถี่
ตั้งแต่ 30 แต่น้อยกว่า 35	5
ตั้งแต่ 35 แต่น้อยกว่า 40	9
ตั้งแต่ 40 แต่น้อยกว่า 45	10
ตั้งแต่ 45 แต่น้อยกว่า 50	8
ตั้งแต่ 50 แต่น้อยกว่า 55	4

จากตารางแจกแจงความถี่ สร้างฮิสโทแกรมของชั่วโมงในการทำงานของพนักงาน เป็นดังนี้

จงตอบคำถามต่อไปนี้

1. พนักงานส่วนใหญ่มีจำนวนชั่วโมงในการทำงานแต่ละสัปดาห์อยู่ในช่วงใด

ตอบ ตั้งแต่ $40$ แต่น้อยกว่า $45$ ชั่วโมง

2. มีพนักงานที่ใช้เวลาในการทำงานแต่ละสัปดาห์ ตั้งแต่ $35$ แต่น้อยกว่า $50$ ชั่วโมง ทั้งหมดกี่คน

ตอบ $27$ คน

ค่ากลางของข้อมูล

ค่ากลางของข้อมูล คือ ค่าที่ใช้เป็นตัวแทนที่บ่งบอกลักษณะที่ต้องการทราบของข้อมูลชุดใดชุดหนึ่ง โดยสามารถเลือกได้ตามวัตถุประสงค์ที่ต้องการจะนำข้อมูลไปใช้ หรือตามความเหมาะสมของข้อมูลนั้น ซึ่งค่ากลางของข้อมูลจะประกอบด้วย ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean), มัธยฐาน (Median) และฐานนิยม (Mode)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

บทนิยาม

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean) คือ จำนวนที่ได้จากการหารผลบวกของข้อมูลทั้งหมดด้วยจำนวนข้อมูล

หมายเหตุ : ค่าเฉลี่ยเลขคณิตสามารถเรียกสั้น ๆ ได้ว่า ค่าเฉลี่ย

ตัวอย่างที่ 6 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล $7 8 5 3 7$

วิธีทำ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ = $\frac{\text{ผลบวกของข้อมูลทั้งหมด}}{\text{จำนวนข้อมูล}}$

$= \frac{7 + 8 + 5 + 3 + 7}{5}$

$= \frac{30}{5}$

$= 6$

ตอบ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ $6$

ตัวอย่างที่ 7 ตารางแจกแจงความถี่คะแนนสอบของนักเรียนห้องหนึ่งเป็นดังนี้

คะแนน	6	7	9	10
ความถี่	2	3	5	1

จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล

วิธีทำ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ = $\frac{\text{ผลบวกของข้อมูลทั้งหมด}}{\text{จำนวนข้อมูล}}$

$= \frac{\left(6\times2\right) + \left(7\times3\right) + \left(9\times5\right) + \left(10\times1\right)}{2 + 3 + 5 + 1}$

$= \frac{12 + 21 + 45 + 10}{11}$

$= \frac{88}{11}$

$= 8$

ตอบ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ $8$ คะแนน

มัธยฐาน

บทนิยาม

มัธยฐาน (Median) คือ ค่าค่าหนึ่งซึ่งเมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปมากหรือจากมากไปน้อยแล้ว จำนวนของข้อมูลที่น้อยกว่าหรือเท่ากับค่านั้น จะเท่ากับ จำนวนของข้อมูลที่มากกว่าหรือเท่ากับค่านั้น

หมายเหตุ : มัธยฐานของข้อมูลชุดหนึ่ง อาจเป็นข้อมูลที่อยู่ตรงกลางหรือค่าเฉลี่ยของข้อมูลคู่ที่อยู่ตรงกลาง ขึ้นอยู่กับจำนวนข้อมูลในชุดนั้น

ถ้าจะอธิบายให้เข้าใจง่ายมากขึ้น มัธยฐานของข้อมูลชุดหนึ่ง คือ การนำข้อมูลเรียงจากน้อยไปมาก (หรือจะเรียงจากมากไปน้อยก็ได้น้า เพราะได้ค่าเท่ากัน) และพิจารณาข้อมูลที่อยู่ตรงกลาง หรือค่าเฉลี่ยของข้อมูลคู่ที่อยู่ตรงกลาง ขึ้นอยู่กับจำนวนข้อมูลในชุดนั้น เพื่อให้น้อง ๆ ได้ทบทวนเพิ่มเติม ลองไปดูตัวอย่างกันเลยย

ตัวอย่างที่ 8 จงหามัธยฐานของข้อมูล $5, 3, 10, 9, 4, 12, 15$

วิธีทำ เรียงข้อมูลจากน้อยไปมากได้ดังนี้ $3, 4, 5, 9, 10, 12, 15$

ข้อมูลชุดนี้มี $7$ จำนวน ข้อมูลที่อยู่ตรงกลางอยู่ตำแหน่งที่ $4$ และมีค่าเท่ากับ $9$

ตอบ มัธยฐานของข้อมูลชุดนี้คือ $9$

ตัวอย่างที่ 9 จงหามัธยฐานของข้อมูล $5, 3, 10, 9, 4, 12, 15, 7$

วิธีทำ เรียงข้อมูลจากน้อยไปมากได้ดังนี้ $3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 15$

ข้อมูลชุดนี้มี $8$ จำนวน ข้อมูลคู่ที่อยู่ตรงกลางอยู่ตำแหน่งที่ $4$ กับ $5$ และมีค่าเท่ากับ $7$ กับ $9$ ตามลำดับ

จะได้มัธยฐาน คือ $\frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$

ตอบ มัธยฐานของข้อมูลชุดนี้คือ $8$

ฐานนิยม

บทนิยาม

ฐานนิยม (Mode) คือ ข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดในข้อมูลชุดหนึ่ง ๆ

แต่จะมีข้อตกลงเพิ่มเติมว่า ถ้าข้อมูลแต่ละตัวมีความถี่เท่ากันหมด จะถือว่าข้อมูลชุดนั้นไม่มีฐานนิยม
หรือถ้ามีความถี่สูงสุดเท่ากันมากกว่าหนึ่งข้อมูล ในที่นี้จะไม่พิจารณาหาฐานนิยมน้าา

ตัวอย่างที่ 10 จงหาฐานนิยมจากข้อมูล $2, 2, 3, 4, 9, 9, 9, 9$

จากข้อมูลพบว่า $9$ เป็นข้อมูลที่มีความถี่สูงสุด

ตอบ ฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้ คือ $9$

ตัวอย่างที่ 11 จงหาฐานนิยมจากข้อมูล $2, 2, 3, 3, 9, 9$

จากข้อมูลพบว่า ข้อมูลแต่ละตัวมีความถี่เท่ากันหมดคือ $2$

ตอบ ข้อมูลชุดนี้ไม่มีฐานนิยม

ติวคณิตศาสตร์ ม.ต้น กับ SmartMathPro

สำหรับน้อง ๆ ม.2 คนไหนที่เคยลองทบทวนเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ด้วยตัวเองแล้ว แต่ยังเจอจุดที่ไม่เข้าใจ อยากได้คนช่วยไกด์แนวทางให้

สำหรับน้อง ๆ ม.2 ที่ต้องการเก็บเกรดวิชาคณิตศาสตร์ให้ปัง ๆ แต่เคยลองทบทวนเนื้อหาด้วยตัวเองแล้ว ยังเจอจุดที่ไม่เข้าใจและอยากให้มีคนช่วยไกด์

พี่ขอแนะนำตัวช่วยอย่าง คอร์สคณิต ม.2 สอนโดยพี่ปั้น SmartMathPro ให้เลยย โดยแพ็กนี้จะสอนเนื้อหาทุกบททั้งเทอม 1 และเทอม 2 สอนสนุก เข้าใจง่าย (ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากก > <) พร้อมพาตะลุยโจทย์และมีแบบฝึกหัดให้แบบจัดเต็ม ไต่ระดับตั้งแต่แนวซ้อมมือ ข้อสอบในโรงเรียน แนวข้อสอบเข้าม.4 และข้อสอบแข่งขัน ถ้าใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติม คลิก เลย

สรุปสถิติ ม.2 ที่พี่ทำมาน่าจะช่วยให้น้อง ๆ เข้าใจบทนี้กันมากขึ้นแล้ว โดยพี่ขอแนะนำให้ทำแบบฝึกหัดเรื่องนี้บ่อย ๆ
เพราะจะช่วยให้น้อง ๆ แม่นยำในเนื้อหามากขึ้น ซึ่งนอกจากตัวอย่างโจทย์ให้ดูในบทความนี้แล้ว พี่ยังมีแบบฝึกหัดให้เพิ่มเติมด้วย ไปลองทำกันได้น้าา